1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Будем называть новую систему эквивалентной системе (163). Покажем, что если первоначальная система была полной, то и любая эквивалентная ей система будет полной. Действительно, скобка Пуассона (Х;(и), Ял(и)) будет представлять собою сумму выражений вида йт Х (й Х (и)) — д Х (д Х (и)) или, в силу (164), сумму выражений вида й р [ Х р ( г 1 ) Х ( и ) + д К ( Х ( и ) ) ) д ( Х ( д ) Х ( и ) + + д! д (Х (Х (и)) — Х (Х (и))1 Принимая во внимание, что все выражения Хг(Хл(и)) — Хе(Хр(и)) суть линейные комбинации Х,(и), мы видим, что и скобка Пуассона (Х~(и), Хл(и)) выражается линейно через Х,(и), а следовательно, и через Х,(и), что и доказывает полноту системы (171). Введем теперь новое понятие, которое яв.
ляется частным случаем понятия полноты, а именно: мы будем называть систему (!63) якобиевой системой, если для нее все скобки Пуассона (Х~(и), Х*(и)) обращаются тождественно в нуль, т. е. если в этих скобках все коэффициенты при р, равны тождественно нулю. Нетрудно при помощи элсмен. тарных алгебраических операций преобразовать полную систему в якобиеву. Действительно, рассмотрим первоначальную систему (!63), которую мы считаем полной. Поскольку уравнения этой системы линейно независимы, таблица ее коэффициентов имеет ранг т, и мы можем решить уравнения системы относительно гп из величин р,. Не ограничивая общности, мы можем считать, что уравнении системы разрешимы относительна рь ..., рев т.
е, вместо системы !163) мы можем написать эквивалентную ей систему вида р,+с, ые,рые, +...+с,„рп О,) Рз+ сз, т+~рт-~-~ + ° ° ° + сз,п Рп =О (172) ры+ сы ыь~ры+1+ ° ° ° + ст,п рп =0 Эта система, по доказанному выше, должна быть полной. Покажем, что она будет и нкобиевой. Обозначим, по-прежнему, через Х,(и) левые части уравнений написанной системы. Мы должны показать, что в формуле (169) все коэффициенты ф'з! равны тождественно нулю. Из вида системы (172) и определения скобок Пуассона непосредственно следует, что выражение, стоя. шее в левой части (169), не содержит р.
при з ( гп, а в правой части коэффициент при р, (з =" гп) равен, очевидно, ))~Г' '. Отсюда и вытекает непа средственно, что все коэффициенты О~' должны быть равны пулю, т. е. система (172) действительно является якобиевой. Заметим, что не всякая якобисва система должна обязательно иметь вид (172), но, в силу доказанного выше, при приведении полной системы к виду (172] она оказывается якобиевой. 22. Интегрирование полных систем. Вместо того чтобы интегрировать полную систему (163), мы можем интегрировать равносильную ей якобисву систему (!72). рассмотрим первое из уравнений этой системы и соответствующую ему систему обыкновенных дифференциальных уравнений: с(я, дьз дкы дяы+~ с(яп 1 0 '" О сг ы+! '" ! и' Эта система должна иметь (л — 1) независимых интегралов фз (хь ..., хл) Сз! ...! фл (хн ..., хл) =Сл, причем левые части написанных уравнений должны быть решениями первого нз уравнений (172).
Заметим, что мы можем непосредственно написать (т — 1) интегралов, а именно: хз = соп51;,, ' хщ сонэ!, Введем (л — 1) новых переменных: уз фз(хь ..., хл) (з=2, ..., л). (173) В силу независимости интегралов, написанные уравнения должны быть разрешимы относительно (и — !) из переменных х», н мы мо)кем выбРать функцию ф»(хь ..., х.) так, чтвбы полная замена переменных уз='рз (х ".
