1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 43
Текст из файла (страница 43)
При этом окажется, что сильный разрыв может испытывать только составляющая вектора смешения на касатсльную к линии разрыва. Положим, что поле смещении потенциально: (и, а) = пгаб ф, то1 СИЛЬНЫЕ РАЗРЫВЫ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 217 откуда следует, что лв = ох. Выбирая по-прсжнему координатные оси, мы будем иметь в точке АГ непре. рывность производных и„, п„и о . Но тогда из непрерывности Мч будет сле.
довать и непрерывность оь и, таким образом, в случае потенциального поля, разрыв может испытывать только составляющаи вектора смешения на нормаль н линии разрыва. Положим теперь, что поле смещений солеиоидально, т.е. их+ а„=б. ~ ~ ~ Х г(т — ~ ~ Р, (и, о) в!5.
(66) О 3 Совершенно так же, если положить и' = О; о' = 1, то получится формула ~~~ Уг(т= — ~~ Ря(и, о)И5. О 3 (67) За область 0 возьмем цилиндр, образующие которого параллельны оси й и пусть основания этого цилиндра 5~ и 5з находятся и плоскостях ! = 1, и Г = (з. Положим, что внутри этого цилиндра находится поверхность разрыва о. На нижнем и верхнем основаниях 5~ и 5з,мы имеем соз(л,х) = = соз(л, у) = О. На нижнем основании соз(л,г) = — ! и на верхнем основа нии соз(л,1) = + !. На боковой поверхности соз(л,1) = О.
Обозначая через 5г переменное сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной к его образующим,и через й линию пересеченич этой плоскости с боковой поверхностью цилиндра, мы можем переписать формулу (66) в виде с, г, где пл = пл соз (л, х) + т„я соз (л, р), или О ~ ~ ~ ~ Хг(хг)р~( л!+ ~ ( ~ пл лз1 г(! = ~ ~ ри г(х лу~ — ~ ~ ри Ихг(у~ Г,ЕЗ, г~ В'г " хг зг Первое слагаемое левой части дает импульс объемных сил, приложенных к площадке 5~ плоскости (х, у) за промежуток времени ((ь гз]. Второе сла. гаемое дает импульс' сил напряжения, действующих на контуре этой площадки, а разность, стоящая справа, представляет собою приращение количества движения, рассчитанное для этой же площадки, причем как импульс При этом мы будем иметь непрерывность производных и„, о„и и, а следавательно, в силу непрерывности Мз, и производной иь т.
е. в соленоидальном поле возможен только разрыв составляющей вектора смещения на касательную к линии разрыва, Выясним теперь механический смысл изложенной выше теории, а именно мы покажем, что наличие формулы (60) в простейших частных случаях по. казывает, что закон импульсов оказывается справедливым и для объема, содержащего внутри себя поверхность разрыва.
Положим в формуле й =! и о' О. Прн этом, согласно формулам (68,), составляющие тспзора напряжений для (и', п') будут равны нулю и формула (60) приведется к виду 218 ГЛ 1 ОБП1АЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 171 Будем пытаться удовлетворить этой системе, задавая функции иг в виде и! — — Х1 е~в~ (/ 1, 2, ..., т), (69) где Хг н Ф вЂ” некоторые искомые функции независимых переменкых н ю— число Подставляя выражения (69) в уравнение (68) и оставляя лишь члены, содержащие квадрат числа м, мы придем к следующей системе уравнений; т и 5, аь'Х!Ф„Ф„О (! 1, 2, ..., т). 1 1А1 1 (70) Будем рассматривать эту систему как систему однородных уравнений атно. сительно Хг Чтобы получить решение, отличное от нулевого, мы должны при.
равнять нулю определитель этой системы. Таким образом, мы приходим к уравнению первого порядка для искомой функции Ф: в ),)0(ОБ„ФФ), Ь, 1-1 которое совпадает с уравнением для характеристических поверхностей. Взяв какое-нибудь решение этого уравнении, мы сможем определить К1, вообще говоря, с точностью до произвольного множителя из системы (70). Эта систе. ма совпадает с системой (21), которую мы имели для определения коэффициентов прерывности йг. Уравнения этой последней системы должны были иметь место лишь на поверхности волны Уравнения (70] должны иметь место везде.
Но при этом мы лишь приближенно удовлетворили системе (68) функциями вида (69). В данном случае Ф = сопз( суть поверхности одина. ковых фаз Рассмотрим более подробно случай одного волнового уравнению н будем искать его решение в виде гармонического колебания частоты м по отношению ко времени 0 и Аег" (1+пи (71) где А и Ф вЂ” искомые функции только координат (х, у, г). Дело сводится к подстановке выражения и Аеге (72) в уравнение Дп+йп-О ( - —;). (73) силы, так и приращение количества движения спроектированы на ось х. Совершенно так же формула (67) даст нам аналогичное соотношение длн про. акций импульса силы и приращении количества движения на ось у Таким образом, мы действительно получаем длн объема Р, содержащего поверх.
