1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Совершенно аналогично мы можем рассмотреть и систему уравнений второго порядка: ди Х Х о ! д ! + ''' (7) 1-! »,[-! считать а,'"=а»'. Если мы имеем !1 [1' гиперплоскости х! = О: причем, как всегда, мы можем специальные данные Коши на М1 !х~ 0 Р1 (Х2 ... Хх)[ 1 дх! =ф1(х„..., х„) (1=[, ..., пт), хвы то мы знаем на этой гиперплоскости все производные первого д'-и,.
поРЯдка и все пРоизводные втоРого поРЯдка, кРоме —,' ° Под дх! ставляя начальные данные в коэффициенты системы и прирав- нивая нулю определитель, составленный из коэффициентов при д'и — мы получим условие того, что гиперплоскость х! — — О яв! дх! ляется характеристической поверхностью. В общем случае на поверхности (3) задаются сами функции и их производные пер- вого порядка, и мы должны найти условие того, что система (7) совместно с начальными данными не дает однозначного опре- деления производных второго порядка. Вводим опять вместо х» новые переменные х» по формулам (4). Выражения производ- ных по старым переменным через производные по новым пере- менным будут: ди! ди! дв! — = — — + ° °, / дх» дх! дх» д»и д»и! дв дв х» + дх дх! дх! дх» дх! д»и1 Подставляя в (7) и выписывая лишь члены, оодержащие —, дх[2 мы получим в новых независимых переменных систему и! и 2 »! дв, дв ди! ) ам — — —,2+...=О.
1-!», 1-! дх» дх! дх!2 В новых переменных начальные данные относятся к плоскости к; = О и мы должны написать условие того, что последняя сни 197 ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ УРАВНЕНИИ дает однозначной, возможности определения производВводя обозначения, аналогичные предыдущим: стема не ди ных —, дх~~ ыдв, дв, вп= Ат аи — —, дх» дх» ' м с-1 (8) ыы можем записать это условие в виде / Р / вп вм ° " / / вм в»» " вь (9) 1вц1= / Р Вхя ВВ» ' ' ' ВВВ Левая часть этого уравнения первого порядка является одно. дв, родным полиномом степени 2т относительно производных —.
дх,' Возвратимся к системам первого порядка. Если в левой чадв1 сти уравнения (6) заменить — на ам то мы получим уравдх, нение Ф(аь ..., а„) =О, (10) где Ф вЂ” однородный полипом степени т аргументов ап ..., а, с коэффициентами, зависящими от (хь ..., х„). Если в некоторой области Р пространства (хь ..., х„) левая часть уравнения (10) обращается в нуль лишь при а1 = ... = а„=О, то говорят, что система (1) эллиптического типа в области Р. Аналогично определяется эллиптический тип и для системы (7). Терс мин гиперболический тип применяют к системам в несколько разных смыслах.
Мы вернемся еще к этому вопросу для случая двух независимых переменных. Если в некоторой точке (хь ..., х ) или в некоторой области Р можно соответствующим линейным преобразованием переменных а. свести однородный полинам Ф(аь ..., а,) к меньшему числу переменных, то говорят, что система (1) параболически вырожденная в упомянутой точке или области Р. Если коэффициенты а<»т> системы (1) содержат функции ит (система квазилинейна), то, подставляя в эти коэффициенты какие-либо заданные на поверхности в~ = 0 функции иь мы мо. жем составить уравнение (6) и решить вопрос о том, будет ли поверхность в1 = 0 характеристической.
Аналогичное замечание относится и к системе (7), если ее коэффициенты а»' содержат функции и, и их частные производные первого порядка (ср. [301). Отметим, что систему (7) можно привести к системе 19В ГЛ. Ь ОБШАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ЗМ (11)ь уравнений первого порядка, если Ввести лзп новых функций: (10,) Производя в уравнениях (7) замену (10з), получим т уравнений первого порядка относительно (аз+ азл) функций и! и юуз. К этим уравнениям добавится еше аза уравнений (10~). 64. Кинематические условия совместности.
