1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Введем сферическую систему координат с центром Ме: х, = т соз Е!', х,=та(пв, зв,; хл,=т з! В, ... з(п Вл,соз В„,; х„, = з(п В, ... з(п Ел, соз ф; хл ! 3!и Е! 3!и Вл е 3!и !р» причем О<ее<И и О<!р<2п. Для элемента объема мы имеем Ь„=т"-! Е(п"- В, з(п"-ев, ... з(п В„збтде! ... дв„,ацр.
то в любом конце чтоическом внутреннем !иаре О!, для с яой Глч глт функции и ее производных до порядка 1 — [ — ~ — 1, где ! —,!— целая часть положительного числа —,, имеют место оцен;и 2 ТЕОРЕМА ВЛОЖЕНИЯ Вы сркивая о(г и полагая г = 1, получаем элемент о(пл.площади поверхности единичной сферы. Вводим функцию д1-! г г дг' (1 — 1)1 1, Ь /3 где г — расстояние МоМ. Непосредственно проверяются следую- щие формулы: г" (Мо)=)'(Мо); г"(М)=0 при г=й, (220) и мы мсжем написать !' Мо) = — ~ о(~, Г дР (А() о причем интегрирование производится по лучу, выходящему из М,. Умножая обе части этой формулы на о(ол = о(оол: ""-!г(~, интегрируя в пределах 0 < О, < и; 0 < !р < 2п, получим ) (Мо) о ~ д !' !(х! ' ° ' с(хл~ (А1! -л ! о„з где Ро — шар с центром Л!о и радиусом й н о,— плошадь поГлз верхности единичной сферы в )гл.
Полагая л = ~ — з(, перепишем (.21' предыдущую формулу в виде ((Мо) = — — ) о Г: дЛ(М> о- +!- !' Ох! ... !(х. лл й и, применяя неравенство Буняковского, получи л ) (Мо)(~ ~,'—,) ~ — — ~ 12х, ... и!х„~ г- ' г Й о(0! ...
о(0л 2((ф, 1 и! 173 ГЛ. 1 ОЕШАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 5Э При четном и показатель степени в последнем интеграле равен единице, а при нечетном п — нулю. Таким образом, мы полу- чаем 1а(М»)~с! ~ ( — » ) !(х! ... !(х„, (221) са где постоянная с! зависит только от й. Обратимся к формуле А (220). Коэффициент при 1 в правой ее части равен,'при г я — , нулю в силу (219). С другой стороны, принимая во внимание правило дифференцирования сложной функции, можем утвержд~! дать, что — есть линейная комбинация производных порядка 1 дг! по хь ..., х„с ограниченными коэффициентами.
Благодаря этому можем написать: 1 дР (М) А» д!1 =а! + ~~ аан' аа а а г" дг дх,' ... дх„" ~'(Ма) (с'А', где постоянная с зависит только от й. Если для целого положиГач тельного 8 имеет место неравенство 1 — 8)! — э!+1, т. е. 8( Гп ! (1 — !ь — 1 — 1, то мы можем применить все предыдушне рассуждения, заменяя 1 на какую-либо частную производную от 1 порядка р и 1 — на (1 — р).
Таким образом, мы получили оцеяки (2!8). Теорема доказана. Пусть теперь для функции 1 выполнены все условия этой теоремы, кроме предположения о непрерывности 1 и ее произ! водных, так что 1 есть элемент пространства )Р'!(О). Фиксируем какой-либо шар Он концентрический с 1! и имеющий меньший радиус. Для точек этого шара определим средние 1» !!Ч!,1!01, считая Ь непревосходяшим разности радиусов 1) и Вэ Для них ~ 1'„(х)г(х( ~ 1'(х)ах. (222) где а — ограниченная непрерывная функция и)аа,...а ~(~сзг' При 1) й+ 1, т. е.
