1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 46

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 46)

ставляя эту функцию в левую часть уравнения (8), построить соответствующую непрерывную функцию 1(х), и при этом, согласно доказанному выше, функция у(х) будет выражаться че. рез 1(х) по формуле (9). Таким образом, формулы (8) и (9) устанавливают взаимно- однозначное соответствие между функциями двух классов: к первому принадлежат функции у(х), имеющие в промежутке ]]а, Ь] непрерывные производные до второго порядка и удовле. творяющие условиям (2), а ко второму — функции 1(х), непре. рывные в промежутке ]а, Ь]. Переход от у(х) к 1(х) осуществляется с помощью формулы (8), а от 1(х) к у(х) по фор. муле (9).

Из сказанного выше непосредственно вытекает возможность приведения предельной задачи, сформулированной в начале предыдущего параграфа, к интегральному уравнению. Действи. тельно, переписав уравнение (1) в форме А,(у) = — Лг(х) у, мы из установленных выше результатов непосредственно полу. чаем, что это уравнение с предельным условием (2) равносильно интегральному уравнению ь у (х) = Л ~ 0 (х, $) г ($) у (Е) ь($. О Совершенно так же неоднородное уравнение — „,. ]р(х) у']+]Лг(х)-у(х)] у Р(х) (12) (12,) где ь р (х)= — 1 0(х, $)рВ)ь($, Р причем в обоих интегральных уравнениях мы должны искатн непрерывное решение у(х). с предельным условием (2) равносильно интегральному урав.

нению ь у(х) =Рь(х)+ Л ~ 0(х, $)г(е)у(е)ь(е, (12з) ь 11З ГЛ П ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ 76. Симметрия функции Грина. Формула (7) определяет функцию Грина не только при а ( х Ь, но и на концах х = а и х = Ь, т. е. во всем замкнутом квадрате йм а ( х, $ ( Ь, и из этой формулы непосредственно вытекает, что функция Грина обладает во всем квадрате свойством симметрии: 6(х, $) =0($, х). (13) Дадим другое доказательство симметричности функции Грина, основанное на идее, применимой и в более общих случаях. Нетрудно проверить следующее тождество: ий (о) — о7.

(и) = — [р (х) (ио' — пи')]. (14) В этом тождестве и(х) и о(х) — любые две функции с непрерывными производными до второго порядка. Подставим в (14): и = 6(х, с>) и о = 0(х, $з), причем для определенности будем считать Е1 ( Еь Интегрируя по промежуткам [а, $1], [41, $1] н [5м Ь] и принимая во внимание, что функция Грина удовлетворяет однородному уравнению 7. (у) = О, мы получим [р(х)(0(х, $1)6'(х, Ы вЂ” 6(х, $,)0'(х, $1))]"„~,'=О, [р (х) (6(х, $1) 0'(х, й,) — О (х, 1,) б'(х, 51))]„""~*= О, [р(х) (0(х, $1) 6'(х, Ы вЂ” 0(х> ет) О'(х, В1))]„"1 — — О. Складывая эти три равенства и принимая во внимание непрерывность самой функции Грина и разрывность ее первой производной, мы придем к следующему соотношению 6(е1 ез) — бйз е1) =[р(х)(6(х, $1)6'(х, Га) — 0(х, $,)6'(х, Е1))]" ~, (15) Нетрудно проверить, что разность, стоящая в правой части написанной формулы, обращается в нуль при х = а и х=Ь.

Действительно, функция Грина удовлетворяет первому из предель ных условий (2), т. е. а16 (а, $1) + аеб'(а, $1) = О, а,б (а, ез) + ааб' (а, ез) = О, и так как мы естественно считаем, что заданные постоянные а1 н а, одновременно не могут равняться нулю, то определитель написанной однородной системы должен равняться нулю, т. е. упомянутая выше разность действительно обращается в нуль при х = а.

Аналогично доказывается, что она обращается в нуль и при х = Ь, а тогда формула (!5) и дает нам симметричность функции Грина. тг1 СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ гзз Можно рассматривать предельные условия более общие, чем условия (2), а именно такие, прн которых значения функции и ее производной на обоих концах промежутка входят в оба условия: а1У(а) + азу'(а) + азу (Ь) + а,у'(Ь) = О, Рюу(а)+Яузу'(а)+Визу(Ь)+1~у (Ь) =б Все предыдущие рассуждения, кроме доказательства симметрич. ности функции Грина, сохранят свою силу, а для того чтобы предыдущее доказательство симметричности функции Грина Осталось справедливым, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие. Мы не останавливаемся на доказательстве этого утверждения.

Нетрудно непосредственно проверить, что симметричность функции Грина сохранится при чисто-периодических предельных условиях у(а)=у(Ь); у'(а)=у'(Ь), если р(а)=р(Ь), т. е. если и функция р(х) обладает периодичностью. Отметим, что если и остальные коэффициенты д(х) и г(х) обладают перно* дичиостью, то предельная задача с указанными выше периодическими предельными условиями сводится к разысканию тех значений параметра Х, при которых уравнение (1) имеет периодическое решение. 77. Собственные значения и собственные функции предельной задачи.

