1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Вводим независимые переменные хь хв, хз и 1= ха — х,хз. Система перепишется в виде ди 2 ди ди ди ди — + Зх! — — — 0; — + ха — =О, — = О. дх, дг ' дха 2 дт ' дхз Первые дна уравнения дают якобиеву систему с независимыми переменными х 2 хь хь й Второе из ннх имеет решения х, и ! — —. Вводим новые независи. 2 ' Ха мые переменные х, хв н т=( 2 Упомянутые уравнения перепишутся 2 ' в виде — +Зх — =О," ди 2 ди дхг ! дт ди — О.
дХв Первое из этих уравнений имеет решение Ха з 2 3 и = т — х, или и = «4 — х,х — — — хг, 3 2 и произвольная функция этого и является решением системы (191). 2. Найдем полный интеграл уравнения Рг (Р, + ха) + (ха + Ра) — хара О. (192) Уравнение (Рь и) = 0 имеет ввд ди ди ди ди 2 (р, + х,) — + 2 (х, + Ра) — — х, — — 2 (х, + Рв) —— дхг дха дхз др, ди ди — 2 (р, + ха) — + рв — = О.
дрз дрз (193) Это уравнение имеет очевидное решение и = ха + Рв. Полагаем Рв=хз+Ра а,. (192в) Присоединяем к уравнению (193) уравнение (Ра, и) = О, т, е. ди ди — — — =О, дра дха Составляя скобку Пуассона иэ левых частсй, получим еше одно уравне. ние Хз = Рз + х,Р, О. Скобки Пуассона (Хг, Хз) и (Хп Хз) лишь множителем отличаются от левой части последнего уравнения. Таким образом, мы имеем полную систему, состоЯШУю из тРех УРавнений. Решаа ее относительнО Рь Ра, Рз, полУчнм якобиеву систему р! + 1,«з + Зха!) Рз 0; Ра + хаР4 = О' Рз + «!Р4 79 Гл 1 ОБшая теОРия уРАВиеиий с част!зыми ПРОизВОдпыьзп !зт Это урааиеиие и уравнение (193) имеют рсшеиие и = хзрз, т е ха = хзрз = аз (192») Реп!лен (192), (192!) и (192») относительно рз, рз, рз! Р! — ха+ ~/аз — аз! Р! ат — хг! а! х Восстаиавливая фуикцзю и по ее частиыч производным, получим полный интеграл 1рависиия (192) и = — хзхз + ~/аа — а! х! + атхз + аз (к хам п. 2 сходящийся при соблюдении условий ]а! 1(~)»з!', ...', 12м )(~ )ср,.
(195) Мы будем считать, что радиусы сходимостп ряда (194) даже несколько больше чисел )7». Пусгь М вЂ” наибольшее значение модуля функции (194) при соблюдении условий (!95). Мы видели, что степенной ряд, полученный от разложения функции ! ! ! ! т,' 84] (! 96) ('-Ж('-%) ('-Ж) будет иметь все коэффициенты положительные и пе меньшие, чем модули коэффициентов ряда (194). Иначе говорят, что последний ряд будет глажорантным для ряда (!94).
Вообще мпжорингньзл! для ряда 2 Р! Рм з ! Х! з ° ° з х (197) называется ряд такого же вида, но коэффициенты которого не. отрицательны( т. е. больше нуля или равны нулю) и не меньше, 27. Метод мажорантных ридов. Прп исследовании задачи Коши мы предполагали данные и искомые функции вепгественнымп функциями вещественных независимых перслзенных, обладающими лишь некоторой гладкостью. В данном и следующих двух пунктах мы докажем однозначную разрешимость задачи Коши длп уравнении и систем любого порядка, но в предположении, что все входящие в задачу функции являются аналити. ческими.
Независимые переменные хь ..., х„по-прежнему будем считагь вещесгвенными, а данные и искомые функции могут принимать и комплексные значения. Предварительно нам надо будет изложить некогорые вспомогательные предложения. Пусть имеется сгепеиной ряд от т переменных зр (г! Е ) ~ а ар, а~,и (194) р р О Р! Рм м !' ''" т метод мхжорлнтных рядов чем модули соответствующих коэффициентов ряда (197). Как известно, всякий степенной ряд сходится абсолютно внутри своих кругов сходимости [1По1 84). Если некоторый ма>корантный ряд для ряда (197) сходится при 1го ~ ( ро (й = 1, 2, ... ..., гп), то мы можем, очевидно, утверждать, что и ряд (197) сходится внутри кругов (г„)( р,.
Считая в выражении (196) все числа Я, одинаковыми (можно заменить все )со наименьшим), рассмотрим две функции: (198) (199) о~+хо+ ... +о~~~ Разложения этих функций в степенные ряды будут иметь соот- ветственно вид (2 + ... +о ) др р-о р„ рр ., р -о правая часть которого представляет собою степенной ряд относительно х и у, сходящийся в окрестности х = у = О, т. е. + = ~Х ар хауо. (200) р, о=о Ищется решение этого уравнения, регулярное в точке х=О и удоилетворяющес начальному условию р 1„,=0.
(201) и, раскрывая (г, +... + г ) р, мы убеждаемся, что коэффициенты в разложении функции (!99) не меньше соогветствуюших коэффнцненгов в разложении (198), т. е. функция (199) (или соответствующий степенной ряд) также будет мажорант. ной для функции (197) (т. е. для соответствующего степенного ряда). Метод мажорантных степенных рядов применяется для доказательств существования решения дифференциальных уравнений в случае аналитических функций. Проведем соответствующее доказательство сначала для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.
