1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 28
Текст из файла (страница 28)
В первом из написанных интегралов перепишем подыите. сральную функцию в виде иео — о„и+ 2аио = — (ио)„+ 2о (аи + ив) и произведем интегрирование. Аналогичное преобразование применим и ко второму интегралу. В результате мы будем иметь следующую формулу: и (Р) = и (С) о (С) + ~ о (аи + и„) г(у + ~ о (Ьи + и„) ~(х. (95) СА св Применим полученную формулу для доказательства одного свойства функции Римана.
Заметим прежде всего, что операго- ром, сопряженным с оператором Е'(о), будет исходный опера- тор Е(и). Действительно, Е' (о) = о„в — ао, — Ьо„+ (с — а — ЬР) о, и сопряженный оператор будет: Е1(и) = и„„+ (аи)„+ (Ьи)„+ (с — а„— ЬР) и = =и„„+аи„+ Ьи„+ си =Е(и)-. Применим формулу (95) к функции Римана и оператора Е*(о). В операторе Е*(о) коэффициенты при о, и о„равны ( — а) и ( — Ь), и, следовательно, функция Римана этого оператора есть решение уравнения (94), удовлетворяющее на прямых СА и СВ уравнениям аи + ич = О и Ьи + и, = О, и, кроме того, мы долж- ны иметь и(С)=!.
Точка С(а, т!) будет играть при этом роль "гочки Р(хъ уо) функции (93), Пользуясь формулой (95) для этого частного случая, мы придем к следующей формуле: и (хм Уч' в. т!) = о (в, тй хо Уо) т. е. функция Римана (93) оператора Е(и) переходит в функцию Римана сопряженного оператора Е'(о), если переставить у нее точки (х, у) и (хм уе). Если выражение Е'(о) совпадает с выра- жением Е(о), то выражение или оператор Е(и) называется сим- метричным, и для симметричного оператора функция Римана будет симметричной функцией тех двух точек, от которых она $34 гл.
!. ОвшАя теОРия уРАВнении с чАстными пРОизВОдными ((т зависит. Принимая во внимание выражения для 7.(и) и 1.'(о), нетрудно написать условия, при которых 7.(и) будет симметричным: а = Ь = О. Задача определения решения уравнения (94) при задании значений самой функции на двух характеристиках называется обычно задачей с характеристическими начальными даннь(ми. Формула (95) совершенно так же, как и в случае задачи Коши, показывает, что задача с характеристическими начальными данными может иметь только одно решение. 47. Теоремы существования.
Нам осталось доказать теоремы, устанавливающие суи(естеаеание решения задачи Коши и задачи с характеристическими начальными данными. Мы начнем с последней задачи и будем рассматривать только случай однородного уравнения. Требуется найти решение уравнения (94), принимающее заданные значения на характеристиках х= = хо и у=уо> и 1,, =ф(у); и 1„„=ф(х) [ф(уо)=ф(хо)) (96) Считая, что коэффициент Ь имеет непрерывную производную по у, мы можем переписать уравнение (94) в виде системы двух уравнений первого порядка: и„+ Ьи=в; (97) в„+ ав= да, (98) где д=аЬ+܄— с, причем для вновь введенной функции в мы получаем следующее начальное данное: в 1„, =ф'(х)+ Ь(х, уо)ф(х)=е(х). ' (99) Рассматривая уравнение (97) как обыкновенное линейное дифференциальное уравнение и принимая во внимание первое нз условий (96), мы получаем выражение функции и(х, у) через функцию в(х, у): о 4 - ) Ь (М У> Еь~ о ) Ь (Р, д> Еь (*.
>= * (1" о и>и>(-о(о] Созершенно так же уравнение (98) дает нам — ) а(м ч>еч1 ю ) а(к,чэеч' гь(х, у)=е "' ~Р~ео' д(х, т>)и(х. >))((>)+ + (р'(х) + Ь (х, уо)(р (х)(. теОРемы сипестВОВАния Эти уравнения равносильны уравнениям (97) и (98) с началь- ными условиями (96). Вводя обозначения Ф ч ) ьн, мен ) а(к.ч1 еч' К,(х, у; е)=ек Кг(х, у; т1)=ее т1(х, т)), (100) можем переписать вышеуказанные уравнения в виде к -) ы. меь к и (х, у) = е ' тр (у) + ~ К, (х, у; $) те ($, у) т(Е, кэ — ~а<к, меч е те(х, у)=е к в(х) + ~ Кь(х, у; т1)и(х, т1)т(т1.
(101) и 1к к,м ф (у) = тр~(х); ик 1„ „,„ = ф~ (х). При интегрировании уравнений (97) и (98) мы должны приник мать во внимание начальные данные и 1к к <е, — — ф (у); те ~е е <м — — ф, (х) + Ь 1х, у (х)] трФ (х) = в, (х).
Применение метода последовательных приближений с обычным рассуждением длн установления сходимости дает доказательство существования и единственности решения последней си. стемы. Для того чтобы можно было вернуться от уравнений (97) н (98) к (94), должна существовать непрерывная смешанная производная и„„.
Из уравнений (101), которым удовлетворяют непрерывные функции и(х, у) и те(х, у), видно, что утверждение относительно и ь имеет место, если Ь(х,у) имеет непрерывные частные производные первого порядка, а тр (у) — непрерывную производную. Если подставим выражение те(х, у) из второго из уравнений (101) в первое, то получим для и(х, у) обычное уравнение Вольтерра с двухкратным интегралом. Переходим к доказательству существования решения задачи Коши. Уравнение линии 1, которая несет на себе данные Коши, может быть записано, как мы видели выше, в виде х = х(у) или у =у(х), где х(у) и у(х) имеют непрерывные, не равные нулю, производные.
