1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Совершенно так же, как и выше, непрерывная зависимость решения от начальных данных сводится к тому, что если 1 в = О, и функции фо(хь хг) и ф((хь хз), входящие в начальные условия и!! О=фа(х! хз)' и! 11-О=ф!(х! х2) (204) малы (в каком-либо смысле), то в известном смысле и решение и(х), хм1) также мало. Положим, что малость нцчальных данных мы понимаем в том см(()еле, что интегралы Ь(0) и К(0)— малы, т. е.
положим, что мы имеем неравенства Ь(0) ( а и К(0) ( е, где е — малое положительное число. При этом из (20!) непосредственно следует, что Ь(1) и К(1) во всей области (г) имеют оценку вида К(1) (2еес!. 1 (1) (2еес! Непрерывную зависимость от начальных данных можно доказать пе только в смысле оценок интегралов К(1) и Ь(1), но и В смысле оценки абсолютного значения самой функции, если н = 1, т. е. если мы имеем две независимые переменные х! и А Это непосредственно следует из метода Римана [45], если уравнение приведено к той канонической форме, которая была принята при применении метода Римана. Есля число независимых переменных больше двух, то, пользуясь указанными неравенствами, нельзя из малости )фь( и )ф!! получить малость )и( (при 1 — 0).
Рассмотрим при помощи выведенных выше неравенств случай и = 1. При этом мы имеем независимые переменные (х,1), и область 0 есть трапеция АВВ!А, с криволинейными,' вообще говоря, боковыми сторонами. Прямая А!В! имеет уравнение 1= Т. Положим, что х = $!(1) есть уравнение стороны АА! и х= = Вз(1) — стороны ВВН Мы считаем, что не только функции !р,(х) и ф!(х), входящие в начальные условия (204), но и производная фь(х) малы по абсолютной величине. При этом и интегралы от квадратов этих величин по основанию АВ области 1л будут малы, и тем самым будут малы величины ~.(0) и К(0), причем в данном случае мы имеем ыв) К(1)= $ [а(х, 1)и'„+иД (х, '1 (П ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ 171 г х ->2 х к ~ и„(х', 1)>(х'~ » <~ и'(х', 1)>1х ° ~ ('>(х> пю ми> вю Откуда (и (х, 1) — и (Е>(1), 1))В < от> [Е> (1) <х ~<ЕВ(1)], (205) где а = ВВ(0) — $> (0) в Р.
Благодаря неравенству Буняковского получаем оценку ("07) Из (206) следует и[В>(1), 1]=и(х, 1)+ о(х, 1), где [о(х, 1) [<» ~/аЧ. (208) Интегрируя обе части по х в пределах а>(1) < х < $В(1) и поль.зуясь (207), получим [и[а>(1), 1][< ьч + т/аЧ, (209) где Ь равно разности $~(Т) — $>(Т), так что [и[5>(1),1] [< <(1+ Ь-') ~>>пц. Пользуясь (208), получаем, на основании указанного только что неравенства, оценку [ и (х, 1) [ < (2 + Ь ) .~/ать (210) где т> — оценка интегралов (205), а Ь = ~,(Т) — $>(Т). Таким образом, мы и имеем искомую оценку [п(х,1) [ во всей области Р, считая Ь ) О.
Переходим теперь к оценке решения и(х,1) в зависимости от свободного члена 1'. Положим, что при однородных начальных условиях (203) свободный член 1 отличен от нуля. Пусть [1'[< Мм где МВ— положительное число; тогда, используя (196) и (201), получим К (1) + Е Я » (а1М,В (21 ь) где а(х,1)) и>) О. Из малости Е(0) и К(0) следует, в силу указанных выше оценок, малость величин Е(1) и К(1) при 0 <. = 1 < Т, откуда мы можем заключить о малости интегралов ыю мш $ н> и'(х, 1)>1х; ~ и'(х, 1)дх; ~ и'(х, 1)>(х. (205) вю ьн> 1 н> Положим, что эти интегралы не превышают некоторого положительного числа т>. Мы имеем, применяя неравенство Буняковского, -[и(х, 1) — и[$>(1), 1])В= СЛУЧАЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ 1тз лярное произведение в котором определено равенством ,(», о<.= 1 [»о <.1' 1'а'ооч)»*.