хл) (3 1, 2, ..., л) была разрешима относительно всех переменных х». Если, например, уравнения ! ! 73) разрешимы относительно хь ..., х, », то нам достаточно взять Ш» = х . Преобразуем систему (1?2) к новым независимым переменным. Пользуясь формулой (170), а также. тем обстоятельством, что фз, ..., й ° суть решения псрвого нз уравнений (172), мы убеждаемся в том, что первое ди пз написанных уравнений приведется к виду — = О.
Пользуясь этим уран. ду~ ди пением, мы можем зачеркнуть все члены, содержашие —, в остальных ду~ ' (ш — !) уравнениях и, в силу линейной независимости уравнений, можем ди решить эти уравнения относительно некоторых (лг — 1) из проиэводных —. дуз ' Не ограничивая обшностя, можно считать, что мы можем решить оставшиеся ди ди уравнения относительно †, ..., — Таким образом, преобразованная дуз ' ''" дую система будет иметь внд У, (и) = — =О, ди ду, ди ди аи Уз(и) — +Аз ме~ + ...
+Лзл — =О, дуз ' дум+~ дул (174) ди ди ди У„, (и) = — + йл», м+ +... +й „вЂ” =О. ау ау +, дул Первоначальная система была якобиевой н, следовательно, полной, а по. тому и преобразованная должна быть полной. Но поскольку она разрешена относительно производных, она должна быть н якобневой. Отметим, между прочим, что из рассуждений (2!1 непосредственно вытекает, что преобразо.
ванне якобиевой системы к новым независимым переменным приводит также к якобиевой системе. Первое нз уравнений (174) показывает, что функция и ие должна завн. сеть от уь Докажем, что коэффициенты в остальных уравнениях системы (174) ве содержат у». Действительно, всякое выражение: ай! м+! ди дй,л ди У,(У!(и)) — У!(У,(и))= ' — + ... + — —, ау~' дул»41 ду» дул ' должно обрашаться тождественно в нуль в силу того, что система (!74) якобнепв, что и доказывает высказанное выше утверждение. Мы можем, бй гл. !.
опщля ?корня хрлвнпннп с члстпымн пронэводнь!мн (ш СКОБКИ ПУАССОНА таким образом, в системе (174) откинуть первое уравнение и интегрировать остальные в предположении, что и не-зависит от ус. Мы приходим, таким образом, к замкнутой системе (т — 1) уравнений с (л — 1) независимыми переменными.
Проделывая с этой системой указанную выше операцию, мы придем к замкнутой системе (т — 2) уравнений с (л — 2) независимыми переменными и т. д. Окончательно мы придем к одному уравненисо для фуннции и от (л — т+ 1) независимых переменных. Обозначая эти перемсн. ные опять через у», ..., у»»с, мы будем иметь, такам образом, уравненив вила ди ди ди +уз + +Ил сл+! О, ду, ду» ''' ду« — л»+! где независимыс псрсменные у, являются функциями первоначальных нсзави. снмых переменных хь ..., х„. Соответствующая последнему уравнению система обыкновенных дифференциальных уравнений будет иметь (л — т) независнмыл интегралов: ф! (у! " ул-т+!) =О!: .
° ' фл-т (у! .", ул-тж!) =Сл-т и общее решение этого уравнения представится в виде и = Ч (ф„..., »р. ), где Ч' — пронзволы<ая функция. Эта же формула дает и общее решение первоначальной сисгелсы (163). 23, Скобки Пуассона. Мы используем полученные впше результаты для построения метода нахождения полного интеграла нелинейно~о уравнения первого порядка в случае тобо!о числа независимых переменных. Предварц. тельно иал! надо будет рассмотреть, как и в случае двух независимых пере манных, одну вспомогательную задачу.
