1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 19
Текст из файла (страница 19)
б, с ! б с' б' Подставляя в уравнение (1), мы получим преобразованное уравнение вида л где новые коэффициенты а',А выражаются через старые, согласно формулам и б а,„= 2 соси,абь и, С-! (3) Если мы, с другой стороны, в квадратичной форме (2) вместо переменных $б введем новые переменные и, при помощи таблицы, транспонированной по отношению к таблице снн но только будем выражать при помощи этой таблицы старые перемен- циенты, мы получим функции только от х„и можем на основании вышесказанного решить вопрос о тиПе уравнения для дан- НОГО РЕШения иы!.
Если уравнение нелинейно: Р(хс, ..., х„и, и,н ..., и., и,,;,, ..., и„„, )=О, зп УРАВНЕНИЯ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 9! ные через новые, т. е. положим ЕА=с!АП!+ ... + С„А»)„(й= 1, ..., и), то нетрудно проверить, что преобразованная квадратичная фор ма будет иметь как раз коэффициенты а',, определяемые фор. мулами (3), т. е. ~: а!ДЦА= Х', а,,П,ПА. Но, как мы знаем, всегда можно подобрать коэффициенты см так, чтобы квадратичная форма (2) привелась к сумме квадратов, т. е.
1,1 ! 1 или, иначе говоря, а,' =0 при 1ФЛ н а!1=А.!. Знаки коэф. фициентов Х! и определят тип уравнения. Сохраняя прежнее обозначение для независимых переменных, мы получим преобра,зованное уравнение вида л ~". Х,и.!.! + ... = б. 1-1 Гели уравнение линейно и с постоянными коэффициентами не только относительно производных второго порядка, то преобразованное уравнение будет иметь вид и ч Х!и,г,, + Е Ь!и,, + си='! (х„..., х„).
(4) ! ! ! 1 Добавляя к независимым переменным х. подходящим образом подобранный численный множитель, мы всегда можем достигнуть того, чтобы коэффициенты Х1, отличные от нуля, были равны (+1) или ( — 1). Положим, что все Х! отличны от нуля, и покажем, что в этом случае при помощи элементарного преобразования функции и мы можем освободиться и от членов, содержащих первые производные, а именно введем вместо и новую искомую функцию в по формуле !  — М! 1 А! и=ее (5) Подставляя в уравнение (4), мы получим, как это нетрудно проверить, уравнение вида л ~» Х!о„„+ с!О=1! (х„..., х„).
Для уравнения эллиптического типа все Ц вЂ” одного знака, и 99 ГЛ ! ОВШЛЯ ТЕОРИЯ УРЛШ!Ш!ИН С ЧЛСТИЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [М умножая, если надо, обе части уравнения на ( — 1), мы можем считать, что все )„положительны. Вводя вместо х, новые неза- висимые переменные х, =,~/Х,.х,', мы освободимся от коэффи- циентов Х! и, сохраняя прежние обозначения, можем утверж- дать, что всякое линеЙное уравнение эллиптического типа с по- стоянными коэффициентами может быть приведено к виду а ~ и,, + с,и = ) ! (х„..., х„). (6) Любое гиперболическое уравнение с постоянными коэффи- циентами приводится к виду к-! ! ! !! Па У, и„, — и,, +си=)(х!, ..., х„) а параболическое к виду и†! х~'„и„, — и„+ си=! (х„..., х„), ! ! ч причем независимую переменную х„называют временем и обо- значают через й 32. Нормальные формы при двух независимых переменных.
В [31) мы показали, что в случае постоянных коэффициентов мы можем совокупность членов уравнения, зависящих от произ- водных второго порядка, привести прп помощи линейного пре. образования к некоторой нормальной форме. В случае перемен- ных коэффициентов, зависящих от х., мы не можем, .конечно, надеяться совершить такое преобразование к нормальной форме пои помощи линейного преобразования переменных и должны пользоваться более общими преобразованиями, но даже н при этом мы сможем решить задачу лишь для случаях двух незави- симых переменных.