ВЛЕ <-( (л где символ В< означает производную порядка 1 любого вида, а знак 2 — суммирование всех таких производных. Доказы. (л вается, что ((Г» (Вл) есть полное гильбертово пространство. Обозначим через ф» усреднения ф, определенные в [!Ч(, 110). Известно, что онн суть бесконечно дифференцируемые в В»-» функции, сходящиеся к ф при й-~0 в нормах пространств В'Г(ВЛ,), где 1<( — любое число, меньшее 1<.
Аналогично <р» бу- дут сходиться к (Р в нормах (у» '(В(<,). Пусть и»(х, 1) есть решение задачи Коши для уравнения (212), отвечающее начальным данным ф» и фм Из формулы Пуассона видно, что и» имеет непрерывные производные всех порядков. Устремим й к нулю и исследуем этот предельный пео реход в конусе О( =[(х, 1): 1х~ < 1<<, 0 <1<(х(). Конус О< удовлетворяет всем требованиям, которые были наложены на область в пункте [56), и потому для и» справедливы неравен- ства (2!4), в которых роль В(1<) играют сечения О( плоскостью 1= 1(. Эти же неравенства имеют место и для функций о(, »(х,() = =и»,(.с, !) — и». (х, 1) (нбо они также являются решениями урав- нения (212)), т.
е. ( [1 (а'„ч„,т-,-(о',ь,»1»*( в<п(- -< ( 1 [у<о', ...>'<-(а' ь„(]»*, <»п( в <о( ь(-( При Ь( и Ьь стремящихся к нулю, правая часть (215) пойдет к нулю прн 1= О, 1,, т — 1, следовательно, это же имеет место и на любом сеченин В(1), 1ен[0, <<(), Сами функции о(л также стремятся к нулю в нормах <.В(В(1)), так как для лю- бой гладкой функции о о (х, 1) = о (х, 0) + ~ о(, (х, 1() Ж(, о н потому (в силу неравенства Коши — Буняковского)' о' (х, !) ~ 2о' (х, 0) + 21 $ о,', (х, 1() <(Ц о !74 ГЛ ! ОВШАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ !ОО по о(х(~ 2 ~ оодх+ 2! ~ ~ о ~(хдх, (216) вю в <о1 о вна Интегрируя (215) и (2!6) по ! в пределах от О до !о ( !Ть убеждаемся, что ого и все их производные до порядка т сходятся к нулю в норме А'.о(01). В силу полноты пространства 5о(Р~) и свойств обобщенных производных, описанных в [1ЧО! !3, !141, существует элемент и пространства- Ж'~ (О~), к которому сходятся функции ио в норме Ого (й).
Более того, из (215) и (216) видно, что имеет место сходимость ио(х, !) в нормах 57о (В(!)) и сходимость по~(х, !) в нормах )(7о (В (!)) при любом 1еп ее [О, !Т~), так что функция и(х, !) будет принадлежать В', (В(!)), а ио(х, !)Ен!(Яо" (В(!)) при любом !~[О,)!,), и для и будут выполняться неравенства (214) и (216). При т) 2 и будет удовлетворять уравнению (212) при почти всех (х, !) Нз Вь Таким образом, мы сумели найти решение задачи Коши для уравнения (212) в области Оь предполагая о начальных данных ф н ф, что они суть элементы ФТ (Вв) и 57о (Вв), ~и ) 2, соответственно. Более того, мы показали, что гладкость этого решения не ухудшается во времени, если эту гладкость характеризовать принадлежностью и(х, !) и ш(х, !) к пространствам Й'о (В(!)) и Уго (В(!)).
Если ф и ф мало менЯютсЯ в ноРмах пРостранств )РА (Вв) и й74 '(Вл) соответственно, то соответствующее им решение и и его производная и~ мало меняются в нормах 57о (В(!)) и 1(уо (В(!)). Точнее, если им й = 1,2, суть решения уравнения (2!2), отвечающие начальнь|м данным вро и ~)А, 7о = 1, 2, то для их разности о = и1 — ио справедливы неравенства (214) и (216), которые и характеризуют непрерывную зависимость решений задачи Коши от начальных данных в соответствующих интегральных нормах.
