1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Используя функцию о(М; Ме) с указанными выше свойствами, мы построим сейчас формулу для решений уравнения (122). Пусть и(М, г) — такое решение в области О, ограниченной поверхностью 5, и пусть Ме — точка внутри О. Положим, что существует центральное поле с центром Мо, содержащее область О, и что у нас имеется функция п(М; Ма) с указанными выше свойствами. Исключим из области О малую сферу 5, с центром Ме и ра. диусом е. К оставшейся области О' мы можем применить формулу (132): 331 1д 1 () д д~~д111 +~~~(и]йпЫо=О. (137) э образуют поле. Если с — постоянная, то, как мы уже указывали, т = г/с, и нетрудно проверить, что уравнению (!30) удовлетво. ряет функция и=1/г.
61. Формула Соболева (продолжение). Положим, что нам удалось построить функцию о(М;Ме) с непрерывными производными до второго порядка в окрестности точки Мм имеющую особенность в точке М, и удовлетворяющую следующим условиям: 1) произведение о(М,Ме)т(М;М,) имеет непрерывные производные до второго порядка, включая точку Мо, и 1пп п(М; Мч) т(М; Ме) = 1 и-+м, с(Ма) ". 2) а(Мо, М)=о(М; Мо); (134) 3) оператор Лапласа от п(М;М,) удовлетворяет неравен- ству 1б! постоовнив ж нкцин о т.е.
положим, что уравнение поверхности 5 имеет вид т(М; Мо) = й При этом в правой части значения функций должны быть взяты в момент времени ! — т(М; Мо) или, в силу т(М; Мо) = й в момент времени ! = О. Принимая во внимание начальные данные (139), мы сможем переписать уравнение (138) в виде и (М„!) = — о! ) ~ о — ' — го — + о — 1, ) д5 + — ~ ~ ~ [и) д>о г(о, 4н дд 1 дл дл дл 1 4л е> > где О> — область, ограниченная квазисферой 5ь Двойной интеграл„ стоящий справа, представляет собою известную функцию, которую мы обозначим через Р(Мо,1). Мы получили, таким образом, для и(М,>) интегральное уравнение и(Мо !)=Р(Мо. !)+ — „„~~ ~(и)бо(М; Мо)>(о. (140) О, При выводе этого уравнения мы должны были предполагать, что ! таково, что в области О> сугцествуют центральное поле с.центром М, и функция о(М;Мо) с указанными выше свойствами.
Заметим, что при изменении М, и ! меняется и область 0н и уравнение (140) аналогично уравнению Вольтерра. Можно показать, что при 1, достаточно близких к нулю, это уравнение имеет единственное решение, которое может быть получено применением обычного метода последовательных приближений, и что это решение является вместе с тем и решением поставленной задачи Коши для уравнения (122). Если мы имеем безграничное пространство, то близость ! к нулю обусловливается возможным появлением особенностей у поля вариационной задачи при расширении 0ь Прн наличии границ мы должны, конечно, считаться с приходом возмущений, отраженных от границы, что также существенно ограничивает возможный проме жуток изменения й 32.
Построение функции о. Перейдем к построению функции о с указанными выше свойствами. Мы покажем, что эта функция имеет явное выражение в конечном виде, если считать известными экстремали, образующие упомянутое выше цент. ральное поле. Предварительно докажем две леммы: Лемма 1. Если имеется система дифференциальных драв. нений дх> — „," = Х> (й хи х>, х>) (А ° 1> 2, 3) (И1) '!62 ГЛ В ОБШАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ )ЗЗ и изевстен общий интеграл ее х» = ф» (1, аь ав, аз) (й = 1 2 3) (142) то имеет место формула — 13 ' ' = — + — + —. а 0 «ри фз, фз) дхз дХ» дХв аг )З(аз ав аз) дх, дхз дхз (143) В этой формуле под зназом логарифма стоит функциональный определитель от функций (142) по аь аь аз, и в правой ее части х» надо заменить функциями (142).
