1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 25
Текст из файла (страница 25)
с л ыс ыс Ыхс ЫХА Ьсс — „— = ~ а!Арно! — — 1, 1 А-! С А-! причем таблица В коэффициентов Ьсь получается из таблицы А по формуле [Ш1132) В=(А ') АА '=(А '), (65) или, принимая во внимание, что А симметрична, получим В = = А-'. Введем в пространстве В" метрику, определяемую равен- ством сса — ~' Ьсс 11Х1 с!ХА, С. А-1 Интеграл / лс Ь / ~л ~ с!а = ~ ~( Ы~' Ьмахсссх»= ~ ~( ~ Ьсьхсхьй (66) 1, А-1 С, С. А-1 взятый вдоль любой бихарактеристикн, входящей в состав некоторой характеристической гиперповерхности (61), равен, в силу (65), разности значений 1, соответствующих концам пути инте.
42. Связь с вариационной задачей. Пусть А — таблица коэффициентов ам. Решая систему (64) относительно рс, мы поых лучим р=-А — „где, как всегда, А-' — матрица, обратная Ыс матрице А. Подставляя полученные выражения рс в левую часть уравнения (63), мы преобразуем квадратичную форму от йч в ых квадратичную форму от —, т. е. будем иметь ыс ' .' СВЯЗЬ С ВАРИАЦИОННОЙ ЗАДАЧЕИ 119 грирования, т. е.
длина любой дуги упомянутой бихарактеристики, при наличии метрики (66), определяется разностью значений времени, соответствующих концам дуги. Сравнивая предыдущие результаты с результатами из [1Ч!1 89[, мы видим, что уравнение (63) есть уравнение основной функции поля для интеграла (66). Таким образом, семейство гиперповерхностей ы(хь ..., х ) =.1 представляет семейство трансверсальных поверхностей некоторого поля вариационной задачи для интеграла (66). Далее, нетрудно проверить, что бихарактеристики, соответствующие взятому семейству характеристических поверхностей и определяемые уравнениями (64), будут экстремалями поля.
Чтобы убедиться в этом, достаточно проверить, пользуясь уравнением (64), тот факт, что бихарактеристики пересекаются трансверсально с гиперповерхностями ы(хь ...,х )=й Действительно, условие трансверсальности в данном случае сводится к пропорциональности р, = га,, и производных от подынтегральной функции интеграла (66) по х! [1Ч11 89[, т.
е. к пропорциональности р, и ~ Ьмхь. Но,.решая уравнения (64) 1-1 относительно рь мы получим р! — — ~ ЬмхА, А-! что и доказывает наше утверждение о трансверсальности пересечения семейства характеристических гиперповерхностей с соответствующими бихарактеристиками.
Отметим, что случаю характеристического коноида соответствуют квазисферы в пространстве )г с центром(х1,", ..., х1Р1) соответствующим вершине коноида, и радиусом й Если уравнению (60) соответствует волновой процесс в пространстве )с', то уравнение первого порядка (63) определяет геометрическую оптику этого процесса при помощи характеристических поверхностей, и бихарактеристики суть лучи, определяющие эту же геометрическую оптику. Указанные выше соображения приводят геометрическую оптику в непосредственную связь с некоторой вариационной задачей. Если нам задан фронт волны 5в при Г = О, то для того, чтобы получить фронт волны 51 в любой момент времени г, мы должны построить семейство квазисфер с центрами на 5Р и радиусом 1 и взять огибающую этого семейства (построение Гюйгенса). Это построеиие соответствует тому, что мы говорили в [11] относительно решения задачи Коши для уравнений первого порядка при помощи характеристических коноидов этого уравнения.
Мы не останавливаемся на доказательстве указанного построения. Оно может 12О ГЛ. 1, ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ С ЧАСТНЪ!МИ ПРОИЗВОДНЫМИ НЗ быть проведено-на основе теории полного интеграла. Заметим, что огибающая квазисфер радиуса 1 может состоять нз двух гиперповерхностей. Только одна нз них будет давать фронт вопны в момент времени б Все предыдущие рассуждения можно провести не в про« СтраиетВЕ Вл, а В ПрОСтраНСтВЕ )тл, ВКЛЮЧая 1 В ЧИСЛО КООрдИНат пространства.
Для большей симметрии рассмотрим общий слу. чай уравнения (48); л а!»и...»+ ... =О (аы — — аы), (67) |, 1 Первые уравнения этой системы имеют вид л |Гх тл — = Х а р! (Ь = 1. 2, ° °, п). » ! Решая эти уравнения относительно р, и подставляя в уравнение (68), получим' л Х л|х!»|х» Ь!» — — -= О, Л»»|5 (70) где таблица В коэффициентов Ь„выражается формулой В = =А-'. Введсм в пространстве В„метрику л »(о»1= ~ Ь!»5(х1»»х».
