Главная » Просмотр файлов » 1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49

1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 14

Файл №824744 1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (Курс высшей математики. В 5-ти т. Т. 4 Ч. 2 Смирнов В. И. 1981) 14 страница1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744) страница 142021-01-17СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Будем называть новую систему эквивалентной системе (163). Покажем, что если первоначальная система была полной, то и любая эквивалентная ей система будет полной. Действительно, скобка Пуассона (Х;(и), Ял(и)) будет представлять собою сумму выражений вида йт Х (й Х (и)) — д Х (д Х (и)) или, в силу (164), сумму выражений вида й р [ Х р ( г 1 ) Х ( и ) + д К ( Х ( и ) ) ) д ( Х ( д ) Х ( и ) + + д! д (Х (Х (и)) — Х (Х (и))1 Принимая во внимание, что все выражения Хг(Хл(и)) — Хе(Хр(и)) суть линейные комбинации Х,(и), мы видим, что и скобка Пуассона (Х~(и), Хл(и)) выражается линейно через Х,(и), а следовательно, и через Х,(и), что и доказывает полноту системы (171). Введем теперь новое понятие, которое яв.

ляется частным случаем понятия полноты, а именно: мы будем называть систему (!63) якобиевой системой, если для нее все скобки Пуассона (Х~(и), Х*(и)) обращаются тождественно в нуль, т. е. если в этих скобках все коэффициенты при р, равны тождественно нулю. Нетрудно при помощи элсмен. тарных алгебраических операций преобразовать полную систему в якобиеву. Действительно, рассмотрим первоначальную систему (!63), которую мы считаем полной. Поскольку уравнения этой системы линейно независимы, таблица ее коэффициентов имеет ранг т, и мы можем решить уравнения системы относительно гп из величин р,. Не ограничивая общности, мы можем считать, что уравнении системы разрешимы относительна рь ..., рев т.

е, вместо системы !163) мы можем написать эквивалентную ей систему вида р,+с, ые,рые, +...+с,„рп О,) Рз+ сз, т+~рт-~-~ + ° ° ° + сз,п Рп =О (172) ры+ сы ыь~ры+1+ ° ° ° + ст,п рп =0 Эта система, по доказанному выше, должна быть полной. Покажем, что она будет и нкобиевой. Обозначим, по-прежнему, через Х,(и) левые части уравнений написанной системы. Мы должны показать, что в формуле (169) все коэффициенты ф'з! равны тождественно нулю. Из вида системы (172) и определения скобок Пуассона непосредственно следует, что выражение, стоя. шее в левой части (169), не содержит р.

при з ( гп, а в правой части коэффициент при р, (з =" гп) равен, очевидно, ))~Г' '. Отсюда и вытекает непа средственно, что все коэффициенты О~' должны быть равны пулю, т. е. система (172) действительно является якобиевой. Заметим, что не всякая якобисва система должна обязательно иметь вид (172), но, в силу доказанного выше, при приведении полной системы к виду (172] она оказывается якобиевой. 22. Интегрирование полных систем. Вместо того чтобы интегрировать полную систему (163), мы можем интегрировать равносильную ей якобисву систему (!72). рассмотрим первое из уравнений этой системы и соответствующую ему систему обыкновенных дифференциальных уравнений: с(я, дьз дкы дяы+~ с(яп 1 0 '" О сг ы+! '" ! и' Эта система должна иметь (л — 1) независимых интегралов фз (хь ..., хл) Сз! ...! фл (хн ..., хл) =Сл, причем левые части написанных уравнений должны быть решениями первого нз уравнений (172).

Заметим, что мы можем непосредственно написать (т — 1) интегралов, а именно: хз = соп51;,, ' хщ сонэ!, Введем (л — 1) новых переменных: уз фз(хь ..., хл) (з=2, ..., л). (173) В силу независимости интегралов, написанные уравнения должны быть разрешимы относительно (и — !) из переменных х», н мы мо)кем выбРать функцию ф»(хь ..., х.) так, чтвбы полная замена переменных уз='рз (х ".