при 1~)Я+ 1, все коэффициенты в написанной формуле ограничены, откуда, учитывая неравенство (х!+... + х„)'(и(х', +... + х'„) и оценку (2!7), получаем, в силу (22Р), ТЕОРГМА ВЛОЖЕНИЯ !79 Действительно, из определения !» и неравенства Буняковского следует, что ] Р !*! *= ] [ — '. ] . (' *-„" ) ! »м,]' ».< О| о !х-д!<» 4] [ ] (, ) Фхг ] (' — *„") !'(д!»д]»* о !х-д(<» !х-д!<» ] [ ] '( )!'(д!»д]х*( !х-д!<» "(' "') *] =]!!д!х,. о !х-д!<» о д !» д д»Г Так как для всех производных дх! "' дхл" ~, дх! ' ° дхл" /„ й(1, то из (217) и (222) следует, что интегралы от квадратов д»! всех „„, О ~ к ( 1, по 0» не превосходят Л', поэтому дх ' дх " ! и !!.»",,=[[ [К!-3-с с[ ..
) ]!*] <,А. (223) Далее известно [1Ч!,111], что !» стремится прн й- О к ! в норме Птд!(0»), определенной в (223), и поэтому !!!», — )»,!(д!и — О при й!, йд-~-О. В силу неравенства (2!8), примененного к функции !», — !», и шару О!, концентрическому с 0» и имеюшему меньший радиус, эта разность!», — !», и все ее производные по Гл ! х до порядка ! — [ — ] — 1 стремятся к нулю при й! и й»- О, рав].2] номерно относительно х ен 0!. Так как, к тому же, функции !» бесконечно дифференцируемы, то предельная для них функция Г будет непрерывной в О! вместе со своими производными до порядка ! †[ †" 1 — 1.
Эта функция Гд совпадает с ! для почти [21 всех х. Тем самым доказана Теорема 2. Если из условий предыдущей теорел!ы отбросить предположение о непрерывности 1, а производнь!е 1 считать обобщеннылш, то существует функция Г, эквивалентная ! и непрерывная вл!есте со своими производными до порядка 1 — [ — "1! — ! в открытом шаре О. Для Г вернь! оценки (218). [2 ~ Эта теорема и результаты, изложенные в [58], позволяют сделать следуюшне выводы о существовании классических решений задачи Коши для уравнения (212): 180 Гл. ь ОБШАя теОРия уРАВнения с чАстными пРОизвОдными 1«э 1 ы йтх 1„()с+~ ], где )!+" — — ((х, 1): х ен )с", ! > О].
60. Обобщенные решения уравнений второго порядка. В (44] мы исследовали вопрос, за какими функциями и(х,1), заданными в области О, имеюшими разрывы производных первого порядка на гладкой поверхности о и удовлетворяющими вне о уравнению Пи = О или Пи =1", разумно сохранить название решений (лучше — обобшенных решений) этих уравнений в обла.
сти О. С точки зрения физических задач, приводящих к этим уравнениям, на такие функции надо наложить требование (Р(и)]« = О, означающее, что на поверхности разрыва не сосредоточены никакие внешние силы. С математической же точки зрения желательно, чтобы для них сохранилась формула Грина (79), центральная роль которой была понята в длительном процессе изучения дифференциальных уравнений. В [44] мы показали, что эти требования эквивалентны, если и имеет «регуляр. гые> разрывы, т. е.
удовлетворяет кинематическим условиям совместности, и поверхности разрывов гладкие. Для и, удовлет. воряющих всем этим условиям и уравнению Пи =1 вне о, справедливо тождество 1 и П т) ах с(1 =- ] )11 д» Ж (224) прн любой 1) еи С,"(Г1). С другой сторон., в (!Ч1, 113; 114] С 1ли определены понятия обобщенных производных и обобщеннь~х дифференциальных операторов для функций из Ея(1)). Соглзсно с этими опреаелениями тождество (224) означает, что для и определс 1 с: бщеииый опсоатор П и Пи = ). Если 1р(х) = и~(1 з принадлежит ))7,, 1„()7"), а ф(х) = =и1(1«а принадлежит Ю,, ~,', (11") и т)1+[ — )+ 1, 1) 2, то соответствуюи(ее им решение и(х, 1) задачи Коши для уравнения (2!2) непрерывно и имеет непрерывные производнь1е до порядка 1.' Здесь принадлежность 1р к я7",,1„ (В") означает, что 1р еп )(71 (В) для любого шара В ~ В".
