1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Второе очевидное решение получается, если а и Ь удовлетворяют соот. ношениям 4,=0; фь О. Это приводит нас к особому интегралу. Если по крайней мерв одно из этих равенств не выполняется, то определитель однородной относительно ф, и фа снсгемы (114) должен обращаться в нуль: Мы считаем при этом, что а и Ь не являются одновременно по.
стоянными. Равенство нулю этого функционального определи. теля приводит нас к соотношению между а и Ь [Ша, 18]. Положим, что это соотношение имеет вид Ь = ьь(а). При 'этом уравнения (114) приводятся к одному, которое может быть запи. сана в виде !р + фььа'(а) О, полныи иитагРАЛ и ЗАдАчА коши и мы получаем общий интеграл. Можно показать, что при некоторых условиях указанными выше решениями исчерпываются все решения уравнения (106).
По существу дело сводится к тому, что, имея полный интеграл, мы можем решить задачу Коши. 14. Полный интеграл и задача Коши. Покажем теперь, каким именно образом из полного интеграла следует решение задачи Коши. Пусть требуется найти интегральную поверхность, проходящую через линию: х = х (!); у = у(!); и = и (!).
(115) Вопрос приводится к нахождению такой функции Ь = а(а) в общем интеграле, определяемом равенствами (111) и (112), чтобы полученная интегральная поверхность прошла через линию (115). Выясним предварительно одно свойство огибающей поверхности. Пусть имеется семейство поверхностей с одним параметром: (116) ф (х, у, и, а) = О. Положим, что через всякую точку М линии (1!5) проходит поверхность семейства (1!6), причем касательная плоскость к этой поверхности в точке М содержит касательную к линии (115) в точке М.
Покажем, что в этом случае огибающая семейства (116) содержит линию (1!5). Действительно, мы имеем по условию ф[х(!), у(!), и(!), а) = О, (!! 7) причем различным точкам М линии (!15) отвечают различные значения постоянной а, т. е различные поверхности семейства (1!6). Дифференцируя последнее то кдество по 1, получим ф хс+ фаус+ чА,и!+ ф„ас — — О. С другой стороны, тот факт, что касательная плоскость к поверхности семейства (!!6) содержит касательную к линии (1!5), приводит нас к тождеству ф„х,+ф„у,+ф„и,=О, (118) и последние два тождества дают ф,а~ = О, или, в силу а~ Ф О, мы имеем ф, = О. Итак, функции (!15) удовлетворяют тождественно относительно ! уравнениям ф = 0 и ф, =О, т. е.
огибающая семейства (1!6) действительно содержит линию (!15). Положим теперь, что мы имеем полный интеграл уравнения (106), который напишем в неявной форме:. ф (х, у, и, а, Ь) = О. (119) Нам надо определить функцию Ь = !э(а) так, чтобы выполнялись соотношения (117) и (118). Левая часть уравнения (118) ЗО ГЛ 1 ОВШАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПА представляет собою производную по Г от левой части уравнения (117). Обозначим через Ч'(1, а, Ь) результат подстановки функций (115) в левую часть уравнения (! 19).
Мы должны написать таким образом два уравнения Ч'(1, а, Ь)=0; Ч',(0 а, Ь)=0. (120) Исключая из этих равенств й мы будем иметь соотношение между а и Ь, т. е. найдем искомую функцию: Ь = га(а). Таким образом, для решения задачи Коши по полному интегралу надо в уравнение полного интеграла подставить функции (115), полученное уравнение продифференцировать по Г и из двух построенных таким образом уравнений исключить Г Зто приведет нас к соотношению между постоянными а и Ь. Соотвегствующий этому соотношению обший интеграл и будет проходить через линию (!! 5). Можно поступать и иначе Выразим из (120) а и Ь через б Подставляя в (1!9), будем иметь семейство поверхностей, зависяшее от одного параметра б Находя огибаюшую этого семейства, получим искомую интегральную поверхность, проходяшую через линию (1!5).
Отметим еше связь понятия обшего интеграла с характеристическими полосами, которые получаются в результате интегрирования системы (107). Огибаюшая семейства (1!1) касается одной из огибаемых вдоль некоторой линии 1,. Проводя вдоль этой линии касательную плоскость, обшую огибающей и огибаемой, мы получим некоторую полосу. Эта полоса принадлежит двум интегральным поверхностям, а именно: огибаюшей и огибаемой, и, следовательно, должна быть характеристической полосой. Мы можем, таким образом, утверждать, что формулы и = ф (х, у, а, Ь); ф, (х, у, а, Ь) + фз (х, у, а.