Пусть требуется определить фуинцию и(хь ..., х,), если заданы ее частные производные как функции независимых переменных хы (175) Р„=РА(хн ..., х ) (1=1, 2, ..., л). Принимая во внимание независимосзь результата дифферсш»ировзния от порядка, мы видим, что функции (!75) должны удовлетворять следующим п(л — 1): 2 соотношениям: др! (хн ..., х„) др„(х,, „х„) (176) дк дх! Эти соотношения не только необходимы, но и достаточны для определении функции и. Мы это доказывали раньше для случаев л 2 н л = 3 (П; 76). Обобщая формулу Стокса на случай л-мерного пространства, мы обиарунсим, как н в случае л = 3, что при выполнении условий (176) криволинейный интеграл ("! "" "л) л и (хо ..., хл) = ~ ~ р» (х,, х„) дхз » ! не зависит от пути и дает функцию и, ииеющую частные производные (!75).
Можно доказать достаточность условий (176) в общем случае, применяя метод полной индукции. Будем считать, что достаточность условий (!76) доказана в случае (л — 1) независимых переменных,и докажем, что тогда это же утверждение будет справедливо и для л переменных.
Итан, положим, что функции (175) удовлетворяют соотношениям (176). Принимая во внимание, что мы считаем доказанным наше утверждение для (л — 1) независимых переменных, можем, пользуясь первыми (л — 1) нз функций (175), построить УО ГЛ. 1, ОБШАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 121 которая удовлетворяет (л — 1) условиям и. "Р»(х!" х) (й 1,2,...,л — !). Остается еше подобрать с(х,) так, чтобы удовлетворялось условие и„р„(х», ..., х„), что приводвт вас к уравнению дс (х„) = р„(хп ..., х„) — и„, и вам остается убедиться в том, что правая часть напнсанного уравнения содержит только х . Дифференцируя по х» ари » ~ л и принимая во анима.
ние (176) и то, что и р, мы получим х» др д'и др д ди др„др„ я а »м О дх» дх дх» дх» дх„ 1, дх» ) дх» дх„ что и требовалось доказать. Положим теперь, что частные проазводные р» определены неявным абра. аом при помощи л уравнений: Р»(х„..., х„, р„..., р») =а» (з 1, 2, ..., л), (177) которые мы считаем разрешимыми относительно р». Докажем, что для того чтобы р», определяемые нз уравнений (177), удовлетворяли соотношениям (176), необходимо и достаточно, чтобы все скобки Пуассона нз левых частей равенств (177) обращались тотндественно в нуль, т.
е. мы должны иметь л (л — 1) следующие 2 тождеств относительно х! и рп 'г~ / др! др» дР! дР» ~ (Рь Р»)-~~ ( — ' — '- — — ) О. Л» ~ др» дтв дх» др» ) » ! (178) При этом мы предполагаем, что в уравнениях (177) правые частя суть про. извольные постоянные. Возьмем два из уравнений (177) и продифференцируем вх по незави. симому переменному хн дР дрт — — =О. др) дх, дР) др др( др„ ! 1 1 1 дра Умножая первое из этих уравнений на др из второго первое н суммируя по з, мы получнм дР» дР др( 1-! »-! 1 1-1 »-! др! второе на — ° вычитая др» дР, др, др, — — — О. др) др дх функцию и независимых переменных (х», ..., х,-!), имеющую частные про.
изводные и„° р»(хг, ..., х ) (» 1, 2, ..., л — 1). Эта функция будет со. держать х, в качестве параметра, вбо эта переменная входит в рь Кроме того, мы можем добавить к функции и произвольную постоянную, которую можем считать функцией параметра х„. Таким образом мы получим функцию и (х!, ..., ха-», х„)+с(х„), 231 СКОБКИ ПУАССОНА 71 Меняя во второй сумме обозначение перемевных суммирования, мы можем переписать последнкяо формулу в виде и а ч-ч ч-, др» др! у др! др (рп ра)+лу ~ — — ~ — — — ')-О. 2~ 2.~ др, др, \,дх, дх, ) (179) / !»-! Если р» удовлетворяет соотношениям (176), то из последней формулы не. посредственно вытекает, что должны быть выполнены при любых значках тождества (178). Положим теперь наоборот, что выполнены тождества (178), и докажем, что рь определяемые формулами (177), должны удовлетворять соотношениям (! 76).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