Для дальнейшего нам надо будет доказать одно предложение о дифференцировании функций вдоль поверхности. Для большей геометрической наглядности мы будем доказывать эту лемму для случаи трех независимых переменных. Пусть функция )(хн хз, хз) — непрерывна с одной стороны некоторой поверхности 5: ф(хн хз, хз) = 0 вплоть до 5, и предположим еще, что ее частные производные первого порядка также непрерывны с упомянутой стороны 5 и имеют определенные предельные значения 1,, на 5. Если с той же стороны поверхности задана некоторая линия 1:хз = х,(!) (1= 1, 2, 3), где х;(!) имеют непрерывные производные по г, то вдоль ! функция ! есть функция от г, и мы имеем з ,Ц = ~'„„!А "А (!) А ! Л ем ма.
Формула (11) илзеет место, если ! лежит на 5. Линию ! Мы можем предположить достаточно малой. Пусть У1 и Уз — ее концы и У вЂ” переменная точка на !. Проведем через У прямую, параллельную нормали и, к поверхности в точке Уь причем нормаль направим в ту сторону, где определена функция 1, и отложим на каждой из этих прямых отрезок У№ одной и той же длины Ь. Мы считаем, что концы У' этих отрезков образуют некоторую линию !', которая не пересекает сама себя и лежит в той области, где определена функция !. Точки этой линии имеют координаты $; =х;(!)+бсоз(пьх,), Вдоль!' Мы можем применить формулу (!1): з — "„,' ~и=,'~', 7„,(ВП Ц, Вз)хз'(!).
з-1 Интегрируем обе части по ! в пределах от значения ! = !н соответствующего точке Уь до переменного 1: с з ~ (!) !з - ) (!ю) Ь = ~ Х !АА 6з Вз ~з) 'А (') «!> и з-з КИНЕМХТИЧЕСКИЕ УСЛОВИЯ СОВМЕСТНОСТИ 199 где 1(1~) и 1(1) в левой части — значения 1 на 1' в точках, соответствующих указанным значениям й По условию 1 и ),» непрерывны вплоть до О, и тем самым подынтегральная функция в правой части — равномерно непрерывная функция параметра 4.
Переходя в последней формуле к пределу при б-+ О, получим з 7(1) — 7(Т,)= ~ ~Х~ )'„[х,(1), х,(1), хз(ТЦх,'(1)Ж, и ь-1 где слева стоят значения 1 на 1. Дифференцируя обе части по получим формулу (11). Доказанной леммой нам придется пользоваться не только в этом параграфе, но и в следующей главе. Переходим к случаю любого числа переменных и положим теперь, что некоторая функция ~(хь ..., х„) непрерывна прн переходе через поверхность О: ф(х„..., х„) =О, (12) а ее частные производные первого порядка имеют с каждой стороны этой поверхности определенные пределы, но эти пределы различны на различных сторонах поверхности, т. е., короче говоря, производные первого порядка функции 1 имеют на поверхности (12) разрывы первого рода, Мы назовем две стороны поверхности положительной и отрицательной сторонами.
Для обозначения пределов, получаемых на положительной стороне, мы будем приписывать к соответствующей величине знак (+), а для отрицательной стороны знак ( — ). Так, например, условие непрерывности 1 при переходе через 5 мы можем записать в виде 1+ = /-. Введем в рассмотрение скачок для производных первого порядка: [~,1 =).'„-(., Вдоль всякой линии 1, лежащей на поверхности (12), по условию ~+ и 1- совпадают.
Таким образом, применяя лемму, получим Е ~„' (х, = Е ~„(х, (на 8). (! 3) хь Ф ь-1 На поверхности О переменные хя нельзя считать независимыми. Если, например, уравнение поверхности задано в явной форме, то одна из координат будет функцией остальных, а эти последпие можно уже считать независимыми переменными. Предыдущую формулу мы можем переписать в виде ~ [~„~Их,= О.