Ь) а'(а) = О, р=ф„(х, у, а, Ь); д=ф„(х, у, а, Ь) (12!) определяют, при любом фиксированном а и любом выборе Ь = =ы(а), решение системы (107), удовлетворяюшее условию (106). Мы можем считать, что формулы (121) определяют четыре из величин х, у, и, р, д, как функции пятой и трех произвольных постоянных а, Ь и с = га'(а). Общий интеграл системы (107) содержит четыре произвольные постоянные.
Но, ввиду наличия соотношения (!Об), семейство всех характеристических полос должно зависеть только от трех произвольных постоянных, что мы и получили согласно формулам (121). В одном из следующих параграфов, для случая любого числа независимых переменных, мы проверим путем непосредственного вычисления тот ПРИМЕРЫ нй факт, что уравнения (12!) действительно дают решение системы (107).
Выясним возможность определения особого интеграла непосредственно по дифференциальному уравнению без помощи полного интеграла. Дифференцируя тождество (110) по а и Ь, мы получим Ра%а + Рр%ла + Рчгрра 01 Рягрь + Рр%ль + Р4%рь Принимая во внимание определение особого интеграла (113), мы можем утверждать, что на особой интегральной поверхности выполнены следующие два равенства: Рр%ха + Р4%ра = О! Рр%рь + Р4%рь ~ О. Будем считать, что определитель написанной однородной относительно Р, и Р, системы на особой интегральной поверхности отличен от нуля, что по существу сводится к предположению о возможности разрешения уравнений (109) относительно и и Ь. При этом написанная однородная система дает нам Р =Р =О.
(122) Таким образом особый интеграл может быть получен путем ис. ключения р и д из следующих трех уравнений: Р(х, у, и, Р, д)=0; Р (х, у, и, р, д) 0; Р, (х, у, и, р, д) О. (123) Уравнения (122) указывают на невозможность применения теоремы о неявных функциях к уравнению (106) по отношению к переменной р или переменной г). Это показывает на невозможность получения особого интеграла в результате решения задачи Коши, как это мы делали в [91, считая уравнение разрешенным относительно р (или г)). К этому же результату мы можем прийти и иным путем.
Какую бы кривую мы ни взяли на особой интегральной поверхности, вдоль этой кривой определитель (96), в силу условий (!22), будет равен нулю, что и указывает на несуществование определенного решения задачи Коши при любом выборе кривой иа поверхности особого интеграла. 15. Примеры. 1. Уравнение н-хр+УЧ+1(Р, Ч) (124) является аналогом уравнения Клеро, которое .мы рассматривали раньше (П; 111 Заменяя Р и д на а и Ь, как нетрудно проверить, получим его пол. ный интеграл а ах+ Ьу+!(а, Ь). Уравнение и хр + уу + РЧ имеет полиыи интеграл и ах+ Ьу+ аЬ, и, применяя указанный выше метод, получим особый интеграл: и = — ху.
Если мы возьмем на втой поверхности любую линию; хо рр (1)1 уо ф (О; ио = — рр (1) ф (П (!25) то уравнения (86) оР (1) Ро + 2Р (1) Уо + Роро + Ф (1) ф (П О, р'(1) Р (1) + Р'(Ц р (1) + р'(1) р, + Р'(1) д,-О имеют решения ро = — ф(1), до = — рр(1), и мы будем иметь вдоль линии (125) у+ рр(1) ~ о; Р =р+ ф \П Для уравнения 1 и = хр+ уд — — (ро+ до) 2 (1242) особый интеграл будет и = — (х'+ у'). 1 2 (126) О р ур 2222 * р, Р= — "У" 2УФ.~.222 — — р Р. и вдоль поверхности (126) частная производная от левой части уравнения по и обрашаетсн в бесконечность. 2.
Пусть имеется уравнение, содержашее только р и ду [(р, д) О. Такое уравнение имеет очевидное решение; и ах+ су+ Ь, где постоянные а и с должны удовлетворять соотношению [(а,с) О, Решая его относительно с: с = Д(а), получим полный интеграл уравнения в виде и = ах + П (а) у + Ь. Это уравнение дает некоторое семейство плоскостей. Обший интеграл будет огибаюшей семейства плоскостей с одним параметром, т. е.
развертываюшейсй поверхностью [11; 153). В качестве примера рассмотрим уравнение >21 о 12 (127) Принимая во внимание, что направляющий косинус нормали к искомой поверхности с осью и выражается формулой 1 1 соя (я, и) — ~ — мм ж;р 1 .1 ро [ у ч/1 1. Ьо ' мы вилим, что уравнение (127) сводится к требованию, чтобы нормали к искомой поверхности образовывали постоянный угол с осью и.