ность разрыва, закон импульса, 71. Характернствкн н большие частоты. Существует сввзь между темп формулами, которые мы получили выше прн изложении теории характеристик систем уравнений, и теми формулами, которые получаются, если пытаться приближенно удовлетворить системе дифференциальных уравнений функциями специального типа. Пусть имеется система уравнений второго порядка: т в ы Зч аьг + ...
0 (1 1,2,...,т), (68) ~.л '1 дх„дх 1-1 Е.1-1 711 ХАРАКТЕРИСТИКИ И БОЛЬШИЕ ЧАСТОТЫ 219' Мы имеем ох (Ах+ (еАФх) е и „(А„„+ гмАФ„„+ 2(ыА Ԅ— ы~АФ~~) е~~. Приравнивая еще нулю коэффициент при ы, получим уравнение, в которое будет входить амплитуда А (х, у, х) решения (72): А ЬФ+ 2 (А„Ф„+ АаФв+ АзФз) О, илн Егаб 19 А ° агаб Ф вЂ” — ЬФ. 1 2 (76) Легко установить связь уравнения (74) с уравнением характеристических по.
верхностей. Для уравнения (71) мы имеем следующее уравнение характери. стнческих поверхностей: н подставляя ыг 1+Ф, мы и получим уравнение (74). Обозначая через и единичный вектор нормали в некоторой точке М к поверхности Ф = сопз1 одинаковых фаз, проходящей через зту точку, мы можем написать йгад Ф 9(х, у, з) и, где 9(х, у, х) — длина вектора игаб Ф в точке (х, у, х).
Уравнение (75) при атом может быть записано в виде йгаба 1а А — — б(ч (грп), 1 29 (76) где йгаб, 18 А — проекция Егад1ЕА на направление л Уравнения (74) и (76) должны иметь место во всем пространстве Но мы удовлетворили уравнению (71) только приближенно. Совершенно так же, если мы в уравнения Максвелла (36) подставим Е еегв; Н Ье'ась, (77) где е н Ь вЂ” векторы, Ф вЂ” скалярная функция, зависящие от (хь хи хи (), и ю — число, то мы получим, собирая члены, содержащие множитель ы.
Фг — е = агаб Ф Х Ь. в с (78) Это уравнение совпадает, по существу, с уравнением (46) иэ [69). Совер. шенно так же получится и уравнение, аналогичное уравнению (47) Уравнение (78) должно иметь место ие только на поверхности Ф = сопэ1, и зта последняя поверхность не есть поверхность разрыва, а поверхность одинако. вых фаэ в решении (77). Аналогичные формулы получатся и для производных по у и а. Подставляя в уравнение (73) и приравнивая нулю коэффициент прн ыэ, получим уравнение для Ф. Фг + Фх + Фт (74) а' ' 72.
Случай двух независимык переменных. Рассмотрим си- стему уравнений первого порядка с двумя независимыми пере- меннымн и предположим, что она разрешена относительно част- ных производных по хз. Таким образом, мы имеем систему в виде ди,. х-! ди! — '=~ аи — !+Ф!(х!, хм и!) (!=1, .... и!), (79) дх, 2~ дх, ! где а„могут зависеть от х!, хв Вводя векторы н и Ф с состав- ляющими и, и Ф, и матрицу А с элементами ан, можем перепи- сать систему (79) в виде одного векторного равенства: — = А — + Ф (хн хз. и!). ди да дх! дх, (80) Введем вместо и новый вектор у по формуле И=Вч, (81) где  — некоторая матрица с элементами Ь,м зависящими от х!, хм имеющими непрерывные производные в некоторой обла- сти 0 плоскости (х!, ху), и с определителем, отличным от нуля.
Мы имеем — =Вд + д ч (с=1,2), ди ду дВ (82) где дифференцирование матрицы В сводится к дифференцированию ее элементов. Подставляя (81) и (82) в (80), получим уравнение для тн  — =А — + Чг, дх дх дх, дх, где ЧР— вектор, составляющие которого зависят от (х!, хм О!). Умножая обе части на В-', получим преобразованное уравнение в виде — = В 'А — + Ч"н дх! дх! (83) Выберем теперь, если возможно, матрицу В так, чтобы матрица В-'АВ имела диагональную форму. Это связано, как известно, с решением характеристического уравнения для 'матрицы А [!!1!, '27[: ~ А — Л1=0, (84) где в левой части стоит определитель матрицы (А — Л), или, в раскрытом виде: ан — Л, аи, ан, ам — Л и!х! азм (85) =0 амь а~з, ..., амм — Л ххп ГЛ !.
ОВШАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Па СЛУЧАЛ ДВУХ НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ Положим, что в окрестности некоторой точки (х~!~!, ххл) коэф- фициенты а,А имеют непрерывные производные и уравнение (85) имеет различные корни ЛА(х!, хх) (и = 1, ..., т). Последнее сушественно для дальнейшего. При этом в упомянутой окрест- ности мы сможем, пользуясь методом, описанным в [1Ин 27), построить матрицу В с указанными выше свойствами так, чтобы матрица  — !АВ привелась к чисто диагональной форме, и при этом уравнение (83) мы можем написать, выписывая все со- ставляющие, в виде до дч! д ' — Л,(х!, ха) д ' +!г!(хн хм о!)=0 (!=1, 2, ..., т).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
