1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Мы не будем здесь этого делать, а вместо. этого докажем теорему единственности задачи (236), (232) в классе обоби(енных решений из 7.ь следуя методу Гольмгрена. !вт УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА Пусть и' и и" — два таких решения. Тогда их разность и прил+1х надлежит Т,з, ~ос~Я+ ) и удовлетворяет тождеству 0 П т) стх сй = О л+1 при любых е) ен Се (тг"+'). Рассмотрим полосу П =((х, г): »еп ен )гл, ! Ен (О, Т)) и задачу П ш=7(» г) Гн)з т=О Гас )-т считая 7 ~Се (П) '). Ее решение дается формулой Кирхгофа.
Оно есть бесконечно дифференцируемая функция, равная нулю при ! ) Т и в точках (х, !) с Г ев( — Т, Т ! и достаточно больших (х(. Умножая его на бесконечно дифференцируемую функцию. Х(Г), рагшую 1 при ! > О н нулю при т ~( — Т, мы получим функцию Гй(х, Г)= ш(х, !)Т(г) из с, ()с"~ ). совпадаюшую с со(х, !) при г') О.
Поэтому мы можем взять в качестве т! в (237) функцию гй. Учитывая равенство Пгн = г, получим О! с(х ~(! = О. в+1 Так как это равенство справедливо при любой функции 7 из С" (П), то о = О в П. Ввиду произвольности выбора величины Т, функция о =— О в Йе Теорема доказана. 62. Уравнения эллиптического типа. До сих пор прн исследовании задачи Коши мы рассматривали уравнения гиперболического типа. Остановимся теперь на простейшем уравнении эллиптического типа, а именно на уравнении Лапласа с двумя незавнсимымн переменными: (239) и,„+ и„„= О.
Мы знаем, что любое решение этого уравнения есть вешественная часть некоторой аналитической функции: Г(г) = = и(х,у)+ п(х, у)! (П(з, 22). Рассмотрим решение уравнения (239) в окрестности некоторой точки, которую мы можем принять за начало координат. Считая, что и имеет в этой точке и ее окрестности непрерывные производные до второго порядка, будем иметь для 7(г) разложение в степенной ряд: !'(г) = ~ с„г", л) Эта задача н называется сопряженной н нсходной задаче. 133 гл. ь ОвшАя теОРия уРАВнений с чА тными пРОизВОдными !22 вещественную часть, мы получим для и(х, у) представление в виде ряда по однородным полиномам от (х, у): и (х, у) = ~ ( а„(х" —, х" 'у'+ ...1+ а 0 + Ь Г "-т + "1 1 ) хч-зуз 1~ (240) а,—- 31 и этот ряд абсолютно сходится при условии 1/х'+ у' < тг.
Запишем последний ряд в виде двойного ряда по целым положительным степеням х и у: с( хзуа, о, а-з (241) н покажем, что он также будет сходящимся, если вещественные значения х и у достаточно близки к нулю. Действительно, абсолютные значения членов ряда (241) не превосходят членов двойного ряда, который получается из ряда О\ ~ ( с„К х ~ + ( у 0". Но ряд ~ 1 с„ (т" (т ) О) а 0 сходится при г ( 1г', и отсюда непосредственно следует, что ряд (241) абсолютно сходится при условии (х(+1у)()а. В этом ряде мы можем группировать члены, и получим, таким образом, ряд (240), т.
е. сумма ряда (241) равна и(х,у). Таким образом, всякое решение уравнения (239) представимо степенным рядом в окрестности любой точки (х, у), если в этой точке рассматриваемое решение не имеет особенности, т. е., проще говоря, всякое решение уравнения (239) есть аналитическая функ24ия (х,у). Отсюда непосредственно следует, что гармоническая функция имеет производные всех порядков и что если две гармонические функции совпадают на некотором двумерном участке плоскости (х, у), то они совпадают везде. Заметим, что совершенно иную картину мы имеем для уравнения гиперболического типа: 2 и„— а их„=0, (242) сходящийся в некотором круге (г~()а, причем с„=а„+Ь,( суть некоторые комплексные числа. Отделяя в членах ряда 7 (г) = ~, (а„+ Ь„Е) (х + уг)" УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА 1ВВ где а — заданное вещественное -число.
Это уравнение имеет очевидное решение [П; 17711 и = 1р (х + ау), (243) где 1р — произвольная функция, имеющая непрерывные производные до второго порядка. В теории функций вещественного переменного доказывается, что можно построить 1р(1), имеющую непрерывные первую и вторую производные и не имеющую ни при каком значении 1 производной третьего порядка. Для такого 1р(1) решение (242) не будет иметь ни при каких (х,у) производных третьего порядка, и, тем самь1м, конечно, не может быть аналитической функцией (х, у).
Для уравнения (239) может быть поставлена задача Коши. Например, можно искать решение уравнения (239), если задана и и ее производная и, при х = 0: и ~„, = 7В (у); и„~„, = ) (у), (244) где (В(у) и 11(у) — заданные аналитические функции у [29). Эта задача будет иметь в окрестности х = 0 одно определенное решение. Однако задача эта, как говорят, некорректна: ее решения могут сильно меняться при малых изменениях данных Коши. Действительно, возьмем 1 )В(у)=0 и ~1(у)= — з(п(пу), где п — заданное положительное число. Нетрудно проверить, что решение уравнения (239), удовлетворяющее этим начальным данным, будет: ечх е-ак и = Енч З!П (ПУ). (246) Пусть и-ч-оо. Прн этом начальное данное )1(у) стремится к нулю равномерно относительно у, ибо [з!П(пу) ~ (1, а реше« иие (246) стремится к бесконечности, если х чь 0 и пу отлично от кратного и.
