1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Мы видели выше [29], что для уравнения второго порядка г(х,у,и, р,д,г, з,>)=0 (20) данные Коши, в частном случае, могут состоять в задании функции и и ее производной и, = р при начальном значении х хо. и !„„=<р(у); р !, „=>(>(у). (2!) Будем называть такие данные специальными данными Коши, Эти начальные условия сводятся к тому, что вдоль линии х = х„ плоскости (х, у) задается значение искомой функции и и ее частной производной р. Отметим прп этом, что значения другой частной производной первого порядка д!„„=ф'(у) непосредственно получаются пз первого из условий (21). Таким образом, согласно начальным данным, мы будем знать вдоль линни х = х, самую функцию и ее обе частные производные первого порядка.
Нетрудно представить себе более общие данные Коши. Пусть на плоскости (х, у) имеется некоторая линия Х, не пересекающая сама себя, и положим, что вдоль этой линии нам заданы значения искомой функции и. Тем самым мы будем знать вдоль линии Х и производную от и по направлению, касательному к линии А. Для того, чтобы знать производную первого порядка по любому направлению, мы должны иметь еще одно данное вдоль липин "й, а именно пам должно быть задано вдоль лпппп Л значение производной от функции и по любому направлению, отличному от направления, касательного к >..
Имея производные по двум направлениям плЬскости (х, у) вдоль линии >!, мы будем знать и производную по любому направлению в этой плоскости вдоль Х. Таким образом, в рассматриваемом случае вдоль линии ) нам должны быть заданы значения самой функции и ес производной по любому направлению, не касательному к Х. Задание значений и вдоль линии ), плоскости (х, у) приводит нас к некоторой л>пши ! в трехмерном пространстве (х, у, и), Кроме того, нам известны вдоль Х частные. производные р и д. Таким образом, окончательно данные Коши сводятся к заданию некоторой линии ! трехмерного пространства (х, у, и) и к заданию вдоль этой линии положения касательной плоскости.
Пользуясь параметрическим представлением, мы можем изобразить эти общие данные Коши в следующем виде: заданы пять функций от одного параметра х (!), у (!), и (!), р (!), у (!), (22) ЗАДАЧА КОШИ 22! которые должны удовлетворять соотношению 2(и = р!2х+ д!2у. (23) Последнее соотношение сводится к тому требованию, чтобы задание обеих частных производных р и д вдоль Л не противоречило заданию самой функции и вдоль Л, т.
е. чтобы производная и направлении, касательном Л, вычисленная на основании данных р и д, имела бы те же самые значения, которые получаются в силу задания самой функции и вдоль Л. Пять функций (22), удовлетворяющих соотношению (23), определяют полосу в трехмерном пространстве (х, у, и), и задача Коши состоит в разыскании интегральной говерхности уравнения (20),.содержащей заданную полосу. Аналогичным образом ставится в общем случае задача Коши и для "функций от любого числа независимых переменных.
Рассмотрим, например, уравнение второго порядка с тремя незави. симыми переменными Р(хь х2, х,, и, ик„и„, и„, и„„, и,, „...) = О. (24) Начальные данные Коши сводятся в данном случае к заданию функции и и ее частных производных первого порядка на некоторой поверхности 5 трехмерного пространства (х1, «м хк). Раз заданы значения самой функции и на поверхности 5, то для определения всех ее частных производных первого порядка вдоль 5 достаточно задать вдоль 5 производную по любому направлении!, не лежащему лишь в касательной плоскости к поверхности 5.
Если поверхность 5, несущая начальные данные Коши, есть плоскость х, = х',", то мы имеем специальную форму начальных данных Коши и! !21=!р(Х2, х,); и„~ <ог=ф(Х2, хз). (26) к1-к! к! В параметрической форме указанная выше задача Коши сво. дится к заданию семи функций от двух параметров х! (Г1, Г2), х2 (Г! т2) хз (1! 12) и (11 12) и., (т„~2), ик,(~1, ~2), и., (т„т2), 3 причем должно быть выполнено условие (27) г(и = и„г(х! + и„!(Х2+ и„1(хз. Задание функций хь хм ХЗ сводится к заданию поверхности, а остальные данные — к заданию функции и и ев частиык производных первого порядка вдоль этой поверхности.
Данные (26), удовлетворяющие условию (27), называют обычно полосой эв Гл ь ОвшАя теОРия уРАВнениЙ с чАстными пРОизВОдными ат или — более точно — полосой первого порядка в четырехмерном пространстве (х1, хм х,, и), и задача Коши состоит в определе. нии интегральной поверхности уравнения (24), содержащей за. данную полосу.
В случае функции и от и независимых переменных (х1, ..., х„) полоса задается в виде (2п + 1) функций от (п — 1) параметров хА(11,..., 1„1), и(1„..., 1„1), и,А(1„..., 1„1) (й= 1, 2, ..., п), причем эти функции должны удовлетворять соотношению л йи = ~ и„А йхА. А-1 Если одной из независимых переменных является время 1, и поверхность, несущая начальные данные Коши, есть плоскость 1 = О, то мы имеем обычную задачу математической физики интегрирования данного уравнения прн заданных начальных условиях [П; !76]. Начальные данные Коши определяют функцию и и все ее частные производные первого порядка на той линии или поверхности, которая несет на себе начальные данные. Если мы к начальным данным присоединим еще само дифференциальное уравнение, то, как мы видели в [29], в случае специальных данных Коши мы сможем однозначно определять на указанной линии или поверхности и все производные второго порядка от искомой функции.
Мы будем называть данную полосу характеристической полосой, если данная полоса вместе с самим дифференциальным уравнением не приводит к однозначному определению производных второго порядка. В следующем параграфе мы выясним этот вопрос подробно для случая квазилиней. ного уравнения с двумя независимыми переменными. 34. Характеристические полосы. Будем рассматривать уравнение вида аг + 2Ьг + с!+ й = О, (28) в котором коэффициенты и свободный член суть заданные функции (х, у, и, р, о). Требуется найти интегральную поверхность этого уравнения, содержащую заданную полосу: х(1), у(1), и(1), р(1), д(1) (йи=рйх+ойу).
(29) Мы имеем, очевидно, йр = г йх + з йу; йд = з йх +! ау, и, присоединяя еще само уравнение, мы будем иметь три уравнения первой степени для определения производных второго КАРАктеРпстические пОлосы порядка от искомой функции на основной линии Х; х(1), у(1), несущей на себе данные Коши: с1х ° г+ с(у ° а=г(р, Нх ° з + ау ° ! = с(а, аг+ 2Ьз+ с! = — Ь.
(30) В этой системе г, з, ! являются искомыми, а все остальные величины, в силу (29), суть известные функции параметра й Если определитель написанной сисгемы отличен от нуля, то мы псьлучаем определенные значения для производных второго порядка. Таким образом, необходимым и достаточным условием несовместимости или неопределенности задачи разыскания производных второго порядка являегся равенство ~ Р'х, НУ, О А=~о, а, ау =О, а, еь, с (31) или, в раскрытом виде а г(уз — 2Ь с(х ду + с с(хе = О. (32) Найдем второе условие, которое бы гарантировало нам, что задача именно неопределенна, т. е.
которое гарантировало бы нам, что система уравнений (31) имеет бесконечное множество решений. Будем считать, что один из миноров второго порядка определителя" (3!) отличен от нуля. Для определенности положим, что ,« ~= — ас(у чь О. В данном случае система (30) будет иметь один характеристический определитель [!!1~, 9], и для того, чтобы она была неопределенной, необходимо и достаточно к условию (31) добавить еще равенство нулю этого характеристического определи- теля ]1ПБ 9]: Й ау =О, или, в раскрытом виде: а г(р ~(у + Ь с(х Ну + с г(х с(а = О. (33) Вспоминая еще равенство (23), мы получаем окончательно следующие три равенства, которые вполне характеризуют характеристическую полосу, как такую полосу, вдоль которой определение производных второго порядка из системы (30) приводит 1ОО ГЛ 1 ГШПАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ Пз к бесчисленному множеству ответов: аг(у' — 2Ь г(хну+ сох'=О, а др Ну + Ь дх с(у + с г(х г(а = О, г(и = рг(х+ дну.
Разберем отдельно случай специальных данных Коши: и~„„,=т(у): р!„„,=ф(у). (35) (34) и для того, чтобы она была неопределенной, необходимо и достаточно, чтобы третье из написанных уравнений было следствием первых двух. Умножая это уравнение нэ с~у и принимая во внимание первые два уравнения, мы приходим к следующему условию. 2Ь др + с г(а = — Ь г(у, которое заменяет в этом случае условие (33). Окончательно, для специальных данных Коши (35) мы будем иметь следующие условия, определяющие характеристическую полосу: а = 0; 2Ь г(р + с г(у = — Ь г(у; ди = д г(у. (36) Условие а = 0 показывает, что из уравнения (28) нельзя найти и . Второе условие: 2Ь вЂ” +с — +Ь=О, РР ла ад означает, что заданные на прямой х = ха величины р и д таковы, что удовлетворяется уравнение (28), ибо на упомянутой прямой з = — Р и г= —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