Поскольку мы привели предельную задачу к ин. тегральному уравнению, мы можем использовать результаты обшей теории интегральных уравнений и получить таким образом ряд утверждений, касающихся собственных значений и соб. ственных функций предельной задачи. Рассмотрим сначала слу. чай г(х) — 1, когда уравнение (1) имеет вид д„(р(х) у']+ ()с — а(х)) у = О, причем мы считаем предельные условия такими, что функция Грина симметрична. Интегральное уравнение (12) будет уран. пением с симметричным ядром.

Оно будет иметь вещественныв собственные значения, и его собственные функции, соответствую. шие различным собственным значениям, будут ортогональны, В данном случае, как мы видели выше [74], всякому собствен. ному значению будет соответствовать только одна собственная функция. Это мы доказали для предельных условий вида (2). В случае периодических предельных условий собственному значению могут соответствовать две собственные функции, но нв !тт гл. и. пьвдвльныв задачи 234 больше, поскольку уравнение (16) имеет только два линейно- независимых решения.

Докажем еще, что ядро 6(х, $) уравне. ния (16) есть полное ядро, т. е. что не существует непрерывной функции 1(х), не равной тождественно нулю и ортогональной к ядру. Положим, наоборот, что такая функция существует: ь ~ 0(х, $)1($)йод=0. ь 1 (х) = ~ 0 (х, ь) Ь (ь) й$, ь и, следовательно, всякая функция, удовлетворяющая предельным условиям и имеющая непрерывные производные до второго порядка в промежутке [а, Ь], разлагается в этом промежутке в регулярно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям «р (х) [1УП 36]. Легко доказать еще следующую теорему, Т е о р е м а.

Если ряд Фурье непрерывной функции 1(х) ь ,') с„ср„(х); с„=~7(х)юр„(х)йх (17) ь ! равномерно сходится в про,кежутке [а, Ь], то его сумма равна 1(х). Доказываем от обратного. Пусть 11(х) — сумма ряда (!7), и положим, что [~(х) не равно тождественно в [а, Ь] функции 1(х). При этом разность 11(х) — 1(х), не равная тождественно нулю, ортогональна ко всем функциям ф„(х), а тем самым ортогональна ядру, что противоречит доказанной полноте ядра. Мы будем дальше пользоваться доказанной теоремой. Можно показать, что не только ядро 6(х, $) полное, но и что собственные функции гр,(х) образуют замкнутую систел~у. От- Мы получим тогда, что функция (9), с одной стороны, должна обращаться тождественно в нуль и, с другой стороны, должна, в силу доказанного выше, удовлетворять неоднородному уравнению (8), что невозможно.

Из полноты ядра вытекает, как известно [1Уб 42] существование бесчисленного множества соб. ственных значений. Пусть Х„(п = 1, 2, ...) — собственные значения уравнения (16), т. е. нашей предельной задачи, и <р„(х)— соответствующие собственные функции, образующие ортогональную и нормированную систему. Положим, что функция 1(л)', удовлетворяет предельным условиям и имеет непрерывные про. изводные до второго порядка. Полагая Е(1)= — й(х), мы получим представление этой функции )(х) через ядро тп СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ФКНКЦИИ ЗЗЗ сюда непосредственно будет следовать и доказанная выше тео.

рема. Ниже, при рассмотрении многомерного случая, мы дадим доказательство того, что для любой непрерывной функции имеет место уравнение замкнутости. Это доказательство будет го. диться и для одномерного случая. Рассмотрим теперь тот случай, когда г(х) отлично от единицы, и будем считать эту функцию положительной. Пользуясь результатами нз [1Чьь 44], мы видим, что и в этом случае предельная задача для уравнения (!) приводится к интегральному уравнению с симметричным ядром. В частности, всякая функция, удовлетворяющая предельным условиям и имеющая в промежутке [а, Ь] непрерывные производные до второго порядка, разлагается в регулярно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям задачи 1(х) = ~ са~Р„ (х), (18) коэффициенты которого определяются по формулам с„= ~ г (х) ) (х) <р„(х) дх. (19) а Для доказательства этого утверждения мы заметим, что, со. гласно сказанному в [75], имеем ь !'(х) = — $ 0(х, Э) 7.

[1 ($)] с!$. а Но мы можем, очевидно, написать Ь[[(Б)]= — Ч'г(е) ЙЯ), где, в силу г(з) ) О, функция Ь($) непрерывна в промежутке [а, Ь], Таким образом, мы имеем для функции Ч'г(х) )(х) представление через ядро симметричного интегрального уравнения ь Ч'г (х) [(х) = ~ б (х, $) ~/г (х) г (1) й (5) г($, (20) а и рассуждения из [1ЧВ 44] сразу дают нам формулированную выше теорему разложения. Так же, как и выше, может быть доказана замкнутость ядра и, следовательно, существование бесчисленного множества собственных значений.

Повторяя рассуждения из [74] для того случая, когда [(х) имеет непрерывную первую производную и кусочно-непрерывную вторую производ. иую и вспоминая, что теорема П из [!Чн 31] справедлива и в 23б ГЛ. П. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ случае представления функции через ядро при помощи кусочно- непрерывной функции Ь(х), мы можем убедиться в том, что формулированная выше теорема разложения справедлива и для того случая, когда функция 1(х), удовлетворяющая предельным усло.

Характеристики

Список файлов книги