Роо тл ! ОвшАя теОРия уРАВнении с ЧАГтными пРОизВОпными !64 Мы имеем, кроме того, х ~ фх г(хх = О. Умножим последнее равенство на неопределенный пока множи- тель 6 и вычтем из предыдущего: ф„~ — йф„') г(хх = О. Определим теперь множитель Ь так, чтобы коэффициент при дифференциале зависимого переменного обращался в нуль Оставшиеся коэффициенты при дифференциалах независимых переменных, очевидно, должны быть равны нулю !1; 167], и мы приходим, таким образом, к следующим и равенствам: (14) т. е. скачки производных первого порядка должны быть пропорциональны частным производным от левой части (!2) по соответствующим переменным.
Написанные условия называются обычно кинематическими условиями совместности. Рассмотрим теперь тот случай, когда сама функция ! и ее производные первого порядка остаются непрерывными при переходе через поверхность (!2), а разрыв непрерывности испытывают производные второго порядка. Наше предыдущее рассуждение применимо тогда для каждой из функций г„. Каждая такая функция будет иметь свой коэффициент пропорциональности Ьх в кинематических условиях совместности, и скачок производной от функции г по всякой переменной х~ должен быть прахе порционален хр, т.
е. Мы будем иметь следующие равенства для скачков производных второго порядка: ~~ххххх ~кхк~ тххх~ Афхр Принимая во внимание независимость результата дифференцирования от порядка дифференцирования как с положительной, так и с отрицательной стороны поверхности, мы можем напи- ЛА Ь сать й ф =Ь ф, т. е. — = —. Иначе говоря, отношение к~ ~ кй хх х~ Ь: фх не должно зависеть от значка й.
Полагая Ь„: фх =Ь, мы преобразуем окончательно последнюю формулу к виду Р,,„Д = йф„„Ф„, (15) динамические головня совместности зо! к хе~й= ! ! 1 ! (16) При выводе этих условий мы существенно использовали саму систему (1), которак обычно описывает некоторый физический процесс; полученные условия для скачков называются дина.иическими условиями совместности. Каждая из функций и! имеет свой коэффициент пропорциональности й, в кинематических условиях совместности (14): 1 1- д ) =й! — (/= 1, 2, ..., и!). ди! 1 дв! (17) дх ~ ! дх Подставляя этн выражения в условия (!6) и принимая во вни.
мание обозначение (5), мы получим систему и! однородных уравнений первой степени для коэффициентов й,: ~ !в„й! — — 0 (ю'= 1, 2, ..., т). ! 1 (18) Из уравнения характеристической поверхности (6) непосредственно вытекает, что определитель этой системы равен нулю и, таким образом, мы сможем получить решение системы, отличное от нулевого. В общем случае, когда ранг таблицы коэффициентов системы (18) будет равен (и! — 1), общее решение этой системы определится с точностью до произвольного множителя, который не играет существенной роли при определении качественной картины разрыва. Эти формулы дают кинематические условия совместности для случая разрыва второго порядка, т.
е. разрыва производных второго порядка. 65. Динамические условия совместности. Вернемся к системе уравнений первого порядка (1) н положим, что поверхность (3) является характеристической поверхностью для написанной системы, причем некоторое решение и на этой поверхности имеет слабый разрыв, т. е. само и — непрерывно, и разрыв может быть лишь у производных первого порядка.
Пусть и+ — то непрерывное решение с положительной стороны поверхности и и- — то непрерывное решение с отрицательной стороны поверхности, с которыми совпадает и. Мы можем для и+ н и- написать систему (1). Возьмем разность этих уравнений на самой поверхности (3). При этом члены Ф, будут непрерывными при переходе через поверхность и при вычитании сократятся.
Мы придем таким образом к следующим гп уравнениям, которым должны удовлетворять скачки производных первого порядка: Перейдем теперь к рассмотрению системы уравнений второго порядка (7). В данном случае решением, имевшим слабый разрыв, будет решение, в котором сама функция и ее производные первого порядка непрерывны. Совершенно так же, как и выше, мы получим динамические условия совместности для скачков производных второго порядка: . Х Х !! ~дх,дх (19) Каждая функция и! будет иметь свой коэффициент пропорцио- нальности Ь! в кинематических условиях совместности: (20) Подставляя эти выражения в условие (19) и пользуясь обозначением (8), получим опять систему однородных уравнений для множителей Ьп определитель которой, в силу (9), равен нулю: ю',Ь =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