Итак, рассмотрим уравнение второго по- рядка с двумя независимыми переменными, линейное относи- тельно производных второго порядка а (х, у) и„„+ 2Ь (х, у) и„у + с (х, у) и„„+ ... = О. (7) Введем вместо (х, у) новые независимые переменные ($, !1): 9=Ф(х, у); т1=-Ф(х, у). (8) Производные по старым переменным выразятся через производ- ные по новым переменным по формулам; Я„= иеФ~+ ичф„' и„= итФ„+ ичфу и„„= и <р'„+ 2исчФ„Ф„+ иччф'„- + иеФ„У + ичфа„, иавФ»Фу+ иеч(ФЛ+ Фуф )+ иччФ,ФЯ+ иаФ~Я+ ичф у.
зп ногмлльныв аогмы пги двэх независимых пегемвнных вз Подставляя уравнение а' ($, в уравнение (7), мы будем иметь преобразованное т1) и + 2Ь' ($, Н) и „+ с' ($, т1) и„„+ ... = О, где а, Ч) = аф~ + 2Ьф ф + сфз, ($, и) = аф~ + 2Ьф„ф„+ сф~, ($, т1) = аф„ф„+ Ь (ф,ф„+ ф„ф„) + сф„ф„. а' с' (9) Непосредственной подстайовкой проверяется следующее гож. дество: а'с' — Ь' = (ас — Ь') (ф„ф„— фаф„)з.
(10) (11) Вводя вместо (х, у) новые независимые переменные ($, и): (12) мы придем для гиперболического типа к простейшей форме вида и +...=О. (13) Мы видим, таким образом, что для гиперболического типа, в случае двух независимых переменных, мы можем брать простей. шую форму вида (1!) или (13). Эти уравнения легко могут быть преобразованы одно в другое. Вернемся к уравнению (7) и положим, что в некоторой области Р плоскости (х, у) уравнение (7) принадлежит к гиперболическому типу. Это значит, что при значениях (х, у), лежащих в Р, квадратное уравнение' а (х, у) т' + 2Ь (х, у) т + с (х, у) = О (14) имеет различные. вещественные корни.
При этом мы считаем, что или а Ф О, или сФО. Если бы а = с=О, то уравнение (7) уже имело бы простейшую форму (13). Не нарушая общности, Нетрудно видеть, что знак разности ас — Ьа определяет тип уравнения (7). Если ас — Ь' (О, то уравнение принадлежит гиперболическому типу, при ас — Ьз ) 0 — эллиптическому типу и при ас — Ьэ = 0 — параболическому типу.
В силу (10), преобразование переменных не меняет знака упомянутой разности, т. е. не меняет, естественно, типа уравнения. В случае уравнений гиперболического типа с постоянными коэффициентами, простейшая форма при двух независимых переменных нмеет вид и„,. — и„„+ ... =О. 94 ГЛ ! ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [М мы можем, конечно, считать а Ф О. Рассмотрим дифференциальное уравнение с частными производными первого порядка: а(х, у)и'„+2Ь(х, у)и„и„+с(х, у)и'„О. (15) Обозначая череа «~(х, у) и «А(х, у) корни уравнения (14), мы видим, что уравнение (15) распадается на два уравнения и„=!1(х, у)иа (16,) И и„= 7з (х, у) и„. (16А) Если коэффициенты а, Ь и с, а тем самым и функции «1 и «ь достаточно гладкие, то у написанных уравнений имеются решения с непрерывными производными до второго порядка в некоторой части области 0 (ср.
