1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 24
Текст из файла (страница 24)
е. левая часть уравнения (53) отлична от нуля вдоль всей поверхности, то нз сказанного вьнне следует, что, совершая 5амену переменных (5!), мы можем переписать уравнение (48) в виде и =~р (х'... „х'„); и„.=-~р,(х,,', ..., х„') при и = ~,' (й=2, ..., и). дкл х',= О, Если 5 есть характеристическая поверхность, то в преобразован- ном уравнении а,',=О при х,'=О, н мы имеем уравнение ) а'„и„.;+ ~., а,',и,, + ...
=О, причем поверхность 5 переходит в плоскость х1 = О. Это дает возможность преобразовазь задачу Коши при начальных данных на упомянутой поверхности в задачу Коши с начальными данными на плоскости х1 = О. Если уравнение (48) имеет аналитический характер — например оно линейно и с аналитическими коэффициентами, поверхность 5 нехарактернстическая и гэ~— аналитическая функция, то преобразованная задача Коши может быть, при надлежащих условиях, решена согласно теореме Ковалевской. Если поверхность 5 есть характеристическая, то функция и и ее частные производные первого порядка должны быть связаны на ней некоторым соотношением. Действительно, и н ее частные производные на 5 выражаются через такие же величины на плоскости х(= О и наоборот.
Пусть вихАРАктвгистики пз 4п где ненаписанные члены содержат лишь производные первого порядка. Таким образом получается связь между функциями ~рэ и в1. дк~ дкк дкг Это соотношение не приводится, вообще говоря, к тождеству от. носительно <ро и В. Положим теперь, что коэффициенты аам зависят не только от х„но и от и и и„, Начальные данные Коши на (и — 1)-мерном многообразии (50) зависят от (п — 1) параметров. Будем считать, что этими параметрами являются хм ..., х„. Подставляя эти выражения начальных данных в коэффициенты'агм мы по.
прежнему будем иметь уравнение (53), которое должно быть выполнено в силу (50), и можем решить, является ли поверх. ность в~ = 0 характеристической при заданных начальных данных. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением лишь того случая, когда коэффициенты а„зависят только от х,. Заметим, что если уравнение (48) принадлежит эллиптическому типу, то уравнение (53), как и в случае двух независимых переменных, не может иметь вещественных решений, кроме в| — — сопз1.
Последнее решение, очевидно, не представляет интереса для нашей задачи. 41. Бихарактеристики. Уравнение (53) должно быть выполнено в силу (50). Потребуем, чтобы это уравнение выполнялось тождественно относительно х,. При этом уравнение (53) будет представлять собою обычное дифференциальное уравнение с частными производными первого порядка, и всякое его решение, оъпичное от постоянной, будет давать не одну характеристику, а целое семейство характеристик: в1(хь ..., х„)=С, (54) где С вЂ” произвольная постоянная.
Наоборот, для того, чтобы последнее уравнение определяло семейство характеристик при произвольном постоянном С, необходимо и достаточно, чтобы функция в~ удовлетворяла уравнению (53). Совершенно так же, как и выше [2[, можно показать, что всякую характеристику можно включить в семейство вида (54) и что таким образом решения уравнения (53) дадут нам все характеристики. В уравнениях математической физики одна из независимых переменных, а именно время, играет исключительную роль по сравнению с остальными переменными, которые обычно дают пространственные координаты.
В дальнейшем мы будем считать, !!4 ГЛ. !. ОБШАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ !4! агл дх д — 2 ~~ а,л д, +алл= О. (55) до да да !. А-! хх ! ! ! Это уравнение должно быть выполнено, строго говоря, в силу ! = !л. Но оно вовсе не содержит буквы 1, и, следовательно, мы можем утверждать, что оно должно быть выполнено тождественно. Возвращаясь к общему случаю, рассмотрим уравнение (53) и напишем соответствующую этому уравнению первого пол рядка систему Коши. Уравнение (53) не содержит самой функции га!, и поэтому в соответствующей системе Коши мы не будем выписывать того отношения, которое содержит !(а!.
Таким образом, мы получим следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений: л дхА — — 2 ~ ах!р!! (56!) (Й=1, 2, ..., и) л дРА Ч-~ да ! — Рьрр Л.г дх, (56З) где з — некоторый вспомогательный параметр. Возьмем некото. рое семейство характеристических гнперповерхностей га!(х„... ..., х„) = С и положим р, — —. Прн этом р; выразятся через дв! (х„..., х„), и, подставляя эти,выражения в правые части урав. пения (56!), получим систему первого порядка для (хь ..., хл)'.
Если взять какое-нибудь решение этой системы и подставить в упомянутые выше выражения РА через (х!, ..., х„) то нетрудно проверить, что полученные функции будут удовлетт!Орять урав. пениям (56!). Действительно, что такой исключительной независимой переменной является псременная х„, и будем обозначать х = й Для остальных пере. менных мы введем обозначение хь ..., х, т, е.
будем считать и = пг+!. Напишем уравнение поверхности (50) в разрешенном отно. сительно ! виде: ! — !В(х!, ...х ) = О и будем считать, что коэффициенты ам не зависят от й Подставляя левую часть уравнения ! — га = О в уравнение (53), мы получим следующее'уравнение для функции ен вихАРАктаРистики Заменим в уравнении (53) значок й на ) и продифференцируем обе части по хл! л л л РР + ~ ацдх Р+ Р аир, дх = — О.
