1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 23
Текст из файла (страница 23)
на поверхности 8, равенство () (д» + рз ду + — х ) О По условию, интегральная поверхность Ю не является оеобым решением, и, сяедовательво, в левой части формулы (43) коэффициент при др или ду окажется отличным от нуля. Из этого вытекает, что 8 иу О, и, следовательно, Если мы в этих уравнениях поменяем р! и рз местами, то получим аналогич. ную систему, выражающую необходимое и достаточное условие того, что функция У является интегралом второи системы характеристических полос.
Методы разыскания решений системы (45) были нами изложены в [22). Положим, что нам удалось найти решение втой системы, отличное от тривиального решения, равного постоянному. Покажем, что прн этом всякое решение уравнения первого порядка (44), не явяягощееся особым решением, будет и решением нашего уравнения (28). Действительно, в рассматриваемом случае полный дифференциал У должен обращаться в нуль в силу (42), т.е.
до!акен быть линейной комбинацией левых частей этих уравнений: дэ! УРАПНГНИЯ МПНЖА АМПЕРА вдоль наших линий выполняются все три уравнения (42), т. е. поверхность Я оказывается покрытой характеристическими полосами уравнения (28). Но тогда, в силу четвертой теоремы из [37), эта поверхность является интегральной поверхностью уравнения (28). Таким образом, имея интеграл (44), мы получаем некоторый класс решсний уравнения (28), интегрируи уравнение первого порядка (44).
Положим, что нам удалось найти два независимык решения системы (45) У! в Уг. При этом выражение У! — Ф(уз) при произвольном выборе функции Ф также будет решением системы 745), и мы будем иметь следующий интеграл системы (42): У! — Ф (Ут) =О, (47) содержащий произвольную функцию Ф.
Пусть ищется интегральная поверх. ность уравнения (28), содержащая заданную полосу (29). Подставляя в функции У! и Ут вместо х, у,' и, р, д их вл!ражения (29), мы получим две определенные функнни параметра ! о~(!) и оз((). Уравнение (47) приведется при этом к виду ог(!) — Ф(от(г]) = О. Введем вместо ! новую переменную о = оа(!). Решая это уравнение относительно г, будем иметь ! = го(о), и предыдущее равенство, выраженное з псрсмсииой о, опредглиг нам вид функции Ф(а) = ог(м(о)].
После опрслелсния вила функции Ф(о) уравнсние (47] будет представлять сабо!о определенное уравнение первого поряйка. Решая для него задачу Коши при начальных данных (29), мы получим решение задачи Коши и Аля уравнения (28). Всякий интеграл системы (42) или аиа. логнчнойсистемы, получасмой перестановкой р! и рз, называется обычно промежуточным интегралом уравнения (28). Заметим, что если система (45) оказывается полной, то она имеет три независимых решения. Можно пока. зать, что это может иметь место только при ц! = Рь 3 а меч а н не. Положим, что Ь = О, а коэффициенты а, Ь и с постоянные или зависят только от р и ф При этом и! и рз зависят также только от р и д, н мы можем найти решение системы (45), если будем искать У, зависящим только от р и ф Первое уравнение булет при этом удовлетворено при любом выборе У(р,д), ибо Ь = О, и для нахождения У мы получаем одно уравнение ]', — рг(р, 4) Ур= О.
Наяда решение этого уравнения У!(р, 4), мы получим уравнение первого порядка Уг(р,д) = сопи(, каждое решение которого удовлетворяет и исходному уравнению второго порядка. Вместо рз(р, 4) мы могли бы использовать второй корень р!(р, д] уравнения (32) и получили бы другое уравнение первого порядка: Уз(р,д) = салай 39. Уравнения Мвмжа — Ампера.
Вся изложенная выше теория характе» ристических полос и промежуточных интегралов распространяется непосред. ственно и на уравнения более общего типа, а именно на уравнения, линейные относительно г, з, ( и г! — з', т. е. нз уравнения вила аг+2Ьз+ с(+ у(г( — з')+ Л О (у ~ О), которые называются обычно уравнениями Монжа — ампера Если задана не. которая полоса, то определение произволных второго порядка вдоль этой по. лосы будет вполне однозначным, если выражение Л = а пуз — 2Ь !(х г(у + с агхз + у (г(х ар + г(у !(4) отлично от нуля. Если это выражение обращается в нуль, а выражение В а ор г(у + й агх г(у + с г(4 ах+ у г(р ау отлично от нуля, то определеине производных второго порядка пряводят к несовместной сиетеме, Характеристическая полоса определяется следующими тремя уравнениями: А = О; В О; г(и = р с(х + у г(у. 11О ГЛ.