Действительно, если, например,х ) О, то е-""-~0, а отношение е"7'и'- оо при п-эоо, так как показательная функция е"' растет быстрее, чем и'. Таким образом, при стремлении начальных данных к нулю само решение будет беспредельно возрастать. Иначе говоря, из приведенного примера мы видим, что решение задачи Коши для уравнения (239) не обладает свойством непрерывной зависимости от начальных данных. Для уравнения гиперболического типа такая непрерывная зависимость, в том или ином смысле, всегда будет иметь место (см.
[57), [58)). Мы доказали аналитичность решений уравнения Лапласа для случаи двух независимых переменных. То же самое будет 1эа ГЛ 1 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ЕВ иметь место и в случае трех независимых переменных ихх + и„„+ и„= О. Наметим доказательство этого утверждения. Пусть имеется решение этого уравнения с непрерывными производными до второго порядка в начале координат и его окрестности. Функция и будет, таким образом, гармонической функцией в некоторой замкнутой сфере с центром в начале и радиусом )т.
Мы можем выразить значение этой функции в любой точке (х, у, г), находящейся внутри сферы, через ее значение в точках Д,т),Ь) на поверхности сферы 5 по формуле [Н; 207): и(х, У, г)= — '«ий, Ч, ~) ~'-~"+"+"~, (3. (247) 4В>2 .! й ' ' ((х — $)'+ (у — Ч)'+ ( — Г)'! Ь При всех х, у, г, достаточно близких к нулю, мы можем разложить функцию [(х — $)'+ (у — ч)'+ (г — ь)Ч ' = з з ~ + (хи+ у'+ х!) — (21х+ 2пу+ 2йх) 1 х )(й в степенной ряд по целым положительным степеням (х, у, г), пользуясь формулой бинома Ньютона.
При этом и вся подынтегральная функция интеграла (247) представится таким рядом с коэффициентами, зависящими от ($,т), ь). Интегрируя этот ряд почленно по 5, получим степенной ряд для и(х, у, г). Аналогичным образом можно показать, что и решения уравнения д'и дии являются аналитическими функциями переменных (х, у), о чем мы будем говорить в следующей главе. Доказательство аналитичности решений для широкого класса уравнений эллиптическо>о типа дано в работах С. Н. Бернштейна До сих пор речь шла о классяческих, т. е. дважды непрерывно днфференцнруемых, решениях эллиптических уравнений.
Посмотрим, какими свойствами обладают обобщенные (разрывные) решения этих уравнений. Рассмотрим уравнение (239) и соответствующий ему оператор Лапласа А Для него можно провести рассуждения, аналогичные тем, которые сделаны в 1 д' [43[ и [44) для оператора С) — = А — —,—,, и придти к следующему выводу: уравнение (239) не имеет решений, обладающих слабыми разрывами, а также решений с сильными разрывами, удовлетворяющими кинематическим и динамическим условиям УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА 621 191 (249) » (— „, Ц)йо(х', У')~ (х' (У' )О( » (—,, ври,д (25() на1 и совместности. Это и понятно, ибо для тех и других решений было установлено, что поверхностями как слабого, так и силь- ного разрывое могут быть лишь характеристические поверхно.
сти уравнения, а таковых эллиптические уравнения не имеют. Мы докажем более общий факт: Теорема. Любое обобщенное решение класса Т.о уравнения Лапласа является классическим. Это утверждение справедливо при любом числе независимых переменных. Лишь ради большей наглядности возьмем уравне- ние (239).
Пусть и(х, у) есть обобщенное решение уравнения (239) в круге Ор, —— ((х, у): 1/хз+ у' < ро), т. е и ои Ь,(0р) при ,любом р ( ро и ')) и П 21ахау= О (248) эр, при любой 21 ЕЕ Со (0р,). Согласно теореме, доказанной в [00), усреднения ио функции и являются гармоническими (а потому и аналитическими) функциями, аппроксимирующими и при Ь- О в нормах Т.2(0р), р ( ро. Напомним, что ио определена в 0р с р ( ро — Ь. Воспользуемся следующим свойством гармо- нических функций: ио(Х, у)= — „, ~~ ио(Х', у')ЫХ'Е1у', во М 61 где В,(х, у) есть Круг с центром в точке (х, у) радиуса е, ле. жащий в 0 .-А.
Покажем, что семейство функций (ио), О ( Ь ( (Ьн равномерно ограничено и равностепенно непрерывно в Ор„если р1 ( ро — 2ЬН Воспользуемся для этого неравенством Буняковского и тем, что при Ь = Ь~ ио(х', у')с(х'бу'( )) и (х', у')о(х'с(у'— = со 62„ Эр,,о, по|+26~ (см. (222)). Благодаря этим фактам ч1 ')ио(х, у)~( ( '11 и'„(х', у')6(х'аиду' ( Р'+'"' (258) ~„ГЦ 1/я А| вм ро р) при любой (х, у) ~ 0р, и Ь»(ЬН Далее, для любых (х, у) и (х,у) принадлежащих 0р, и Ь(ЬН (и„(х, у) — ио(х, у) ~( »вЂ”, 1') ~ и„(х', у') )г(х'ду'(» я Ъ 19Я ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