Выпишем упомянутый только что определитель и продифференцируем его по !. Принимая во внимание основное определение определителя в виде суммы произведений его элементов, мы можем утверждать, что при дифференцировании определителя достаточно продифференцировать в отдельности каждый его столбец и затем сложить Бсе полученные определители !!Пв, 122). Таким образом, мы получим а 0 «р фв фз) аз Р(аь аз, аз) (144) Принимая во внимание, что функции (142) должны удовлетворять системе (141), мы получаем следующие тождества относительно ! и а».
д) — — Х»(! фз фв 'Рз) (и=1, 2, 3). Дифференцируя эти тождества по а„будем иметь двф» в-з дХ дф да,дз х.а дх, да, з 1 Подставляя эти выражения вторых производных в правую часть формулы (144) и разлагая каждый определитель на сумму трех определителей, будем иметь д ))(фи фь р,) т дХ, дХ, дХ, ~ !)(фи фь рй ав В(аи ав, а,) А дхз дхв дхз / !)(аз аз аз) ' что и дает формулу (143). двф1 да, д) двфз даз дг двфз даз д) дфз дфз да, да, дфв дфз даз даз дфз дфз да, даз дфз двор» дфз да, да, дг да, дфз д'фв дфз дав дав дз дав дф~ двфв дфз дав даз дз даз дфз дфв да, да, дфз дфв дав дав дфз дфв дав даз д фз даз д) двфз дав дв двфз даз д) постэовнив езнкции о Лемма 2. Пусть 1 — единичный вектор касательной к некоторому семейству кривых, зависящему от двух параметров и заполняющему трехмерное пространство или некоторую его часть, и б — функциональный определитель преобразования от декартовых координат к криволинейным, причем эа криволинейные координаты принимаем два параметра а1 и ао, определяющих линию упомянутого семейства, и длину дуги з вдоль этой линии, отсчитываемую от некоторой поверхности, которая пересекает все линии семейства, или от точки, где все зги линии пересекаются.
При этом имеет место формула Й(ч1= д!ид до (145) дг —,=Х до Так как правые части не содержат з, одна из произвольных по- стоянных зо будет входить в качестве слагаемого к з, и общий интеграл системы будет иметь вид х=ор1(з+зо аь ао); у=щ(з+зо, аь ао); г=<ро(э+ го, аь ао). Применяя предыдущую лемму, получим й(ч1= — + — + — = — !д дх дт дХ д Р (Ф1 Фм 'Рз) дк ду дг до Р(о„ао а,) ' и, принимая во внимание, что де дно доо до мы и получаем формулу (145).
Вернемся теперь к рассмотренному выше центральному полю экстремалей с центром Мо и к уравнению (1ЭО), которому должна удовлетворять функция о. Вектор йтадт касается экстре- мали, и нз (124) следует, что — = и (М), где п(М) = 1: с(М). дт Принимая это во внимание, можем переписать уравнение (130) в виде 2, п(М)+о(М) оът(М)=0, причем длина дуги з отсчитывается от точки Мо.
Для вычисления ат(М) используем лемму 2. Мы имеем игай т(М) = а(М) 1, Писть Х(х, у, г), У(х, у, г), Х(х, у, г) — составляющие вектора 1 в точке (х, у, г). При этом кривые семейства удовлетворяют системе дифференциальных уравнений — Х, дх ду до Ио 154 ГЛ.
Ь ОБШАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЙМИ ПРОИЗВОДНЫМИ (ЗО где 1 — единичный вектор касательной к экстремали поля. От- сюда 6!ч игаб т (М) = Ьт (М) =1 ° пгаг! и (М) + и(М) 4(!ч1. Первое слагаемое справа есть производная от и(М) по з, а второе, в силу леммы 2, равно и (М) —, д!ЕЬ и уравнение для о(М) переписывается в виде 2 дз и(М)+о~ дз +и(М) д ] —,— О, или д1иа д!ял д)КЬ 2 — = — — — —, дз дз дз откуда, интегрируя, получаем Ч' (а„аз! АIЯ(М)Ь ' где Ч'(аь аз) — произвольная функция своих аргументов.