Из рассуждений (58] следует суще. ствование решения и(х,1) задачи Коши, принадлежашего %'1, м, (В"+1), а это совместно со второй теоремой данного пункта гарантирует непрерывность и(х,1) и ее производных до порядка [ 2 ) Для неоднородного уравнения Пи =1(х,1) решение задачи Коши при тех же начальных данвых будет классическим, если 60] ОВОБшеннъ|е РешениЯ УРАВнений ВТОРОГО пОРЯДЕА ]81 Назовем функцию и(х, Г) обобщенным решением класса Еэ уравнения Пи = 7 в области О, если она квадратично суммируема по любой ограниченной строго внутренней подобласти О' области О н для нее выполняется тождество (224) при лю» бой т]ен С, (О).
Будем под О' понимать только такие подобласти О. Аналогично обобщенным решением класса Еэ в области О уравнения (226) Е (и) = — „)'„а|хи„,„ь + ~, Ь,и,, + си .= ]' (225) |, А-1 '" ~-! назовем любую функцию и(х), квадратично суммируемую по всем подобластям О' и удовлетворяющую тождеству ~ иЕ* (]]) а|х = ~ 1]] дх о о при любой т]~С,"(О). Здесь Е' есть оператор, сопряженный по Лагранжу к 1., т. е.
|, А-| Для корректности этого определения надо считать, что коэффициенты а,А дважды дифференцнруемы, а коэффициенты Ь, имеют производные первого порядка. Предположим, что производные О'аоп 1 = 1, 2, и ОЬ, непрерывны в О. Решения уравнений (225), принадлежащие С'(О) (В основном только такие решения мы рассматривали до сих пор), будем называть классическими.
Классические решения уравнения (225) удовлетворяют тождеству (226), ибо для любых и я С (О) и т] яС, (О) справедлива формула Грина ~ ий'(т]) с(х = ~ ЧЕ (и) г(х. (227) о о Верно и обратное: если и ~ Сэ(О) и удовлетворяет тождеству (226), то она есть классическое решение уравнения (225).
Действительно, из (226) и (227) следует, что ~(Е(и) — Лцдх=О о при любых т] ен С,",(О), а отсюда в силу теоремы 2 из [!Ч]] 1131, примененной к любой О', следует, что Е(и) = ]. Имеет место следующая Теорем а 3. Если коэффициенты'!. постоянны в О, то л обое обобщенное решение класса Еэ однородного уравнения (22 ) ТВЭ. ГЛ ! ОБШАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ !Е! ~ ий (Ч) их=О о (223) при любой !1ББС,"(О). Возьмем в качестве ч1 усреднения ОА, Описанные в [1у'!, 112), для функции о ~ Се (О), При достаточно малом й эти усреднения принадлежат С, (О). В силу того, что ядро усреднения зависит лишь от разности, для любой произВОдНОй 0' От О ВЕРНО раВЕНСтВО 0'ОА = (О'О)ГЧ И ПОтОМу 0(ОА) = =(О(о))л Кроме того, нетрудно проверить, используя теорему Фубини, что ишл !(х= ~ иэш дх (229) для любых и из Оз(0) и и! из С, (О), если й достаточно мало (величина й должна быть меньше расстояния носителя а! до границы О). Ввиду всего сказанного справедливы равенства 0 = ~ ий'(о„) !(х = ~ и (1.' (о))А с(х = ~ иАЬ" (о) с1х = ~ О (иэ) о дх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