хл) (3 1, 2, ..., л) была разрешима относительно всех переменных х». Если, например, уравнения ! ! 73) разрешимы относительно хь ..., х, », то нам достаточно взять Ш» = х . Преобразуем систему (1?2) к новым независимым переменным. Пользуясь формулой (170), а также. тем обстоятельством, что фз, ..., й ° суть решения псрвого нз уравнений (172), мы убеждаемся в том, что первое ди пз написанных уравнений приведется к виду — = О.

Пользуясь этим уран. ду~ ди пением, мы можем зачеркнуть все члены, содержашие —, в остальных ду~ ' (ш — !) уравнениях и, в силу линейной независимости уравнений, можем ди решить эти уравнения относительно некоторых (лг — 1) из проиэводных —. дуз ' Не ограничивая обшностя, можно считать, что мы можем решить оставшиеся ди ди уравнения относительно †, ..., — Таким образом, преобразованная дуз ' ''" дую система будет иметь внд У, (и) = — =О, ди ду, ди ди аи Уз(и) — +Аз ме~ + ...

+Лзл — =О, дуз ' дум+~ дул (174) ди ди ди У„, (и) = — + йл», м+ +... +й „вЂ” =О. ау ау +, дул Первоначальная система была якобиевой н, следовательно, полной, а по. тому и преобразованная должна быть полной. Но поскольку она разрешена относительно производных, она должна быть н якобневой. Отметим, между прочим, что из рассуждений (2!1 непосредственно вытекает, что преобразо.

ванне якобиевой системы к новым независимым переменным приводит также к якобиевой системе. Первое нз уравнений (174) показывает, что функция и ие должна завн. сеть от уь Докажем, что коэффициенты в остальных уравнениях системы (174) ве содержат у». Действительно, всякое выражение: ай! м+! ди дй,л ди У,(У!(и)) — У!(У,(и))= ' — + ... + — —, ау~' дул»41 ду» дул ' должно обрашаться тождественно в нуль в силу того, что система (!74) якобнепв, что и доказывает высказанное выше утверждение. Мы можем, бй гл. !.

опщля ?корня хрлвнпннп с члстпымн пронэводнь!мн (ш СКОБКИ ПУАССОНА таким образом, в системе (174) откинуть первое уравнение и интегрировать остальные в предположении, что и не-зависит от ус. Мы приходим, таким образом, к замкнутой системе (т — 1) уравнений с (л — 1) независимыми переменными.

Проделывая с этой системой указанную выше операцию, мы придем к замкнутой системе (т — 2) уравнений с (л — 2) независимыми переменными и т. д. Окончательно мы придем к одному уравненисо для фуннции и от (л — т+ 1) независимых переменных. Обозначая эти перемсн. ные опять через у», ..., у»»с, мы будем иметь, такам образом, уравненив вила ди ди ди +уз + +Ил сл+! О, ду, ду» ''' ду« — л»+! где независимыс псрсменные у, являются функциями первоначальных нсзави. снмых переменных хь ..., х„. Соответствующая последнему уравнению система обыкновенных дифференциальных уравнений будет иметь (л — т) независнмыл интегралов: ф! (у! " ул-т+!) =О!: .

° ' фл-т (у! .", ул-тж!) =Сл-т и общее решение этого уравнения представится в виде и = Ч (ф„..., »р. ), где Ч' — пронзволы<ая функция. Эта же формула дает и общее решение первоначальной сисгелсы (163). 23, Скобки Пуассона. Мы используем полученные впше результаты для построения метода нахождения полного интеграла нелинейно~о уравнения первого порядка в случае тобо!о числа независимых переменных. Предварц. тельно иал! надо будет рассмотреть, как и в случае двух независимых пере манных, одну вспомогательную задачу.

Пусть требуется определить фуинцию и(хь ..., х,), если заданы ее частные производные как функции независимых переменных хы (175) Р„=РА(хн ..., х ) (1=1, 2, ..., л). Принимая во внимание независимосзь результата дифферсш»ировзния от порядка, мы видим, что функции (!75) должны удовлетворять следующим п(л — 1): 2 соотношениям: др! (хн ..., х„) др„(х,, „х„) (176) дк дх! Эти соотношения не только необходимы, но и достаточны для определении функции и. Мы это доказывали раньше для случаев л 2 н л = 3 (П; 76). Обобщая формулу Стокса на случай л-мерного пространства, мы обиарунсим, как н в случае л = 3, что при выполнении условий (176) криволинейный интеграл ("! "" "л) л и (хо ..., хл) = ~ ~ р» (х,, х„) дхз » ! не зависит от пути и дает функцию и, ииеющую частные производные (!75).