Полный инте. грал уравнения представляет собой семейство плоскостей и ах + уряо — а'у + Ь. 52 ГЛ. 1. ОВШАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 11В 151 ПРИМЕРЫ 63 Система (68) напишется в виде — = 2р; — = 2д! — 2 (рз + дз)! — О; — = О, ах ау пи ур уу аз ' аз ' аз аз ' г(з и ее решение, выраженное через начальные данные, будет х-2«~+хо' у=29~-ьуо -2(«о+со)з+ио «-Ро у=ус (!28) Мы получим характеристические полосы, если подчиним рэ и Оэ условию ро + да = и . Это будут неноторые прямые, и вдоль этих прямых р и д 2 2 2 сохраняют постоянные значения.
Пусть требуется провести интегральную поверхность через окружность хч сов(; уз=О; из= э!п !. Уравнения (86) в данном случае имеют вид Ра+Ча=й' соэ(= Роз'"! 2 2 2, откуда Подставляя в первые три иэ уравнений (128), получим параметрическое уравнение искомой поверхности, выраженное через параметры з и г: х = — 22 с18 ! + соз 1; у = 2з ттйэ — с!82 (; и = 2йз + Шп й 3. Более общим является следующий тип уравнений первого порядка: ( (х, Р)=(2(У, У). и= ~ и, (х, а)йх+ ~ ~рэ(у, а)а'у+Ь, где Ь вЂ” вторая произвольная постоянная. В применении к уравнению рд — ху = О нли Р У х д 1 1 и = — ах'+ — уз+ Ь.
2 2а (129) этот прием дает (130) Пусть требуется провести интегральную поверхность через линию 1 х=(; у= —; и=!. Подставляя в (130) н дифференцируя по 1, получим 1 1 1 1 = — а!2+ — + Ь; а! — — О. 2 2а!2 ' аИ Исключение ! дает Ь = О, и мы получаем семейство интегральных поверх. настей с одним параметром 1 1 и = — ах'+ — у', 2 2а Для нахождения полного интеграла положим, что обе части уравнения равны одной и той же постоянной а; (г(х, р) = а и (2(у, д) = а Решая эти уравнения относительно р и у, получим р = грг(х,а) и д = юз(у,а), и полный интеграл напишется в виде гл.
! оншдя тпорня нрлвнпнни с частнымн нпонзводнымн !ж и огибающая этого семейства приводит к искомой интегральной поверхности и ху. Если бы в качестве начального данного мы взяли линию х 1, у=(, и=го, (!3!) то примененный выше прием привел бы иас к уравнениям ( 1 1 Д /1 1 — а+ — — 1)!'+Ь=О, 2!х — а+ — — 1) ! О, 2 2и ) ' Г,2 2и из которых следует и 1, Ь = О, н мы не смогли бы найти интегральной цоверхностн, проходящей через линию (!31) Нетрудно видеть, что линию (131) мы можем дополнить до характеристической полосы, полагая р =! и д = !.
Действительно, функции х 1; у 1; и=со, р=!. д=! удовлетворяют уравнению (129) и системе (!07), 4. Если уравнение не содержит независимых переменных Р (и, р, д) О, то можно построить полный интеграл, если искать решение уравнения вида и = ф (х + иу), (132) где о — произвольная постоянная В качестве прнмера рассмотрим уравнение рд — и О. (133) Совершая подстановку (132) и полагая 5 = к+ ну, получим и[ф'(6)1' — ф(й) =О. и интегрируя это обыкновенное дифференциальное уравнение, получим пол.
Ный интеграл уравнения (1ЗЗ): ооеоог Система (68) для уравнения (!ЗЗ) имеет вид о!х о!у Ии о(р йд — = д' — р' — 2рд' рт — д, йз ' о(з ' Из ' из ' о!з и ее интегрирование дает х доео + (хо — до)! у роз* + (уо — ро)! и родоеы + (ио — родо)' (133о) р = рос; д дое . Пусть ищется интегральная поверхность, проходящая через прямую: «о=й уо 1; ио й Для определения ро и до имеем уравнения Родо = !! Ро Откуда ро 1 и до Д Подставляя в первые трн иэ уравнений (133о) н йолагая о* и, получаем параметрические уравнения искомой поверхности, выраженные через параметры о и ! х !и; у=о; и !ооо или, в явной форме, и ху, СЛУЧАИ ЛЮБОГО ЧИСЛА ПЕРЕМЕННЫХ !6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
