1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Случай любого числа переменных. Полным интегралом уравнения р (хь ..., х„, и, р„..., р„) = 0 (134) называется решение этого уравнения: и=<р(хп ..., х„, а„..., а„), (135) содержащее и произвольных постоянных а, и такое, что исключение а, из уравнений р»=<р„»(хь ..., х„, а„..., а„) (й=1, 2, ..., и) (135,) и уравнения (135) приводит к уравнению (134).
Будем считать, что а» суть функции (и — 1) параметров: а»=а»(гь ..., Г„,) (й=1, 2, ..., и). (136) Подставляя эти выражения в формулу (135) и исключая (и — 1) параметров из и уравнений и =~р(хп ..., х„, ап ..., а„), (137) »рг (хь ° ° ., х„аь ..., а„) =0 (1 =1...
„и — 1), мы получаем общий интеграл уравнения (134). Он зависит от выбора и функций (136). Переходим к решению задачи Коши. Пусть требуется найти интегральную поверхность уравнения (134), содержашую заданное многообразие (и — 1) измерений: и=и(тп ..., 1„1); х» — — х»(Гп ..., 1„~) (1=1, 2, ..., и). (138) Решение этой задачи производится совершенно так же, как и в случае двух независимых переменных. Подставляя выражения (138) в формулу (!35), мы придем к равенству вида »р(ГН ..., г„ь ап ..., а„)= О.
(139) Присоединяя к этому равенству еще (и — 1) равенств, полученных дифференцированием последнего равенства по Гь ..., Г„,: (140) Ф,=О; »Рг»=0; ...; »Р»„,=0, будем иметь и уравнений, из которых можно определить а»(н = 1,2, ..., Л) как функции параметров гь ..., 1, ь т. е. из этих и уравнений определяются функции (136). Полученные функции подставляем в формулы (!37) и, исключая из и уравнений (137) Гь ..., Г„ь будем иметь интегральную поверхность, содержащую многообразие (!38). Отметим, что в формуле (139) число независимых параметров может оказаться меньше, чем (и — 1).
Вместо (!40) при этом надо дифференцировать по независимым параметрам. ВВ ГЛ ! ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Пб Если фиксировать значение параметров т„то и уравнений (137) с (и+ 1) переменными (и, х!, ..., х„) определят некоторую линию в (и+!)-мерном пространстве. Присоединяя еще уравнения (135!), дополняем эту линию до полосы первого порядка. Эта полоса принадлежит двум интегральным поверхностям — огибающей поверхности, которая получается исключением параметров !! из (137), н одной нз огибаемых поверхностей. Поэтому эта полоса должна быть характеристической полосой, т.
е. должна удовлетворять системе Коши (98). Это даст возможность, зная полный интеграл (135), построить решение системы (98), зависящее от (2и — 1) произвольных постоянных. Будем считать для простоты, что а„есть функция (а!,..., а„!), причем эти последние играют роль параметров !!, ..., 1„ь Формулы (!37) и (135!) примут вид и=!р(хь ..., хл, а!, ..., ал), фа + фа Ь! = О (! = 1, 2, ..., и — ! ), (! 4! ) рА=<р (х!, ..., хл, аь ° ° ., ал) (Ь=1, 2, ..., и), где через Ь, мы обозначим производную от а„по а,.
Формулы (141) определяют упомянутую выше полосу первого порядка, причем не только а!, ..., а„, но и Ь„..., Ь„, можно считать произвольными, поскольку произволен выбор функции а„(а!, ... ..., а„!). Докажем формально, что полоса, определяемая формулами (141), удовлетворяет системе (98). Подставляя в уравнение (134) вместо и и рл их выражения !141), мы должны получить тождество относительно ха и аа(й= = 1, ..., и).
Дифференцируя это тождество по а„получим л 17ф,, + 2. РАф„..! = О (! = 1, 2, ..., и — 1), л (7ф. +Е Р,ф,. =О. л, А л Умножая последнее равенство на Ь|, складывая его с предыду. щим и пользуясь (14!), Мы будем иметь следующие (и — !) ра. вен ств: лил РА (фа кА + фалкАЬ!) = О.
