1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 36

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 36)

о о о о (230) Зафиксируем какую-либо внутреннюю подобласть 0' области О. Соотношения (230) справедливы при любой о из С, (О') и й, меньших расстояния 0' до границы О. Это в силу теоремы 2 из [1Ч!;112) гарантирует, что О(иэ)=0 в 0', т е.

иА является классическим решением однородного уравнения (225). При и- 0 они сходятся к обобщенному решению и в норме 0|(0'), так что высказанное выше утверждение доказано. Легко видеть, что верно и обратное утверждение. если функ!1ия и может быть аппроксинирована в нормах Оз(0'), 0'с: О, классическими решениями и,„ однородного уравнения (225), то она является обобщенным решением этого уравнения в области О. Благодаря этим двум утверждениям можно было бы дать другое определение обобщенных решений уравнения 0(и) = О в О, как пределов в нормах !.З(0') его классических решений, причем это определение было бы эквивалентно данному вь!ше. Однако мы ие будем работать с ним, ибо оно применимо лищь к операторам О с постоянными (или, общее, с достаточно гладкими) коэффициентами, Отметим лишь, что в работах С.

Л. Со- ложно аппроксимировать в нормах Оз(0') классическими решениями того же уравнения. Действительно, пусть и есть обобщенное решение класса Оз Однородного уравнения (225) в О, т. е. и ~ ОЗ(0') для любой 0' и 60! ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА !83 болена 30-х годов развивался именно такой подход прн исследовании разрывных решений волнового уравнения и нахождении решений задачи Коши для него. Далее он и ряд других авторов исследовалн разрешимость задачи Коши для гиперболических уравнений с переменными коэффициентами, исходя нз классических решений задачи Коши для специально построенных уравнений, аппроксимирующих данное.

Обобщенные же решения уравнения (нли задачи Коши для него) определялись, как пределы (в тех или иных нормах) классических решений приближенных уравнений (или задач Коши для них), аппроксимирующих данное. Для тех же уравнений или предельных задач для них, для которых имелись какие-либо хорошие интегральные представления решений, обобщенные пе пения определялись с помощью этих представлений (см. работы Н.

М. Гюнтера, Ж. Лерэ и др.). Доминирующая роль тождества (226) была осознана пе сразу, хотя оно фигурировало еще в работах 20-х годов (например, в работе: В и пер Н. Тйе Орега1!опа1 Са!сп1пз. — МаГп. Апп., 1926, 95, р. 557 — 564). Позже (в конце 40-х — начале 50-х годов) были даны определения обобщенных решений задачи Коши и предельных за. дач для уравнений разных типов, не использующие нн представления этих решений, ни аппроксимационные процессы Эти определенна, опирающиеся на интегральные тождества, оказались плодотворными при решении предельных задач.

Именно такая идеология была систематически развита в работах О. А. Ладыженской, в частности в ее монографии «Смешанная задача для гиперболического уравнения» (М.: Фнзматгиз, 1953). В них была понята целесообразность введения не одного какого-либо класса обобщенных решений задачи, а целой шкалы обобщенных решений, если ноэффицненты уравнения достаточно гладкие функции. Напротив, если коэффициенты уравнения негладкие функции, то нередко с ннм можно связать лишь какой-то определенный класс обобщенных решений. Так, например, если коэффициенты а,А илн Ь, уравнения (225) не имеют производных, входящих в выражение ).', то данное выше определение его обобщенных решений, использующее тождество (226), неправомерно.

В следующей главе мы дадим определения обобщенных решений различных предельных задач, принадлежащих тем или иным функциональным пространствам, и покажем, как с их помощью исследовать разрешимость этих задач. Здесь же рассмотрим задачу Коши 1,(и) — = ~, а,Аик..ь+ Е Ь,ик, +си — ии=), (23!у „А! ' "" Оп ")с-о=ф(х) "г)~-о=ф(х). (232)! 134 ГЛ 1 ОБШАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 440 считая, что коэффициенты Е достаточно гладкие функции и уравнение гиперболично.

Умножим уравнение (231) на произвольную функцию Ч(х, !) ~ С, ()т ) (напомним, что такие функции имеют компактный носитель) и полученное равенство проинтегрируем по области )т++ =((х, Г): х ен )1", ! > О). После этого выполнил! в левой части интегрирование по частям, так, чтобы на и не осталось никаких производных. При этом выделятся граничные интегралы по плоскости Ло =((х, !): х ен !т!, М= О), содержащие функции и[!=о и и![!=о, которые мы заменим иа ф и тр согласно требованиям (232). В результате этих операций мы придем к тождеству иЬ*(Ч) т(х т(1+ ~ (фЧ вЂ” фЧ!) о(х = ~ ~Ч т(х атй (233) «+1 « «+! ао и.!.

В ием д'(а,оч) д (ь,ч) А (Ч)= ~ д„д„— ~ +сЧ вЂ” Чн, т, А-! т-! н исе интегралы фактически берутся лишь по ограниченной области, где Ч(х,!) отлична от нуля. Назовем обобщенным решениехт класса (,о задачи Коши (231), (232) функцию и, принадлежащую Ла !««(!т+~ ) (т. е. квадратично суммируемую по любой ограниченной подобласти области !т+~ ) и удовлетворяющую интегральному тождеству (233) при любой Ч БЕС, ()("~'). Ясно, что если коэффициенты ь имеют непрерывные производные, входящие в г"., ! е= !.!, !„(!т+ ), а ф и ф принадлежат ь!, !„(!т'"), то это определение не абсурдно, т.

