1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Это уравнение непосредственно приводятся к системе (148), если положить РΠ— — а= —— Р' й' Постараемся подыскать второе уравнение вида Ф (х, у, и, р, д) = а, (!55) где а — произвольная постоянная, так, чтобы уравнения (!54) и (155) были разрешимы относительно р н а и чтобы после разрешения полученная система вида (148) была вполне интегрируемой. Если это нам удастся сделать, то, интегрируя полученную систему, мы введем еще одну произвольную постоянную Ь н таким образом получим полный интеграл уравнения (154).
Условие полной ннтегрируемости (149) может быть записано в виде (156) Рр + Рии Чи + Чир Нам надо вычислить все частные производные, входящие в это тождество, применяя правила дифференцирования неявных функций р и д от переменных (х, у, и), определяемых уравнениями (154) и (155). Дифференцируя соотношения (154) н (155) по и, мы получим Ри+ Рррр+Р,д„= О; Фи+Фрри+Фрди=О, откуда Ри Рр ~ Фр, Фи~ и условие интегрируемости (149) приводит в данном случае к следующему соотношению между коэффициентами: Р (Є— Я„) + ЯЄ— !Г„) + )г ߄— Р ) = О.
Мы уже раньше указывали на это соотношение, как необходи. мое и достаточное условие полной интегрируемости уравнения (153) 1!1; 79!. 19. Метод Лагранжа — Шарип. Этот метод дает общий прием построения полного интеграла уравнения с частными производными первого порядка при двух независимых переменных: Р(х, у, и, р, д) = О. (154) бз СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ или, в раскрытом виде (РРФ» Р»ФР) + (РеФу РуФе) " 0 что приведет к разысканию интеграла системы ах ар ар Нд (161) Р Я вЂ” Х:1' Выражение, стояшее в левой части формулы (160), называется обычно скобкой Пуассона функций Р и Ф и обозначается символом (Р, Ф).
Выражение, стоящее в левой части формулы (157), называется скобкой Майера функций Р и Ф и обозначается символом (Р, Ф). Если мы введем условное обозначение для любой функции ю, зависяшей от переменных (х, у, и, р, а), л именно, положим нм аы — =ю +ю р; — =ю +сон йх» "' ау то скобка Майера может быть записана в виде а'р ра ар аФ Фе ар йр рр, аФ Фр ах [Р, Ф]= (162) Говорят, что две функции Р и Ф находятгя в инволюции, если они обрашают в нуль скобку Пуассона или скобку Майера.
В первом случае эти функции должны быть функциями от пере- менных (х, у, р, в), а во втором случае к этим аргументам до- бавляется еще и. Сущность метода Лагранжа — Шарпи состоит, таким образом, в подыскании такого интеграла системы (159) илн (161), который находился бы в инволюции с Р. Отметим одно обстоятельство, которое бросается в глаза при сравнении методов Коши и Лагранжа.
При применении метода Коши' мы должны находить все интегралы системы (159), а в методе Лагранжа — Шарпи мы должны найти только один ин- теграл этой системы. Но, имея полный ийтеграл уравнения (154), который затем получится из метода Лагранжа — Шарпи, мы сможем вполне проинтегрировать систему (159). 20.
Системы линейиык уравнений. Для обобгцеиия метода Лагранжа— Шарип на случай любого числа независимых переменных нам надо предвари- тельно рассмотреть вопрос об интегрировании системы линейных однородных уравнений с одной искомой функцией Рассмотрим такую систему, содержа. гцую гн уравнений. Х~ (и) = апр, + амрт +... + а,„р„о, Х»(и) а»,р, 4- амрт + ° ° + атлрл О 1!03) Хгл(а) алнр~+анар»+ ...
+аалрл О, где ра — — и коэффициенты а»* мы считаем непрерывными и непрерывно 'а дифференцируемыми функциями независимых переменных х, и через Х»(и) обозначили для краткости левую часть й-го уравнения. Ставится вопрос об отыскании функции и, которая удовлетворяла бы одновременно всем урании. пням системы (163). Говоря о решении системы (163), мы исключаем очевид- ное решение и сопИ, которое для нас не имеет интереса. Мы предпола.