(142) С другой стороны, беря полный дифференциал от левой части второго из уравнений (!41), мы получим следующие (и — !) равенств: л (фл „А+ф, „АЬ!)г(хА=О Ц=1, 2, ..., и — 1), (143) А-! 171 ТЕОРЕМА ЯКОБИ Считая, что по крайней мере один из определителей порядка (п — 1), составленный из коэффициентов системы (142) или (143), отличен от нуля, мы можем утверждать, что дх» должны быть пропорциональны Р», т. е. выполняются соотношения пха Лхп Р, ''' Рп' Далее из (141) следует, что г(и= 2 р» г(х», и мы можем допол- »-1 нить написанные выше равенства: п»а аТхп Р, ''' Рп (144) Рара + + РпРп Возвращаемся вновь к тождеству, которое получается, если в уравнение (134) подставить вместо и и р» их выражения (141), и дифференцнруем это тождество по х,: Х,+иф.„+ ЕР,ф...,=О.
Но ф»1»» дх1 1(р», 1 и, следовательно, а'х» "Р» (Х + (ар ) 1(х + Р» 1(р = О, т. е. — » = — (Х»+ иР,) и мы получаем таким образом окончательно систему »ха агхп ати Р„' ' ' Рп Р,Р, + ... + Р»Рп ИР ЛР— (Х, + иР,) — (Хп+ иР„) ' (145) 17. Теорема Якоби. Рассмотрим теперь тот частный случай уравнения (134), когда оно ие содержит искомой функции и и разрешено относительно одной из производных. Для симметрии письма обозначим независимые переменные через 1, х„..., хп и положим, что уравнение разрешено относительно р» = иа, т. е.
что оно имеет вид р,+ 0(1, хь ..., х„, р1, ..., Р„)=О. (146) Умножая на»(х» и заменяя, в силу (144), РАх» = Р»т(х„м»ы получим (Х»+ Ир»)1(х»+ Р» ~ фх х г(х,= О. а 1 бв гл. ь евшая теооия кэовнании с частными пвоизводными пт Соответствующая этому уравнению система (145) запишется в виде ~й к» н~~ дР~ кро (147) — р,+р,н, +...+р„и, Все написанные отношения, кроме последнего, не содержат ро и и, и мы получаем так называемую каноническую систему. причем хо и ро мы считаем функциями от й Если нам удастся проинтегрировать эту систему, то ро найдется из (146), а и определится прн помощи квадратуры из уравнения аи.=(ро+ р~Но, + + ...+р„н,) (й Поскольку уравнение (146) не содержит и, ко всякому решению этого уравнения мы можем прибавить произвольную по.
стоянную. Положим, что мы имеем полный интеграл уравнения (146), который должен содержать (п+!) произвольных постоянных, причем одну из них в виде слагаемого: и =ф(6 хь ..., х„, аь ..., а„) — ао. Применим к данному случаю равенства (141), причем роль а„ у нас будет играть постоянная а,. Принимая во внимание, что в данном случае уо = — 1, мы получаем общий интеграл канонической системы в следующем виде: фо =Ьо', ро=Ф, (й=1, ..., л).
В этом состоит известная теорема Якоби, о которой мы уже упо. мииали в [!Чи 911. Отметим, что если уравнение (134) не содержит искомой функции и, но не разрешено относительно какого-либо ро, т. е. имеет вид Р(хп ..., х„, ро ..., р„)=0, то соответствующая этому уравнению система (145) будет ох, с~х~ Нр1 4р~ о'и — аз, л — Р ''' — Р р~р +...+рр и мы получаем опять каноническую систему ох ор,. — =Р— =-Р (а=1 ...