Пусть имеется дифференциальное уравнение — 1(х, у) тв Гл 1 ОБщАя теОРия уРАВнений с чАстными НРОизВОдными пт Для построения искомого решения достаточно составить его ряд Маклорена, т. е. вычислить значения производных при х = О. Свободный член этого ряда Маклорена дается начальным условием (201) н равен нулю, Значение первой производной при х = 0 дается дифференциальным уравнением, и мы имеем ;о — — а . Для определения второй производной диффереицируем обе части уравнения по х: у" = ~ ра хр 'уо + ~ уарохруо 'у', р. о-о р, о-о и подставляя в его правую часть х = 0; у = 0; у' = аоо, опреде- лим значение второй производной при х = 0: УР уо = а>о+ амаоо Продолжая поступать так н дальше, мы сможем определить производные всех порядков при х = 0 и составить ряд Маклорена уо+ — х+ — х + ...
уо "о П 2! (202) Из предыдущих вычислений вытекает, что может существовать только одно регулярное решение, удовлетворяющее данному начальному условию. Но для того, чтобы утверждать, что такое решение действительно существует, нам надо доказать, что ряд (202) имеет радиус сходнмости, больший нуля. Заметим при этом, что все предыдущие операции, которые мы проделывали с рядами, законны в силу основных свойств степенных рядов внутри нх кругов сходимости. Если ряд (202) окажется сходящимся, то из самого закона составления его коэффициентов непосредственно вытекает, что его сумма удовлетворяет уравнению (200).
Из предыдущих вычислений непосредственно вытекает, что коэффициенты ряда (202) являются полнномами от ар„с неотрицательными численными коэффициентами. Действительно, при послсдовагельном дифференцировании уравнения и подстановке в правую часть уже найденных начальных значений производных нам приходится производить над коэффициентами только действия сложения и умножения. Поэтому если мы ряд, стоящий в правой части уравнения (200), заменим ма>корантным рядом, то и ряд (202) заменится мажорантным рядом.
Если этот мажорантный ряд окажется сходящимся при х, достаточно близких к нулю, то тем более будет сходящимся и' сам ряд (202) для уравнения (200). Основным моментом в дальнейшем доказательстве будет тот факт, что при замене в правой части уравнения (200) ряда мажорантным рядом мы получим уравнение, ТЕОРЕМА КОВАЛЕВСКОП 28) 79 (203) в котором переменные разделяются: Интегрируя и принимая во внимание (201), получим у> х х 2 й~ )' 2к Р) откуда Р = Й вЂ” )А' ~/1 + 2М )К (! — );, ) (204) причем значение радикала надо брать равным единице при х = О, т. е. таким, чтобы удовлетворялось начальное условие (20!), Функция (204) является регулярной функцией в точке х= О и, следовательно, разлагается в степенной ряд.
Коэффициенты этого ряда очевидно совпадают с теми коэффициентами, которые получаются указанным выше процессом из уравнения (208) его почленным дифференцированием. Таким образом, для мажорантного уравнения ряд (202) оказывается сходящимся в окрестности х = О. Тем более он будет сходящимся, как мы видели выше, и для основного уравнения. Этим доказана не только единственность, но и су)цествованне регулярного решения уравнения (200), удовлетворяющего начальному условию (201). 28.
Теорема Ковалевской. Указанный выше метод мажорантных рядов или функций применим и для доказательства существования и единственности решения задачи Коши для уравнений с частными производными. При этом мы будем брать всегда дифференциальные уравнения в разрешенной форме. Пусть имеется дифференциальное уравнение первого порядка Р1=!(х1 ° ° ° > хл> и> Рх ° ° ° > Рл)> (205) где ! — регулярная функция в точке х,= ... =х =0 и=икв р рм).. р р<ю) (206) которое проинтегрируется в конечном виде.
Положим, что ряд, стоящий в правой части уравнения (200), сходится абсолютно и равномерно при )х)(Я и )д)(тг, и пусть М вЂ” наибольшее значение суммы этого ряда при указанных условиях. Переходя к мажорантному ряду, мы получим дифференциальное урав- нение во Гл !. Овшля теОРия уРАВнений с члстиыми пРОизВОдными >28 причем без ограничения общности мы приняли начальные значения независимых переменных равными нулю. Ищется решение уравнения, удовлетворяющее следующему условию Коши: «1«8 = ф (ХМ ° ° Хк) (207) Прн этол! Мы считаем, что функция ф(хз, ..., х,) регулярна гри нулевых значениях своих аргументов и, кроме того, (!р)„= — и<8', (ф„) =р<8' (и=2, ..., и), (208) н значок нуль, поставленный снизу, будет указывать всегда на то, что все аргументы функции заменены нулями.
Прежде чем переходить к решению этой задачи, мы прн помощи элсментариои замены искомой функции ут!ростим условия задачи, а имен. но введем вместо функции и новую искомую функцию и' по формуле и =и'+ !р(х„..., х„) -!-Ах„ где постоянная А представляет собою значсние правой части уравнения (205) при начальных значениях (206) аргументов, т. е., проще говоря, А есть свободный член в разложении правой части уравнения (205) В соответствующий степенной ряд Новая искомая функция должна удовлетворять уравнению и,' =)(~Р ..., х„, и'+!р+Лхн и'„+(р,, ..., и, +фк )— — 1(О, ..., О, (ф)„(ф„,)„, ..., (ф, )„), (209) и'Вместо начального условия (207) мы будем иметь начальное условие и' ~„,8 = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