Данные Коши на 1 мы можем считать функциями нли независимого переменного х или независимого переменного у. Напишем эти данные в виде 166 Гл. (. ОвшАя теОРия уРАВнений с чАстными пРОНЗВОдными (ат 'Таким образом мы, как и выше, получим следующую систему интегральных уравнений: к - ) ьй,в>ле к и(х, у)=е квй чр(у) + ~ К,(х, у; й)и((й, у)((й, к (а( а (», Ф лч и((х, у)=е ы(к> ш((к)+ К,(х, у; ч)и(х, ч)с(ч, и (к) (102у Можно было бы для доказательства теорем существования примеаить метод последовательных приближений непосредственно к самому уравнению (94), совершенно так же, как зто мы делали для обыкновенных дифференциальных уравнений. Начнем со случая характеристических начальных данных (96). Уравнение (94) с начальными данными (96) равносильно интегродифференциальному уравнению и (к, р) - ф (»1 + ф (р) — ф (».1 — ~ ~ (л (1, ч) и, (1, ч) + ко У1 + ь (й ч) пя (1 ч)+ с (1, ч) и (1, чЦ лй лч, Ноз) причем, в силу очевидного условия ф(кь) = ф(уо), виеинтегральиый член в написайном уравнении удовлетворяет начальным данным (96).
Мы можем в качестве первого приближения взять функцию иа(х, р)-ф(х)+ф(р) — ф(ха) где К((х, у; Ц), Кз(х, у; т1) определяются формулами (100). Доказательство сходимости метода последовательных приближений проводится для системы обычным образом, и таким образом можно получить теорему существования решения. Если точка Р расположена так, как это указано на рис. 1, то при интегрировании по й, в оценках, длину пути интегрирования можно заменить на (а — к), а при интегрировании по Ч на (р — у), где а н р — наибольшие значения х и у в том прямоугольнике со сторонами, параллельными осям, в котором мы рассматриваем решение задачи и где коэффициенты удовлетворяют поставленным выше условиям, например, непрерывны частные производные первого порядка у а и Ь и непрерывны с и 1, что нам было надо при проведении метода Римана.
Мы могли бы рассматривать и неоднородное уравнение (84). Достаточно при этом в правой части уравнения (98) добавить свободный член 1(х, у). Легко доказать единственность решения, и не прибегая к методу Римана, а пользуясь системой (102). !37 теОРемы сушестВОВАния Остальные приближения вычисляются последовательно по формулам х з «л(», У) иа(х, У) — ~ ~~и($, Ч) дил-о ($, о)) д$ + хо эа +Ь($, та) " ' ' +с($, Ч)и„-,(3, Ч)~дфдЧ (и 1, 2, ...).
(104) Применяя элементарные оценки, можно показать, что последовательности функций ди„(х, у) ди„(х, у) равномерно сходятся в прямоугольнике В, изображенном на рнц 1, причем мы считаем, что коэффициенты уравнения — непрерывные функции в этом прямоугольнике. Переходя в соотношении (!04) к пределу, мы убедимся беэ труда в том, что предельная функция последовательности й (х, у) удовлетворяет уравнению (103) и, следовательно, удовлетворяет уравнению (94) и начальным данным (9б).
Перейдем теперь к задаче Коши. Пусть  — прямоугольник, содержащий внутри себя часть кривой 1, на которой заданы данные Коши, и такой, что в прямоугольнике )г коэффициенты уравнения суть непрерывные функции. Пусть (х, у) — некоторая точка внутри этого прямоугольника. Обозначим через Р,о криволинейный треугольник РАВ, ограниченный дугой АВ линии 1 а двумя прямыми РА н РВ, параллельными осям, выходящими из точки Р(х, у). Начальные данные Коши мы можем записать в виде и(г=йо(х)+ ф(у)1 и )1=йг (х), и )г ф'(У).
(103) Действительно, как мы уже упоминали выше, мы можем всегда считать, что начальные данные для и, и и„выражены через х нли у. Интегрируя зти функции, мы получим и начальное данное для и в указанном выше виде. Уравнение (94) с начальными данными (105) равносильно уравнению « (х, у) ор (х) + ф (у) + $ ~ (и (В, Ч) ий ($, Ч) + д»Э +Ьа. г$) и„(й. Ч)+ с(й. Ч) и(й, Ч)1лйиЧ.
В формуле (103) мы писали повторный интеграл с указанием пределов, и арн этой форме записи безразлично расположение точки Р(х, у) относи. тельно характеристик х = хо и у = уо, В последней формуле мы пишем двой. ной интеграл и берем взаимное расположение точки, кривой и осей, укаэанное на рис. 1. В качестве первого приближения мы берем иа (х, у) = т (х) + ф (у), е следующие приближения вычисляются по формулам «л(» У) ио(» У)+ ~~~и(4 Ч) д + ху + У (3. ч) д " '(~' Ч) + а, Ч) и - а. ЧфйдЧ аЧ Совершенно так же, как и выше, при помощи элементарных оценок интегра.
.,пов можно показать, что последовательность и,(х,у) в прямоугольнике )г 136 ГЛ.!. ОВШАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ИВ равномерно стремится к предельной функции, которая н является решением задачи Коши. Метод последовательных приближений применим и для нахождения ре. шений задачи Коши для квазилинейных гиперболических уравнений. Дл» этого целесообразно исходную задачу Коши свести к задаче Коши с одно* родными начальными данными. Рассмотрим уравнение иху /(х, У, и, Р, д).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