и) ло Рд ао х» > ° з 1Щ системы двух уРАВнений пеРВОГО пОРядкА зв в которой роль независимого переменного играет вспомогательный параметр е. Если мы сумеем проинтегрировать эту систему, то и найдется с помощью квадратуры. Изложенная выше теорема Якоби показывает нам, каким образом можно, имея полный интеграл уравнения (146), прони* тегрировать соответствующую каноническую систему. Метод Коши, изложенный нами в [12), показывает, что и наоборот, умея проинтегрировать систему (147), мы можем находить решения уравнения (146), удовлетворяющие любым начальным условиям Коши, и, пользуясь этим, нетрудно показать, что, в частности, может быть построен и полный интеграл уравнения (146). 18.
Системы двух уравнений первого порядка. Мы привели ряд примеров, когда полный интеграл может быть найден при помощи совершенно элементарных приемов. Возникает вопрос о возможности построения общего метода разыскания полного интеграла для любого уравнении первого порядка. Для изложения такого метода нам необходимо предварительно рассмотреть задачу о нахождении решения двух уравнений первого порядка. с одной искомой функцией: Р(х, у, и, р, д)=0; Ф(х, у, и, р, д)=0.
Будем считать, что эти уравнения разрешены относительно р и д так, что мы имеем уравнения следующего вида: р=1(х, у, и); в=у(х, у, и). (148) Мы будем называть написанную систему вполне интегрируемой, если она имеет решение, зависящее от произвольной постоянной. Выясним необходимое и достаточное условие, при котором это обстоятельство имеет место, и дадим прием нахождения решения, если вышеупомянутое условие выполнено..Дифференцируя первое из уравнений (148) по у, а второе по х, мы получим, очевидно, 1у+ 1иии ии» + ииир илн, в силу (148), [у+ [иии у» + иии1.
(149) Если написанное соотношение между переменными (х, у, и) не выполнено тождественно, то оно определяет и как функцию от х н у, и только эта функция, не содержащая произвольной постоянной, и может быть решением системы (148). Таким образом, тождественное выполнение соотношения (149) является необходимым условием для того, чтобы система (!48) была вполне интегрируемой. Покажем, что оно н достаточно, и одновременно дадим способ нахождения решений системы (148). Мы можем во гл ~ овщля твоуия уухвнвнип с члстными пуоизводными пз рассматривать первое из уравнений (148), как уравнение с одним независимым переменным х, поскольку у входит в это уравнение как параметр. Интегрируя это уравнение первого порядка, мы получим и, как функцию независимого переменного х, параметра у и произвольной постоянной С(у), которую мы можем считать функцией от у: и = ф 1х, у, С (у)).
(150) Эта функция должна удовлетворять и второму из уравнений (148), т. е. должно быть выполнено уравнение вс фу+ фс — „= у(х, у, и), нли ес я!х, у, и) — фу (151) Фс причем в правой части и надо заменить его выражением (150). Покажем теперь, что если тождественно выполнено соотношение (149), то правая часть (151) не содержит х. Действительно, приравнивая нулю производную от правой части уравнения (151) по х, мы получим (в +в ф ф )фс фс (Ы фу)=0 (152) Но, поскольку функция (!50) удовлетворяет первому из уравнений (148), мы имеем следующие очевидные соотношения: фх = 1! фуи = 1у + 1ифу~ феи 1ифс и с помощью этих соотношений условие (152) может быть записано в виде (у. + у.) — 1, — 1.ф,) фс — 1.фс (а — ф,) = О, и оио, очевидно, выполнено, поскольку мы считаем соотношение (149) выполненным тождественно.
Таким образом, при' этом уравнение (15!) представляет собою уравнение первого порядка относительно С(у), интегрируя которое, мы получим выражение С через у и произвольную постоянную Ь. Подставляя это выражение в формулу (150), будем иметь решение системы (148), содержащее одну произвольную постоянную. Таким образом, необходимым и достаточным условием полной интегрируемости системы (!48) является тождественное выполнение соотноигений (149). Если это условие вьшолнено, то интегрирование системы (148) приводится к интегрированию двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, и общее решение системы (148) содержит одну произвольную постоянную, в! митод лАГРАнжА — шАРпи В непосредственной связи с решенной задачей стоит задача интегрирования уравнения в полных дифференциалах: РГ(х+ ЯЫу+ 1ГГ(и=О, (153) где Р, Я и !с — заданные функции (х, у, и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