Можно доказать достаточность условий (176) в общем случае, применяя метод полной индукции. Будем считать, что достаточность условий (!76) доказана в случае (л — 1) независимых переменных,и докажем, что тогда это же утверждение будет справедливо и для л переменных.

Итан, положим, что функции (175) удовлетворяют соотношениям (176). Принимая во внимание, что мы считаем доказанным наше утверждение для (л — 1) независимых переменных, можем, пользуясь первыми (л — 1) нз функций (175), построить УО ГЛ. 1, ОБШАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 121 которая удовлетворяет (л — 1) условиям и. "Р»(х!" х) (й 1,2,...,л — !). Остается еше подобрать с(х,) так, чтобы удовлетворялось условие и„р„(х», ..., х„), что приводвт вас к уравнению дс (х„) = р„(хп ..., х„) — и„, и вам остается убедиться в том, что правая часть напнсанного уравнения содержит только х . Дифференцируя по х» ари » ~ л и принимая во анима.

ние (176) и то, что и р, мы получим х» др д'и др д ди др„др„ я а »м О дх» дх дх» дх» дх„ 1, дх» ) дх» дх„ что и требовалось доказать. Положим теперь, что частные проазводные р» определены неявным абра. аом при помощи л уравнений: Р»(х„..., х„, р„..., р») =а» (з 1, 2, ..., л), (177) которые мы считаем разрешимыми относительно р». Докажем, что для того чтобы р», определяемые нз уравнений (177), удовлетворяли соотношениям (176), необходимо и достаточно, чтобы все скобки Пуассона нз левых частей равенств (177) обращались тотндественно в нуль, т.

е. мы должны иметь л (л — 1) следующие 2 тождеств относительно х! и рп 'г~ / др! др» дР! дР» ~ (Рь Р»)-~~ ( — ' — '- — — ) О. Л» ~ др» дтв дх» др» ) » ! (178) При этом мы предполагаем, что в уравнениях (177) правые частя суть про. извольные постоянные. Возьмем два из уравнений (177) и продифференцируем вх по незави. симому переменному хн дР дрт — — =О. др) дх, дР) др др( др„ ! 1 1 1 дра Умножая первое из этих уравнений на др из второго первое н суммируя по з, мы получнм дР» дР др( 1-! »-! 1 1-1 »-! др! второе на — ° вычитая др» дР, др, др, — — — О. др) др дх функцию и независимых переменных (х», ..., х,-!), имеющую частные про.

изводные и„° р»(хг, ..., х ) (» 1, 2, ..., л — 1). Эта функция будет со. держать х, в качестве параметра, вбо эта переменная входит в рь Кроме того, мы можем добавить к функции и произвольную постоянную, которую можем считать функцией параметра х„. Таким образом мы получим функцию и (х!, ..., ха-», х„)+с(х„), 231 СКОБКИ ПУАССОНА 71 Меняя во второй сумме обозначение перемевных суммирования, мы можем переписать последнкяо формулу в виде и а ч-ч ч-, др» др! у др! др (рп ра)+лу ~ — — ~ — — — ')-О. 2~ 2.~ др, др, \,дх, дх, ) (179) / !»-! Если р» удовлетворяет соотношениям (176), то из последней формулы не. посредственно вытекает, что должны быть выполнены при любых значках тождества (178). Положим теперь наоборот, что выполнены тождества (178), и докажем, что рь определяемые формулами (177), должны удовлетворять соотношениям (! 76).

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
16,84 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
А знаете ли Вы, что из года в год задания практически не меняются? Математика, преподаваемая в учебных заведениях, никак не менялась минимум 30 лет. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6367
Авторов
на СтудИзбе
310
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее