1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 10
Текст из файла (страница 10)
В этом случае задача имеет бесчисленное множество решений. Достаточно пересечь кривую ( другой кривой 1ь касательная к которой в точке пересечения лежит в той же плоскости, что и касательная к (, но не совпадает с этой касательной, и такую, что вдоль (, касательные не совпадают с образующими конусов Т. Интегральная поверхность, проведенная через (ь будет содержать и й Может, наконец, случиться, что касательные к кривой совпадают с образующими конусов Т, но что эта кривая не характеристическая, т.
е. что ее дополнение до полосы указанным выше приемом не приводит к характеристической полосе. Из каждой точки 1 в этом случае мы все же можем выпустить характеристическую полосу, имея начальные значения (хь, уо, иь, р,, дь). Если эти харантеристические полосы образуют интегральную поверхность с явным уравнением и = и(х, у), то линия ( является особой линией на построенной интегральной поверхности. Эти рассуждения имеют лишь иллюстративное значение. Отметим один важный тип интегральных поверхностей уравнения (59). Фиксируем некоторую точку (х,, уь, иь)- При этом второе из соотношений (80) будет выполняться при любых значениях рь и аь, так как все производные, входящие в это соотношение, обращаются в данном случае тождественно в нуль. Мы получаем одно первое из соотношений (80), которое даст нам, вообще говоря, бесчисленное множество значений для рь и аь.
Это будут как раз те значения рь, дь, которые определяют возможные положения касательной плоскости в фиксированной точке (хо, уо, ио). Мы можем, как и выше, считать рь(т) и дь(т) функциями некоторого параметра б Подставляя фиксированные значения (хь, уо, иь) и упомянутые выше выражения рь(1) и дь(~) в формулы (73), мы получим интегральную поверхность уравнения (59), имеющую вид конической поверхности с вершиной (хь, уь, иь). Эта поверхность будет иметь, вообще говоря, криволинейные образуюшие, которые в вершине (хо, уь, ио) будут касаться образующих конуса Т. Эту поверхность называют обычно интегральным коноидом уравнения (59) с вершиной (хп, дь, иь). Можно показать, что решение задачи Коши может быть сведено к следующему построению.
Строятся интегральные коноиды, имеющие вершины иа заданной кривой (, и берется их огибающая, что и приводит к решению задачи. Все последние утверждения требуют, конечно, строгих аналитических доказательств, на которых мы не будем останавливаться. 44 ГЛ. 1. ОВШАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Из 12.
Любое число независимых переменных. Рассмотрим уравнение первого порядка в случае любого числа независимых беременных: (97) Р(х,, ..., х„, и, рь ..., р„) = О. Метод Коши интегрирования такого уравнения проводится совершенно так же, как и в случае двух независимых переменных, и мы ограничимся лишь указанием результатов.
Характеристическая система, соответствующая уравнению (97), имеет вид дх! !Гх„ !!и и Р Р, " Р; - КТ::.У'.~. — (х, ~. и„> ЛР„ гЬ (Х =Р„; Р„=Р „; (7 =Р„). (98) Укажем формальный путь, приводящий к системе (98). Пусть имеется решение и и(хь ..., х„) уравнения (97) с непрерывными производными до второго порядка. При этом Хм Р, и 0 после подстановки и и(х1, ..., х„) и р„-и„„(х,, ..., х„) буд т функциями (хь ..., х„).
впишем систему уравнений первого порядка !!х» — Р» (lг 1, ...,и), !!» где з — вспомогательная переменная. Подставляя решения этой системы в уравнение и = и(х1, ..., х„) и дифференцируя по з, получим -а- » р! — „= ~Р,РО и точно так же: — = ~и„„„,р!. Дифференцируя (97) по х», получим Х„+(7р»+ ~ Р, Р' Х„+(ур»+ 7 и„„,Р,=О. 1 Х» Из этих равенств следует, что "Р» — „.— — (х, + ир„). Таким образом, мы получили все уравнения системы (98). Рассмотрим подробнее сиетему (98), как систему относительно функций х», и, р» вспомогательного переменного з. Она допускает очевидный интеграл Р(х„., „х„, и, р1, ..., Р„) С. !и ЛЮБОЕ ЧИСЛО НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ 45 Положим, что нам удалось проинтегрировать указанную си. стему: ц ц (з х(о) ц(о) р(о)) , (з хр ц(о) р(о)) ) (99) Подставляя это в формулы (99), мы будем иметь выражение переменных хх и и через и параметров.
Рассмотрим функциональный определитель 1)(х„..., х„) б = )) (х (, ' '(,1 который, в силу первых из уравнений системы, может быть написан в виде ~х дх) дхх д~~ ' ''" д(, (! 01) дх~ дх„ д1л-~ ''' д(х — ) Если этот определитель в окрестности начального значения з=О отличен от нуля, то уравнения (100) дают нам поверхность, которая может быть записана явной формулой и и(хь ..., х„), Для того чтобы эта поверхность оказалась интегральной поверх. постыл уравнения (97), необходимо и достаточно, чтобы функ. ции (100) удовлетворяли следующим п соотношениям: г (х1о), х(о) ц(о) р(о) р(о)) ~ а () (102) дц(о) дх(о) — р(') — ' (1=1, 2, ..., и — 1).
(103) ( ) ( Задача Коши состоит в отыскании интегральной поверхности уравнения (97), содержащей заданное (а — '1)-мерное многообразие: (о) () ) ) ц(о) () Мы считаем, что это многообразие дополнено до многообразия (100), так что удовлетворяются соотношения (102) и (103), Если где х('), и(о), р(') — начальные значения функций при з = О. Ву. дем считать, что этн начальные значения являются функциями (л — 1) параметров л(о) (( ( ) ц(о) (( ( ) (о) (( ( 1 (100) 40 ГЛ ! ОВШАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ НЗ при этом определитель (101) отличен от нуля вдоль такого многообразия, то указанный выше метод приводит, к решению задачи Коши, и это решение единственно.
Совершенно так же, как и в случае двух независимых пере. менных, мы можем строить интегральный коноид уравнения (97), фиксируя некоторую точку (х~6», хг„", и1~!) и выбирая рн'1,... ..., р1э! как функции (и — 1) параметров так, чтобы удовлетворялось соотношение (!02). Если уравнение (97) разрешено относительно рг! р,=)(х„..., х„, и, рз, ..., р„), (104) и если условие Коши имеет вид и ~„„!о1=ф(хз, ..., х„), ! ! (105) то задача Коши имеет одно определенное решение.
Мы не приводим здесь всех условий непрерывности и существования производных у 1 и ф. Это делается так же, как и прн л = 2. Для уравнения (104) с начальным данным (105) можно, при некоторых определенных пред. положениях относительно 1 и ф определить и ту область, в которой суще. ствует интегральная поверхность.
Предположим, что функция 1 непрерывна и имеет непрерывные производные 1„, 1 н 1„ (й 2, ..., л) при ~ „, ла' РА (~а и произвольных л*, р! и ц Положим, кроме того, что эти производные имеют непрерывные производные по ль ла, и и ра, и что производные 1 лн гх, 1, 1, 1 ц, !л ц, 1 р, !цц, !цра, / огйаничены по абсолютной величине числом А при указанных значениях аргументов. Положим далее, что ф(х,, ..., х,) имеет непрерывные производные до второго порядка и что имеет место неравенство ! ф„1+ ч" ~ ф„„~ < В (й-2, ..., «). ! 2 При этом существует дважды непрерывно диф4(еренцируемое рещение уран. !е! пения (104) при условии (105) в области ~ "! "! ~ ~ а и произвольных л* (й 2, ..., и), где а з- а. Кроме того, а должно удовлетворять условию А ( 2 (л — 1)(В + 1) 1 (см.
К а м не (Капйе).— Май 2, 1943, 49, № 3]. 13. Полный, общий и особый интегралы. В настоящем и следующем параграфах мы укажем другой метод интегрирования уравнения г" (х, у, и, р, д) 0 (106) . и, в частности, решения задачи Коши. Он часто в конкретных примерах легко приводит к решению задачи.
При изложении метода Коши мы выяснили условия его применимости и существо- ПОЛНЫЙ, ОВШИЙ И ОГОВЫЙ ИНТЕГРАЛЫ з31 47 вания и единственности решения задачи Коши. Сейчас мы бу. дем иметь в виду, главным образом, формальную сторону вопроса и широко используем теорию огибающих семейства поверхностей, зависящего от одного или двух параметров. При применении метода Коши для интегрирования уравнения (106) мы должны уметь проинтегрировать полностью соответствующую систему обыкновеннГях уравнений: Р 0 РР+ 40 — (Х+ 17Р) (У+ Уд) Мы покажем сейчас, что задача интегрирования уравнения (106) требует лишь знания решения этого уравнения, зависящего от двух произвольных поетоянных.
Пусть мы имеем такое решение: и = ~р(х, у, а, Ь), (! 08) где а и Ь вЂ” произвольные постоянные. Частные производные р и д будут выражаться по формулам р=<р„(х, у, а, Ь); д=ср„(х, у, а, Ь), (109) и мы будем иметь, следовательно, следующее соотношение: г" [х, у, ~р(х, у, а, Ь), Ч~„(х, у, а, Ь), ~рг(х, у, а, Ь)]=0, (110) которое должно выполняться тождественно не только относительно (х, у), но и относительно (а, Ь). Мы считаем, что из трех соотношений (108) и (109) могут быть исключены а и Ь и что эго исключение приводит нас к уравнению (106).
В этом случае решение (108) уравнения (106) будем называть полным интегралом данного уравнения. Нетрудно из полного интеграла уравне. ння получить и другие решения этого уравнения. Положим, что в формуле (108) постоянная Ь является некоторой функцией постоянной а, т, е. Ь = ы(а). Таким путем мы придем к семейству интегральных поверхностей, зависящему от одного лараметра: и = ~р (х, у, а, в (а)).
(111) Огибающая этого семейства, которая получается исключением а из уравнения (111) и уравнения <р,(х, д, а, ы(а))+~рз(х, у, а, ы(а))в'(а)=0, (112) будет иметь вдоль линии касания с огибаемой поверхностью те же самые р и д, что и огибаемая, а потому эта огибающая будет также интегральной поверхностью уравнения (!06). Совокупность всех таких интегральных поверхностей при любом выборе дифференцируемой функции ы(а) образует общий интеграл уравнения (106), Этот интеграл, как мы видим, содержит уже 43 ГЛ ! ОВШАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ПЗ произвольную функцию ьа(а).
Мы можем далее строить огибающую семейства интегральных поверхностей (108), зависящего от двух параметров а и Ь. Это приводит к исключению а и Ь из уравнения (108) и уравнений !р,(х, у, а, Ь) О; !рь(х, у, а, Ь)=0. (113) Полученная интегральная поверхность не содержит никаких произвольных элементов и называется обычно особым интегралом уравнения (106). Мы считаем при этом, конечно, что все указанные выше исключения возможны и приводят к функциям, имеющим непрерывные производные Вместо указанных геометрических соображений мы можем получить общий и особый интегралы, пользуясь методом вариации произвольных постоянных. Будем искать решение уравнения (106) в виде (108), считая а н Ь искомыми функциями (х, у).
Частные производные функции и будут вычисляться уже не по формулам (109), а по следующим формулам: Р ф.* + фааа + фьйа! у = фд + фааь + фьЬ| Если мы подчиним искомые функции а и Ь двум соотношениям! фаа» + фьЬ» = 0; ф,аь + фаЬР О, (114) то выражения для частных производных останутся прежними, и функция (108) будет, как и раньше, давать интегральную поверхность. Все дело сводится к рассмотрению уравнений (1'14). Эти уравнения имеют очевидные решения: а = сопз! н Ь = сопз1, что приводит нас опять к полному интегралу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