Решение задачи Коши, найденное нами выше, единственно в классе функций, принадлежащих йгГ (01), если т ) 2 Действительно, для функций этого класса справедливы рассуждения, приведенные в [561, если все интегралы понимать в смысле Лебега и имеющиеся там неравенства рассматривать не для всех, а для почти всех значений ! из [О, Т). Обратим внимание на особую роль пространств В',"(В(!)) для гиперболических уравнений С их помощью удалось уловить весьма важное свойство решений уравнений (212): неухудшаемость их гладкости при увеличении времени.
Более того, так как изменение направленая оси времени (т. е. замена ! На — !) не ТЕОРЕМА ВЛОЖЕНИЯ 175 меняет уравнения (212), то задача Коши для них решается таким же образом и в направлении убывания 1, н поэтому гладкость решений не ухудшается и при уменьшении времени. Тем самым, мы установили такой факт: решения однородного волнового уравнения при любом 1 сохраняют со временем ту гладкость, которой они обладали в начальный момент времени.
Это верно, если гладкость решений и характеризовать принадлежностью пары (и(х,1); и!(х,1)) пространствач Я!2™(В(1)) х, Х н22 (В (1)),1~( — 12!, 11!). Б терминах же других пространств это свойство не улавливается. Например, оно не имеет место, если гладкость решений характеризовать непрерывностью тех или иных их производных (Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики, т. Н. — Мл Гостехиздат, 1951, гл Ъ'!, $ 1О, п. 4). Мы показали, как используются неравенство (213) и его следствия (214) для решения и анализа задачи Коши применительно к уравнению (212).
Так же подробно можно исследовать и случай неоднородного волнового уравнения. Более того, неравенство (201) и его следствия играют фундаментальную роль и при изучении задачи Коши для гиперболических уравнений общего вида (!81). Мы проиллюстрируем это в следующей главе на примерах более сложных задач для уравнений (181) и покажем также, как из полученных там результатов вывести разрешимость задачи Коши для уравнений (181). 59. Теорема вложения в пространство непрерывных функций и некоторые ее следствия.
Оказывается, если функция 1(х), х ~ 0 с: Р", обладает квадратично суммируемыми обобщенными гпт производными по всем х, до порядка 1 и 1)!ь — )+ 1, то она эквивалентна функции 1(х), непрерывной! в О, и !пах(1 (х)1 оцекап нивается через норму 1 в пространстве 972(0). Это верно при не! которых ограничениях на область О, например для 0 с гладкой границей. Сформулированное утверждение является частным случаем теорем вложения, установленных С. Л.
Соболевым. Мы докажем несколько более слабое предложение: непрерывность 7(х) лишь в открытой области 0 и оценку шах~1 (х) ) кеР' для любой внутренней подобласти 0' области О. Сначала убедимся в справедливости следующей теоремы: Теорема 1. Если функция 1(х!, ..., х„) имеет внутри пмерного 'шара 0 непрерывнь2е производные до некоторого порядки 1 и имеют место оценки '") да1, 2 с(х, ... дха~~А' ( =0...,., 1), (~17) и 1~ дх!' ... дх„а 176 Гл.
!. ОБШля теОРия уРАВнении с чАстными ПРОпзвопными ю ! 1~(сА (Д=-О, 1, ..., Š— [ — ~ — 1), (218) в»~' в» л ~ где постоянная с зависит только от вь бора О!. Построим вспомогательную функц О 1 при х~ —, 1 з' 2 при 1 1 е — е 1 2 — + — „„при — (х < —, 22е+е2 з' о (х) = (219) где ( — ») (» — — ) 1 Очевидно, и-е + ОО при стремлении х к — от ббльших значе- 2 ний и и-е- — со при стремлении х к — от меньших значений. 3 При этом о(х) стремится соответственно к единице и нулю, и нетрудно проверить, что все производные о(х) непрерывны прн х = !/е и х = е/ъ ПУсть Ме — некотоРаЯ точка из О! и й — Разность радиусов 0 и А)!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
