1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Обратим Внимание иа аргументы функции, стоя!цей в правой части уравнения (209). Аргумент и'+ ср+ Лх! становится рав- ным (!р) 8, если положить все х, 0 и и' = О. Точно так же каж- дый из аргументов ф +и' становится равным Гф„), если кл кк «8)8' и >ло>кнть опять все х =-0 и и = — О. Таким образом, аргументы « «>, упомянутой функции при нулевых значсннях х,, и, и„совпа- да>от как раз с начальными значениями (208), при которых функция 1 регулярна. >"Ты можем, таким образом, утверждать, что правая часть уравнения (209) есть регулярная функция в точке х,= ...
=х„=-и'=и„' = к.. =и„' =О. >(210) теооаооА ковхлеаскоп оо1 81 Кроме гого, принимая во внимание вычитаемое, стоящее в правой части (209), мы можем утверждать, что эта правая часть обращается в нуль при начальных значениях (210) аргументов. Мы привели таким образом начальное значение Коши и все начальные значения аргументов у функции, стоящей в правой части уравнения, к нулю. Удерживая прежнее обозначение, мы получаем, таким образом, следующую задачу: имеется дифференциальное уравнение р,=((хь ..., х„, и, р„..., р„), (2! 1) где ! — регулярная функция в точке — — х =и=»,= ... =» =О, Л ро ' р» равная нулю в этой точке, и ищется решение этого уравнения, удовлетворяющее условию (212) и!, =О. Заметим, что правая часть уравнения (211) должна разлагаться в ряд вида а х' ...
х "и 'р ' ... р " О...о»й...с» г ''" »' (ао ." оо .. о = О), (2! 3) сходящийся при всех значениях аргументов, достаточно близких к нулю. Совершенно так же, как в случае обыкновенного дифференциального уравнения, мы будем, пользуясь уравнением (21!) и начальным условием (212), вычислять коэффициенты ряда Маклорена искомой функции и, т.
е. значение всех частных производных при нулевых значениях аргументов. При дифференцировании по любому аргументу, кроме хь мы можем предварительно положить х~ = О. Таким образом, начальное условие (2!2) показывает нам, что (214) где оо» вЂ” какие угодно целые неотрицательные числа. Будем теперь вычислять начальные значения тех производных, в которые входит дифференцирование по хь Из уравнения (211) следует, что (2!5) ГЛ, Ь ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ !ЗЗ Дифференцируя обе части уравнения (211) любое число раз по переменным хн ..., х„и вводя затем нулевые значения аргу. ментов, мы в правой части будем иметь уже вычисленные зна. чения производных (214) и (215) н таким образом определим < д'+ха+ "'+"а аа дх1дх~~...
дх„",~, при любых неотрицательных значениях ам —..., Сг„. Возьмем теперь то уравнение, которое получится из уравнения (211) путем днфференцнровання по хь и будем поступать с ннм так же, как мы поступали с основным уравнением. Это даст нам вполне определенные значения для производных с д'+"+ "'+ дх1 дхз~ ... дхаа ~0 Поступая так и дальше, мы можем вычислить любую частную производную искомой функции при начальных значениях аргументов и составить ряд Маклорена С х д 1 "' аа х Предыдущие рассуждения так же, как и в случае обыкновенного дифференциального уравнения, доказывают единственносгь регулярного решения поставленной задачи Коши. Для доказательства существования нам надо обнаружить, что при подстановке полученных начальных аначений производных в ряд (216) он сходится в некоторых кругах с центром в начале.
Совершенно так же, как и в предыдущем параграфе, можно утверждать, что если мы заменим ряд (213) мажорантным рядом, и если для полученного мажорантного уравнения составленный указанным выше образом ряд (216) будет сходящимся, то тем более он будет сходящимся и для первоначального уравнения. Положим, что ряд (213) абсолютно и равномерно сходится при условии: )х,)(р; ...; )ха!(р; )и)(р; ! ра1(1т; ...; ! р„)(()с, н пусть М вЂ” наибольшее значение модуля суммы этого ряда при этих условиях. Функция (! х|) ( ха)(! а)(! Р~) (! Ра) будет мажорантной для (213), причем мы вычли в правой части предыдущей формулы число М, чтобы избавиться от сво. вз ТЕОРЕМА КОВАЛЕВСКОИ бодного члена, который отсутствует и в ряде (213). Тем более мажорантной для ряда (2!3) будет функция Г х,+ ...
+хх+и) Г Р2+ +Рх) Р Я Если мы разделим переменную х~ на некоторое число а, удовлетворяющее условию 0( и < 1, то различные степени этого числа появятся в знаменателях коэффициентов членов, содержащих степени хь и функция М М будет и подавно мажорантной для (2!3). Мы имеем, таким обра- зом, мажорантное уравнение Вычисляя коэффициенты Маклорена для решения этого уравнения, удовлетворяющего начальному условн|о (2!2), мы получим степенной ряд, обращающийся в нуль при х, = О, и мажорантный для ряда (216), составленного для уравнения (21!).