«2]). Решение уравнения (16~) возьмем за ~Р(х, У), а УРавнениЯ (!ба) за ф(х, У) в пРеобРазованпи (8). Можно выбрать эти решения так, чтобы определитель ф,ф„— гс„ф был отличным от нуля в упомянутой части О. Отметим, что мы имеем Чк = «ЯР фх = «зфа откуда (! 7) 'РЛ т ф =-(6 «г)тафа Из йаписанных формул следует, что если определитель в некоторой точке обращается в нуль, то в этой точке равны нулю обе частные производные первого порядка от ~р или ~. Таким образом, надо строить такие решения уравнений (161) и (16з), у которых обе частные производные первого порядка одновременно не равны нулю. Функции ~р и ф удовлетворяют уравнению (15), и, в силу (9), мы имеем а' = с'=О, и из формулы (!О) вытекает Ь'~ О, так что уравнение (7) приводится к виду (13).
Как мы видели в «2], решение уравнений (16,) и (!6з) имеет локальный характер, т. е. Мы можем построить решения этих уравнений, отличные от постоянных лишь в некоторой области, которая будет, вообще говоря, лишь частью области, где «А(х, у) непрерывно дифферепцируемы, н приведение уравнения (7) к нормальному виду будет иметь место лишь в упомянутой области.
То же замечание о локальности приведения уравнений (7) к нормальной форме относится и к дальнейшему изложению. Переходим к рассмотрению уравнения эллиптического типа. При этом ас — Ьз ) О, и корни уравнения (14) — мнимые сопряженные. Мы можем по-прежнему писать уравнение (15). Напишем одно из уравнений (16) — Ь+ ! Ч'ас — Ь1 и„= им зя ноимхльныв фогмы пни двхх назхвисимйх пвивмвнных вв где радикал берется, например, арифметическим. Считая коэф- фициенты а, Ь и с аналитическими функциями х н у и а Ф О, мы сможем найти решение этого уравнения в виде аналитиче- ской функции [28]: и = у(х, у)+ ф(х, у) 1, причем получим Совершим теперь замену переменных (8).
Пользуясь написанной системой для ~р и ф, а также формулами (9), мы получим Ь' = 0; а' = с' = (ас — Ь') (~р' + ~3Р), и после деления на а' уравнение принимает вид д~и д'и — + — + ...=О. д;* дР (18) Вместо формулы (17) будем иметь Таким образом, задача решена и в случае эллиптического типа.
Решение этой задачи в целом при некоторых условиях на коэффициенты а, Ь, с, которые не считаются аналитическими, имеется в работе: Векуа И. Н. Задача приведения к каноническому виду дифференциальных форм эллиптического типа и обобщенная система Коши — Римана.
— ДАН СССР, 1955, 100, № 2; см. также его книгу: Обобщенные аналитические функции.— М: Физматгиз, 1959. Остается рассмотреть уравнение параболического типа. В этом последнем случае уравнение (!4) имеет равные корни, н уравнение (!5) приводит только к одному уравнению, т. е. уравнения (!6,) н (!бз) совпадают. За функцшо ~р(х, у) возьмем решенно этого уравнения, а вторую функцию 0(х, у) возьмем какой-нибудь, но такой, чтобы функциональный определитель ~р и ф был отличным от нуля.
В силу выбора у(х, у) мы будем иметь в преобразованном уравнении а'= О. Кроме того, в силу того, что уравнение принадлежит параболическому типу, мы должны иметь ас — 5~=0, н формула (!0) покажет нам, что Ь'=О. Таким образом, в результате преобразования, мы будем иметь а'= Ь' =О. Функция с' не может обратиться тождественно в нуль, так как в противном случае мы получили бы уравнение первого порядка, и обратное преобразование от ($, т!) к (х, у) не могло бы нам дать уравнение второго порядка (7). Таким образом, в параболическом случае мы будем иметь следующую каноническую форму: а„„+ ... =,О, (19) 96 Гл ! ОвшАя теоРия РРАВнеиип с чАстныь!и пРОизводиымп !>з где ненаписанные члены не содержат производных второго порядка, но обязаны иметь член с производной первого порядка по 9. 33. Задача Коши.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