е. все интегралы, входящие в равенство (233), сходятся. Классические решения задачи (231), (232) удовлетворяют тождеству (233). Далее, если функция и удовлетворяет этому тождеству при любой Ч се С," ()т"+~) и дважды непрерывно дифференцируема при 8) О, то она будет решением задачи (23!), (232). Чтобы убедиться в этом, надо выполнить интегрирование по частям, перенося обратно производные с Ч на и.

Это приведет к тождеству [Ь(и) — П Чт(х т(!+ ~ [(ф — и,) т! — (<р — и)Чт[т(к= О. (234) «+! « ао Для ЧЕЕСо (й++') интегралы по )1о" равны нулю, и из полу. чеиного тождества, сотласно теореме 2 из [1У!, 113! мы заклю. оо1 ововщеиные оешения кехвненни втоеого пооядко 1в6 чим, что с.и = [ в сс+ . Но тогда (234) эквивалентно тождеству ~ [(ф — ис) Ч вЂ” (сР— и) с1с) с(х = О.

(235) ло Возьмем теперь лишь те т1 из С, [сг"~ ), которые равны нулю при 1= О. Тогда из (235) выпадет интеграл, в который входит. >1, а из полученного тождества будет следовать (в силу той же теоремы 2 из [1Ч>,113)) равенство ср= и[с=о, ибо в качестве г1>[с=о можно взять любую функцию из С, (сс"). Таким образом, (235) редуцируется к тождеству ~ (ф — ис)>1сссх=О, о из которого аналогично заключим, что ср = и>[с=о Итак, мы убедились, что тождество (233) содержит в себе всю информацию о задаче (231), (232). Из доказательства этого факта видно, насколько существенным было то, что это тождество должно выполняться при любых Ч из Со" [сс"+ ) Если бы мы взяли более узкий класс функций ть например только >1 ~Со [А+ '), то мы не смогли бы доказать, что функция и удовлетворяет начальным условиям (232). Из всего сказанного ясно, что данное выше оп.

ределение обобщенного решения задачи (231), (232) действительно является расширением понятия ее классического решения. Такое расширение необходимо, если функции 1, ср или ср не обладают достаточной гладкостью. Например, есля [ разрывна, или если ср или ср недиффереицируемы, то задача (231), (232) заведомо не имеет классических (дважды непрерывно дифференцируемых в Ф~~') решений. Однако введенное нами расширение понятия решения задачи (231), (232) нуждается еще в одном оправдании. Л именно, в [571 мы доказали, что в классе классических решений задача (231), (232) имеет детерминированный характер: она не может иметь двух различных решений. Это одно из важнейших свойств динамических задач желательно сохранить, и потому необходимо выяснить, сохраняется ли в определенном выше классе обобщенных решений теорема единственности.

Приведенное в [561 доказательство не годится, ибо для его правомерности исследуемые решения должны обладать хотя бы обобщенными производными второго порядка. Другой способ доказательства теоремы единственности был предложен в начале века Гольмгреном. Но он требует умения находить классичеекие решения сопряженной задачи при достаточно гладких и финитных свободных членах и начальных функций.

Эта задача является, псь 1зз гл. ь овш»я твопия тг»вненип с ч»с»ными ппоизводными сути дела, такой же, что и исходная задача (231), (232). Для 'уравнений с переменными коэффициентами она была исследована Ж. Адамаром, а затем И. Шаудером и другими, весьма тя. желыми средствами и при очень большой гладкости коэффи. циеитов 0.

Было желательно найти другие способы доказательства теоремы единственности для обобщенных решений, которые не опирались бы на умение находить классические решения сопряженной задачи. Это было сделано в работах О. А. Ладыжен. ской в начале 50-х 'годов (см. упомянутую на с. 183 монографию, статью: Ладыженская О. А.

О разрешимости основных краевых задач для уравнений параболического и эллиптического типов. — ДАН СССР, 1954, 97, № 3, с. 395 — 398, и др.). Что касается нахождения обобщенных решений задачи (231), (232), то для этого можно воспользоваться методом Галеркина, методом конечных разностей, функциональным методом О. А. Ладыженской и другими. 61. О существовании и единственности обобщенных решений задачи Коши пля вЪлнового уравнения. Для волнового уравнения (236) обобщенные решения задачи Коши при «плохих» 1, ф и ф можно получить, используя формулу Пуассона — Кирхгофа.

Если, например, 1 е= 7ь ь»()7 ), ф ~ («2, мс ()7 ) а ф е= » в мс()7 ), то возьмем их усреднения 1», ф» и ф, и соответствующие им классические решения и» задачи Коши для оператора П. Пря И- 0 1» сходятся к 1 в нормах 0«(0), ф» к ф в нормах В'з(0), а ф» к ф в нормах (.«(О), где 0 и 0 — любые ограниченные области из )7»+' и )г». Неравенство (202) для 0 = С) позволяет утверждать существование функции и(х,(), являющейся пределом и»(х,1) в нормах йт»(0). Эта предельная функция будет обобщенным решением задачи (236), (232).

Действительно, каждая из и» удовлетворяет тождеству (233) с 1= 1», ф = ф», ф=фм и в этом тождестве можно перейти к пределу прн И- 0 (при фиксированной т1 из С,"()с"~ )). В результате убедимся, что и и удовлетворяет этому тождеству. Найденное нами реше. ние обладает даже ббльшей гладкостью, чем требовалось в оп. ределеини обобщенного решения из класса йь Для построения решений, отвечающих менее гладким 1, ф и ф надо установить неравенства, оценивающие подходящую норму решения через нормы пространств, к которым принадлежат 1, ф и ф.

Характеристики

Список файлов книги