Если этот ряд окажется сходящимся, то тем более будет схо. днться ряд (216), составленный для уравнения (211). Мы строим сейчас решение уравнения (217), которое удовлетворяет не нулевому вача,тьному условию, а условию и)„,,=ф(хм ... х,), (218) где ф — степенной ряд с неотрицательными коэффициентами. Последовательное вычисление коэффициентов Маклорена для такого решения может быть произведено совершенно так же, как и выше, но только начальное условие (2!8) приведет к тому, что в правой части формул (214) при всех неотрицательных значениях а» будут стоять уже не нули, а некоторые неотрнца.
тельные числа. Вычисление дальнейших коэффициентов произ« водится, как и выше, и приводит к действиям сложения и умно. жения над уже полученными неотрицательными коэффициен« тами и положительными коэффициентами в разложении правой части уравнения (2!8). Таким образом, если мы для уравнения (217) заменим нулевое начальное условие (212) начальным 64 Гл 1 Овшля теОРия уРАВнениЙ с чАстными НРОизводными гм «и и «2 и„=а — (и=2, ..., п), «и и, следовательно, уравнение (2!7) примет вид «и М «2 2 а / (и — ))а «ик !†!— /~ й «г! или (1 !и — 1) Ма ) «и !и — )] а и /«ги М вЂ” М.
г — +и а Р Будем считать, что число а взято настолько близким к нулю, «и что коэффициент при — положителен. В правой части написан«г ного равенства мы получим, разлагая по формуле прогрессии, степенной ряд без свободного члена с положительными коэффи- циентами. Последнее уравнение может быть записано в виде ( — ) — 26 — „+ ф(г, и) =О, где Ь ) О и ф(г, и) — степенной ряд без свободного члена с по«и ложительными коэффициентами. Решая относительно —. полу. «2 чим уравнение первого порядка «и I ! — ='и — и .Аг ! — —,ф(г, и), «2 (219) условием (218), где ф разлагается в ряд с вещественными неотрицательными коэффициентами, то ряд (216) для уравнения (217) с начальным условием (218) будет мажораитиым по отношению к ряду (2!6) для уравнения (217) с нулевым начальным условием (212) и тем более мажорантным по отношению к ряду (216) для уравнения (211) с начальным условием (2!2).
гг аким образом, все сводится к доказательству того, что ряд (2!6) для уравнения (2!7) с каким-либо начальным условием вида (218), где ф обладает указанным выше свойством, будет сходящимся внутри некоторых кругов с центром в начале. Иначе говоря, все дело сводится к построению решения уравнения (2!7), удовлетворяющего условию вида (218), и к докааательству того, что зто решение разлагается в ряд Маклорена, если хг достаточно близки к нулю. Будем искать такое решение, как функцию только одного аргумента г=х1+ сг(хг+... + х„).
При этом УРАВИЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ аз причем радикал надо считать равным единице при г = и =-О. Разлагая по биному Ньютона, мы получим ! — Ь.у1 — — „, <р(г, и)=- — -'(~ -') Ч-'-') (-'-') — нл э! з. АБ и все коэффициенты при степенях <р(г,и) оказываются положительными. Переразлагая по степеням г и и, мы получим в правой части уравнения (219) степенной ряд !р!(г, и) с положительными коэффициентами и без свободного члена и придем к уравнению первого порядка !!и — = !р! (г, и). Мы уже имели теорему о существовании регулярного решения такого уравнения, удовлетворяющего начальному условию и1,=В = О. Это решение будет представляться рядом М и= ~~ сьг, А-! все коэффициенты которого положительны. Если в написанном разложении пбдставнть г = х! + а(х, + ...
+ х„), то пол) чим решение уравнения (2!7), представимое степенным рядом с положительными коэффициентами. Это решение будет удовлетворять, прн х! = О, некоторому начальному условию (2!8), где ф(.хь ..., х,) — степенной ряд с положительными коэффициентами. В силу сказанного выше, построение такого решения уравнения (216) доводит до конца доказательство существования решения задачи Коши, Приведенное доказательство принадле>кит Гурса.
Сама теорема называется обычно теоремой Ковалевской, так как впервые в законченной форме ее доказательство было дано С. В, Ковалевской. Из приведенного выше доказательства следует, что радиусы тех кРУгов длЯ пеРеменных хм впУтРи котоРых Установлена сходнмость ряда (2!6), дающего решения задачи (211), (212), зависят лишь от радиусов сходимости правой части уравнения (213) и максимума модуля М этой правой части, но не зависят от конкретного вида функции 7.
Для (205), (207) присоединяется еше зависимость от радиусов сходнмости и максимума модуля функции !р(хм ..., х„), входящей в условие (207). Аналогичное замечание имеет место и для результатов следующего пара. графа. 29. Уравнения. высших порядков. Указанный выше метод применим почти без всяких изменений и для случая уравнений высших порядков. Рассмотрим для примера уравнение второго 86 ГЛ, Ь ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ЕЭ порядка с двумя независимыми переменными, разрешенное относительно производной второго порядка по х: г =) (х, у, и, р, д, з, ~) (220) (р= — и„, у=и„, г=и„„з=и„„, г =иуу). Начальные данные броши в данном случае состоят в задании и и р при начальном значении х: и(, о=ф(у)» р!х-о=ф(у). (221) Пусть ф(у) и ф(у)' — функции, регулярные в точке у = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