1,» 1 Существенным отличием от предыдущего будет тот факт, что для уравнения гиперболического типа правая часть написанной формулы может принимать как положительные, так и отрнца. тельные значения (знакопеременная квадратичная форма (1П!1 35)), н, следовательно, 5(о1 может оказаться мнимой величиной. где а,» — заданные функции (х,, ..., х„). Характеристические поверхности будут определяться уравнением аа, х 15(х! - . ° х Р! ° °, Рл) = ~ и!»Р!Р» = О (Л»= ах ) ° (68) ь» ! где через Й(х1, ..., х„р|, ..., Р,) мы обозначили левую часть уравнения. Соответствующая этому уравнению система Коши, т. е.
система обыкновенных уравнений, определяющая бихарактернстики, дается уравнениями (56!) и (565). Заменяя вспомогательный параметр 5 на з/2, можем написать эту систему в виде Лх» ! ар» — = — В; — '= — — Вх (Ь=!, ..., и). (69) ах 2 Р»' !15 2 "» РАСПРОСТРАНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ РАЗРЫВА Из (70) следует, что для бихарактеристнк характерным яв. ляется соотношение йо~ — — О, т.
е., при принятой метрике, длина любого отрезка бихарактеристнки равна нулю. При этом надо помнить невещественный характер введенной метрики. 43. Распространение поверхности разрыва. Положим, что некоторое решение и уравнения (48) имеет на поверхности (71) 4>(хн ..., х„) =0 разрыв первого рода для производных второго порядка, причем само решение и его производные вервого порядка остаются непрерывными при переходе через поверхность (71). Будем рассматривать упомянутое решение и с двух разных сторон поверхности (71), как два различных решения уравнения (48). Эти решения имеют на этой поверхности одинаковые данные Коши, но различные значения,для производных второго порядка, н мы можем поэтому утверждать, что поверхность (71) дол>хна бь>Ть характеристической поверхностью уравнения (67). К тому же самому результату мы пришли бы, если бы предполо>кили, чго не только само решение и и его частные производные первого порядка, но и частные производные второго порядка, остаются непрерывными при переходе через поверхность (71), а разрыв имеет место лишь для производных порядка выше второго.
Вообще говорят, что решение уравнения второго порядка (67) имеет на поверхности (71) слабьш" разрыв, если при переходе через эту поверхность и и его первые производные остаются непрерывными, а некоторые производные порядка выше первого имеют на поверхности (71) разрыв первого рода. Из предыду« щих рассуждений следует, что поверхностью слабого разрыва может быть только характеристическая поверхность, Выделяя по-прежнему независимую переменную х„= 1, мы, вместо (71), будем иметь движущуюся поверхность слабого разрыва в пространстве Я.,: >р(хн ..., х„, 1)=0.
(72) Определим скорость перемещения этой поверхности. Возьмем некоторую точку М на поверхности (72) и проведем из нее нор. маль к поверхности в ту сторону, где >(> ) О. На этом направлении нормали возьмем отрезок ММ, от точки М до точки пересе. чения М, с поверхностью, соответствующей моменту (1+Л1); времени 1.
Предел отношения 1ММ>~: г>г при Ог — ~0 называется обычно скоростью перемещения поверхности (72). Вводя обо. значение: (73) 122 гл с. овщля твовия гвлвнении с чхстньсми пвоизводными ссз мы будем иметь следующие выражения для направляющих ко- синусов упомянутой нормали: "схс соз(л, х,) = —. Я Продифференцируем соотношение (72): п~ Х сР„с(х, +сР,с(С=О. ю с (74) Величину ссхс можно считать проекцией бесконечно малого пере.мещения ММ, вдоль нормали на координатную ось, и мы можем, следовательно, написать: ~ чс„)ММс ~сов(л, хс)+срсссс О. Принимая во внимание (74), мы получаем следующее выражение для скорости перемещения поверхности (72): Р= — —.
я (75) В случае сл = 2 мы имеем перемещающуюся линию на плоскости (хс, хс), в случае гл = 3 мы имеем поверхность, двигающуюся в трехмерном пространстве (хь хь хс). Рассмотрим в качестве примера волновое уравнение при т 1: исс — а и„, =О. с Основное уравнение (53) имеет вид ср' — а'ср' = О илн — = ~ а, х ~Ь которое встречается при рассмотрении движения сжимаемой жидкости в одномерном случае. Условие (53) запишется в виде сЯ вЂ” 7(и,, и,)ср~ = О. Положим, что на оси х с одной стороны от прерывности мы имеем покой. Тогда с этой стороны от прерывности и в самой точке прерывности мы имеем и, = ис = О.
Предыдущее условие запи- и оно показывает, что всякая слабая прерывность должна двигаться вдоль оси х со скоростью ~а. На плоскости (х, С) характеристиками будут два семейства прямых х с- аС = с. Рассмотрим еще уравнение исс с' (и„ссс) и„„= О, СИЛЬНЫЕ РАЗРЫВЫ сывается в виде ~Я вЂ” ) (О, 0) ф = О, и скорост( распространения прерывности определяется формулой Р=~ ~/У(О, О). (76) Перейдем теперь к рассмотрению волнового уравнения с тремя независимыми переменными: и„— аз(и„„+ и„„,) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