гаем, что уравнения (163) линейно-независимы, т. е. что не существует мно- жителей л», которые могут быть функциями х„ таких, что среди них есть отличные от нуля, и имеет место соотношение л» )» Х,(и) О, а-1 тождественное относительно х, в некоторой области изменения этих перемен. ных и р,. Если бы такие множители существовали н хоть один из них был отличным от нуля, то левая часть одного из уравнений (163) выражалась бы линейно через левые части остальных уравнений. Это уравнение было бы аледствием остальных, и мы могли бы его вычеркнуть. Положим, что гл ) л, и рассмотрим первые л уравнений системы.
Поскольку эти уравнения линей. но-независимы, определитель, составленный из иъ коэффициентов, должен быть отличным от нуля Но тогда однородная относительно р, система имеет только йулевое решение р» = ... = р = О, откуда следует, что и = сопИ, т. е. лри гл ~ л система не имеет решений (кроме очевидного). Мы будем таким образом в дальнейшем предполагать, что гл ( л.
Мы можем образовать новые линейные однородные уравнения, которые являются следствием уравнений (163), но могут оказаться линейно-независи- мыми с уравнениями (163). Предварительно установим ряд элементарных тождеств Если и! и и» вЂ” любые две функции независимых переменных хь,, . х», мы имеем следующие два очевидных тождества; Ха(и, +и,)=ХА(и,)+Ха(и,); Ха(и,и»)=и,Х»(и,)+и,ХА(и,). (164) Заменим в выражении Х»(и) функцию и левой частью А-го уравнения, т. »ь выражением Х»(и). Принимая во внимание (164), мы получим л л Х1 (Хь (и)) = ~ Хс (аь ) и„+ ~ ае Х (и, ) » ! » и совершенно так же Ха (Х1(и)) Х' Ха(а»,) и + ~ а„Х»(и„) к 1 » 1 Далее, очевидно, можно написать, пользуясь производными второго порядка функции и: 1("к ) =,'Е аа ~„'" а!»и» к ч» а а и Х .
к 1» 1 1 1 5, 1 1 »к ! к 1 и последнее выражение не меняется прн перестановке значков 1 и й, т.е л л а, Х„(и„) = ~ аа,Х,. (и„) е 1 » 1 и мы получаем следующую формулу: Х (Х„(и)) — Х (Х! (и)) Ч ~(Х (а,) — Ха (а„)) и„, к-1 (165) 64 ГЛ 1 ОБШАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ (то СИСТЕМЫ ЛЕИ!ЕЙНЫХ РРЛВНЕНИИ (Ф ф) ~ (ФР/ф» Ф» фэ/) / ! (166) Положим в этой формуле Ф = Х,(сс) и ф Кл(и). При этом у дал, ч-з да, ср а, ф = у — гр; ср р — р', ф аа. Р! '' «/ ~.~ д» " с/ 2~ дк " Р/ Г л ! Подставляя это в правую часть формулы (166), получим (Х,(и), Х (и)) ~ ~~~с а / — а' — ~ аа/-а»-(й~ рм »-! /-! / /-! или что то же (Х (и), Х„(и)) = ~ -(Х/ (а/, ) — Ха (асз)) р,.
Сравнивая с правой частью формулы (165), мы приходим к важному тождеству Х! (Ха (и)) — Ха (Х! (и)) = (Х! (и), Кз (и)). (167) Если тс удовлетворяет всем уравнениям системы (163), т с. х,(.) о (/=!, ..., т), то эта функция дол!кна удовлетворять н линейному однородному уравн сию (х, (и), ха (и)) = о (!68) при любом выборе значков !' и а Придавая значкам всевозможные значения, т (т — 1) мы составим таким образом й новых линейных однородных урав. пений, которые являются, в указанном смысле, следствием систел!ы (163). Некоторые из этих новых уравнений могут превратиться в тождество, т.