В ка. честве паРаметРов а1 и аз возьмем Угловые кооРдинаты Фо, 1Ро сферической системы координат для направления касательной к зкстремали в точке М,. Предыдущая формула при атом запишется в виде Ч (Ь,,фо) (А() В (з, Оо, фо) Вид функции Ч'(Оо, фо) мы определим из первого из условий для функции о(М), указанных в 151). Это условие имеет вид 1пп а(М)т(М)=-и(Мо). м-зм, Принимая во внимание вид интеграла (123), мы можем написать т (М) = ~ и (М) 1(з, о где интегрирование производится вдоль зкстремали. Применяя теорему о среднем, получим !ип — = и (Мо), т (АО з-зо и предыдущее условие для о(М) может быть записано в виде 1нп а(М) з= 1.
(147) з-зо Заметим, что при з-~-О точка М стремится к Мо. постповнив ээнкции и Для исследования функционального определителя, стоящего в формуле (146), обратимся к формулам, установленным в !171, 901 для канонических переменных в задаче о геодезических линиях. В данном случае ф=п'(М)(х' +у' +з'), и канонические переменные имеют вид р, = 2пз (М) х'; рз — — 2п' (М) у', рз — — 2пз (М) з'. Мы имеем следующие начальные условия х() = з1п 0(1 соз фз, 'Уз = 3!и Оз з1п фз, 'аз = сов'Оз Рм = 2п'(Мо) ейп дз соз 1ро' Рм = 2п'(Мо) зйп 0» 3!п срз) (148) рзз = 2п' (Мз) соз 0з.
Уравнения экстремалей поля будут: х=ср1(гь гы гз хо ум зз); у= — фг( ) х=фз( )~ (!49) где г» = зр»з и ф» — функции, имеющие непрерывные производные до некоторого порядка. Дифференцируя первую из формул по з и полагая затем з = О, получим з1пбзсозфз=(д ) Р1»+(д, ) Ргз+(Л, ) Рзп.
Пользуясь формулами (148) и произвольностью дз и фс, получим (~ ') =(д ') =О; (~ ') =1:2п (Мз). Пользуясь и остальными формулами (149), получим следую. щие общие формулы: ( — ') = 1: 2п'(Мз); ( — ') =0 (! ~ й). С помощью формул (148) н (149) мы можем составить функциональный определитель от функции ф» по переменным з, дз, фз. При дифференцировании по Оз и фс через посредство г» мы получим множитель з, и два столбца этого определителя будут содержать этот множитель. Деля определитель на зз, мы перейдем к пределу, устремляя з к нулю. В результате придем к ра. венству 3!и О» спз ф» ссз О» спз ф» — Мп дс »1п ф» ! цщ — ' ' = Мпе» Мпф» созе» Мпф» Мпп,спзф» = З1нзз 1 О(г,у,г) »-»С (з о Фо) ссзэ» — »1п 0» О 15В ГЛ.
!. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ЯВ Для определения произвольной функции в формуле (146) умножим обе ее части на з и устремим з к нулю. Пользуясь последней формулой и формулой (147), будем иметь ! — ... о'(о,, о.! — оиги,! о„ Ч' (("о Фо) Ч/л(Мо) 5!и Оо и окончательно мы получаем следующее выражение для функции о: (150) й (и, у, 5) () (5, Оо, фо) Можно проверить, что эта функция имеет все свойства, указанные в ]51]. Если п(М)= сонэ(, то (з,бо, фо) суть обычные сферические координаты точки М, и последняя формула дает ! о= —. Г 53. Общий случай начальных данных. Положим теперь, что начальные условия заданы не на плоскости ( = О, а на какой- либо поверхности с уравнением ( = ф(М): и ]о <м) = ©а(М); и! (,„Ф!Ая = !о! (М). (151) Будем решать задачу при () ф(М).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