1 ОБШАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 140 Если обозначим через р! н рз корни уравнения р +'хэр+ ас — яй О, то две системы характеристических полос могут быть определены уравне. пнями к «р + с г<х + р! а<у = 0; а «Ч + о с<у + >зх !<х 0; «и = р г<х + 9 !<у. Вторую систему можно получить из написанной, меняя рг и рз местами Все зги результаты получаются при помощи вычислений, совершенно аналогичных предыдущим.
для уравнен«я Монжа — Ампера остаются справедливыми так. же основные теоремы, изложенные в (37]. При разыскании промежуточных интегралов мы, вместо системы (45), приходим к системе с рз Ух + р]гя <гл ]гч 0 К й и< и рк+ др„- — Ер — — 1,-0. и к Вторая система может быть получена из написанной, как и выше, нереста. ковкой р, и рь Остаются справедливыми и все указанные выше свойства промежуточных интегралов. 40. Характеристики при любом числе независимых переменных.
Будем рассматривать теперь уравнение второго порядка ' с любым числом независимых переменных: ч а!яи, + ... =О (ам=ам), (48) к хл причем ненаписанные члены не содержат производных второго порядка. Коэффициенты а,а будем считать пока зависяшими только от независимых переменных х,. В данном случае мы ограничимся выяснением только того условия, при котором уравнение (48), совместно с начальными данными Коши, не дает возможности однозначного определения производных -второго порядка, т.
е, приводит к несовместности или неопределенности прн разыскании этих производных. Это условие аналогично условию (32) в случае двух независимых переменных. Мы нач. нем рассмотрение нашей задачи с того случая, когда начальные данные Коши имеют специальную форму: и] <е>=<р(х„..., х„); и„] <с>=ф(хт, ..., х„). х! х! х! х! Эти начальные данные дают нам возмохсность определить на гиперплоскости х, =х]о> все производные первого порядка и все производные второго порядка, кроме и„,х,. Для определения этой последней производной мы должны воспользоваться самим уран.
пением (48), положив в нем х, =х',е'. Если при этом окажется, что ап Ф О, то мы будем иметь определенное значение для упомянутой производной. Если же после указанной подстановки «з ХАРАКТЕРИСТИКИ ПРИ ЛЮБОМ ЧИСЛЯ ПЕРЕМЕННЫЙ !!! Перейдем теперь к общему случаю, когда начальные данные Коши даны на некоторой гиперповерхности: в1(х„..., х„) =О. (50) Кроме функции ы1, входящей в последнюю формулу, введем еще (и — 1) функцию о,(х1, .-., х,) (з = 2, ..., и) так, чтобы мы могли совершить замену независимых переменных: х',=ы,(х1, ..., х„) (з=!, ..., и), (51) т. е. так, чтобы последние уравнения были разрешимы относительно х,.
Выразим производные по старым переменным через производные по новым переменным, выписывая лишь те члены, в которые входят интересуюшие нас производные: дкч да> дм, и =и ° — +...; и =и ° > — — + >ч д« ' ' '' «1«» «1«! дх д« Преобразованное уравнение будет иметь вид л > Т«дкч де> аи ° ° +...=О, где а = ~ а и «1«! ''' > 11 ~ ы д«д«„' 1, »-1 с (52) и невыписанные члены не содержат производной и ° .. В силу «1«!' (51) начальные данные для преобразованного уравнения задаются на гиперплоскости х1 = О, т. е. оии имеют специальный вид.
Таким образом, в данном случае мы можем воспользоваться условием (49), но только в новых независимых перемен. ных. г1ринимая во внимание (52), мы можем, таким образом, утверждать, что для того, чтобы начальные данные Коши на гнперповерхности (50) приводили к несовместности или неопределенности при отыскании производных второго порядка, необходимо н достаточно, чтобы функция в! удовлетворяла уравнению Х дм> д«»1 а1» — — — — О, д«! д«» 1, »-1 (53) причем это последнее уравнение должно быть удовлетворено при в! = О, т.
е., иначе говоря, в силу уравнения (50). Всякую гиперповерхностьч удовлетворяющую атому условию, мы назовем характеристической поверхностью или характеристикой уравнения (48), окажется, что аи = О, то мы или придем к невозможному ра. венству, или получим тождество. Таким образом, в случае спе.
циальных данных Коши, искомое условие имеет вид аи — — О. (49) Нз гл 1 овщля твояия тялвнвнии с члсгными пяоизводными иа Если мы фиксируем какую-либо точку М (х1а, ..., ха), то в этой точке коэффициенты а,л будут иметь фиксированные значения, которые мы обозначим аф. Направление вектора, вещественные составляющие которого аь ..., а„удовлетворяют уравнению с л-1 (53,) назовФм характеристическим направлением нормали в точке М,. Уравнение (53) равносильно тому, что в каждой точке поверхности ы,(хь ..., х.) = О направление нормали к этой поверхности есть характеристическое направление нормали. Если поверхность 5(гэ~ = О) такова, что нн в одной ее точке направление нормали не характеристическое, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