е. все их коэффициенты при рл могут оказаться равными нул!о. Непревратив. шнеся в то!кдсство новые уравнения будем присоединять в некотором определенном порядке н уравнениям системы (163), испытывая каждый раз, на является ли присоединяемое уравнение линейной комбинацией уже имеющихся уравнений Если это так, то такое уравнеаие мы, конечно, не будем присоединять. Проделывая это со всеми уравнениями, мы получим новую систему, в которой число уравнений может оказаться ббльшим, чем гп /(ля новой системы будем опять составлять скобки Пуассона из левых частей, не повторяя, конечно, тех скобок Пуассона, которые мы уже составляли для исходной системы. Полученные новые уравнения будем, как и выше, ириса. едннять к системе. Продолжая этот прием, мы можем иметь два различных случая. Может случиться, что мы придем к такой системе, в которой число уравнений будет равно и.
Такая система имеет только тривиальное решение правая югть которой представляет собой линейную однородную фушсцню от р =и„с коэффициентами, зависящими ог хл. распространим понятие око. бок Пуассона на случай любого числа независимых переменных. Если Ф и ф — любые функции переменных хь ..., х, и рь, р„то мы опрейеляем, по аналогии с прежним определением, скобку Пуассона этик двух функций следующим равенством: л 66 ГЛ.
!. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ С ЧАСТНЫМИ ЛРОИЗВОДНЫМИ И! и сопз1, а следовательно, и первоначальная наша система имеет только тривиальное решение. Вторая возможвость состоит в том, что мы придем н таной системе с числом уравнений, меньшим, чем п, для которой все новые уравнения, получаемые при помощи скобок Пуассона, оказываются линей. ными комбинацинми уравнений сайой системы. Такая система называется полной.
Таким образом, из предыдущих рассуждений следует, что наша первоначальная систелса или имеет только тривиальное решение, или равносильна некоторой полной системе, и мы приходим, таким образом, к задаче инте! ри. рования полной системы. Будем предполагать, что наша первоначально напк. санная сястема (163) является уже полной, т.е. всевозможные скобки Пуас.
сана (Хс(и), Хс(и)) суть линейные комбинации леаык частей уравнений (Хс (и), ХА (и)) Е д»сс А»Хс (и) (169) с 1 где коэффипиенты Цс А! суть функции кс, илн эти скобки абра»цасотся ток». дественно в нуль. 21. Полссые н якобяевы системы. Выяснвм некоторые основные свойства полных систем. Введем вместо хс новые независимые переменные у, срз(х, ..., х„) (А=1, 2, ..., и), кричем мы считаем, что написанное преобразование разрешимо относительно х,. В новых независимых переменных система (163) будет иметь вид ди ди Ус(и)-Ь! — +" +Ь вЂ” -0 (7-1,2,", ), ду, ''' !л ду„ где, согласно правилу дифференцнрования сложных функций, к дфс Ь с - 7 а„— - Х,.
(У,). (170) с ! При любом выборе функций и мы имеем У,(и) = Х,(и), причем правая часть выражена через независимые переменные лс, а левая — через независимые переменные у». Следовательно, при лсобых значкак ! н А Хс (ХА (и)) Ус (УА (и)) и Хс (Хз (и)) — ХА (Хс (и)) Ус (УА(и)) — УА(ус (и)). Принимая во внимание (167) н (169), мы можем написать: Ус (Уз (и)) — УА (Ус (и)) = ~ Усс'А!Ус (и), с ! где ноэффипиенты уф!'М получаются из коэффициентов ()) ' ! простым пере- П, А! холом к новым независимым переменным. Мы видим, таким образом, что если первоначальная система была полной, то и новак система, полученная в результате лсобой замены незооисимых переменных, также будет полной.
Выясним теперь второе свойство полных систем. Составим ос линейных комбинаций левых частей уравнений (!63): Х (и) д Х (и)+...+д Х (и) ()=1,..., сп), причем ноэффицненты Фсс считаютсА зависящими от хь и определитель, составленный из этих коэффициентов, считается отличным от нуля. При этих предположениях система уравнений Х!(и)=0 (7 1,2,..., ш) (17!) ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОЛНЫХ СИСТЕМ 67 будет, очевидно, равносильна системе (!63).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