1,! 1 г,1-! с, 1-! В силу ао = а,! последние две суммы равны между собой, и, пользуясь последним тождеством, мы можем переписать формулу (57) в виде с1рь ~-~ дл!! дх ~ дх Р'Р! !,/ ! А что и совпадает с уравнением (56!). Заметим, что равенство (54) представляет собою прн этом интеграл системы (56!).
Действительно, Ва! чл да, дхь ~-, да, да, дх Л~ дх дх Л.ю дх, дх А-! 1, А-! н последняя сумма равна тождественно нулю, в силу (53). Те линии пространства Йл с координатами (х!, ..., х„), которые получаются в результате интегрирования системы (56!), в котода~ рой положено р!= —, называются бикарактеристиками, соответствующими системе а! = С характеристических поверхностей. Если при интегрировании системы (56!) за начальные значения х, мы возьмем точку, лежащую на некоторой гиперповерхности а! = Са то вся соответствующая бихарактеристика будет лежать на упомянутой гиперповерхностн, т.
е. всякая характеристическая поверхность уравнения (48) может быть образована бихарактеристиками. Укажем теперь те условия, при которых решения системы (56!), (56!) образуют характеристическую гиперповерхность. Поверхность (54).представляет собою (и — 1)- мерное многообразие в йл.
В уравнение бихарактеристики вхо' дит параметр з, и, следовательно, для образования характеристической гиперповерхности (54) надо взять семейство бихарактеристик, зависящее от (и — 2) параметров. Будем считать, что начальные значения х'„" и р!а переменных, входящих в систему (56!), (56г), зависят от (и — 2) параметров (ь ..., („ь Повторяя рассуждения из [8], нетрудно убедиться в том, что для того чтобы полученное семейство бпхарактеристик давало характеристическую гиперповерхность, необходимо и достаточно. 116 гл ь овш»я твош1я тг»внвннп с ч»стными пвоизводнымп кч (59) ил» вЂ” Х а,»и„,»»+ ...
=О, ь»-» (60) чтобы указанные выше начальные значения удовлетворяли еле. дующим соотношениям [12[: а<вренфв 0 м !» Х охай Ф" — = 0 0 = 1„..., п — 2) г где аЯ вЂ” результат подстановки х,=х!Я в выражения аьв При этом предполагаем, что по крайней мере один из функцнональ. ных определителей порядка (и — !) от переменных (хь ..., х„)' по (з, Гь ..., 1 з) отличен от нуля. Все высказанные результаты вытекают непосредственно нз метода Коши мнтегрнрования уравнения первого порядка [12[. Несущественным осложнением в данном случае является тот факт, что уравнение интегральной поверхности ищется в неявной форме ь»~(х„..., х„) = С и, в связи с этим, система Коши (56) не содержит самой функции ь»ь Основную роль в математической физике играет особая инте.
гральная поверхность уравнения (53), а именно, так называе. мый характеристический коноид этого уравнения. Эта характеристическая поверхность получится указанным выше методом, если мы будем считать х'" фиксированными, т, е. независящими от параметров (вершина коноида), и подчиним р" условию (58). Отметим, что из этого уравнения и величин р'~' опреде. ляются как функции (и — 1) параметров. В силу однородности уравнения (58), один из параметров входит множителем в р!»ь~, Но нетрудно проверить, что уравнения (56~) и (56») не меня- 1 ются, если заменим з на — з и р» на с»р», где а не зависит от з. Таким образом параметр, входящий множителем при р<", яв.
ляется излишним, так как он все равно войдет через з. Поэтому одну из величин р!в мы можем считать, например, равной единице. . Если коэффициенты а,» суть постоянные, то уравнения (56»)' показывают, что р» должны быть постоянными, а из уравнений (561) мы видим, что х» будут полиномами первой степени от з, т. е, если ас» — постоянные, то бихарактеристики суть прямые линии в Й". Рассмотрим один важный частный случай. Введем указанное выше обозначение х» = 1 и будем рассматривать уравнение спе. циального вида !!7 вихАРАктеРистики «и где и! = и — 1, и коэффициенты, а,» не содержат 1, т. е.
зависят только от (хь ..., х ). Будем считать, что квадратичная'форма т а!«еД» . «, »-! определенно положительна при всех значениях В,. Уравнение (53) в данном случае будет иметь вид «, »-! Будем искать характеристическую гиперповерхность в виде, ре. щенном относительно г: «а(х„..., х ) — 7=0 или 7=«а(х«, ..., х ). (61) При этом ра — — — — — — 1, и для функции а«мы получаем уравдач О д! пение первого порядка «« ама!» а«»» = 1 (62) «, »-! амр«р» = 1.
.«,»-! (63) Соответствующая этому уравнению система Коши будет Ы»» ш др» да! 2 ~~~!~ а„р 2 ) а! р!р !у' «! ! ! «, »-! «,! ! Если мы возьмем некоторую конкретную характеристическую гиперповерхность (6!), то из (63) и последней системы следует, что образующие ее бихарактеристики должны удовлетворять следующей системе: !гх х ~ а! — «=~ амр! (р«=а«») (7»=1, ..., л!). ! (64) Мы можем рассматривать поверхность (61) не как неподвижную поверхность в и-мерном пространстве )т„с координатами (х!, ..., х, !), а как поверхность, движущуюся с течением времени в и«-мерном пространстве «т с координатами (х!...,, х ), Прн этом решения системы (64) мы будем рассматривать, как линии Х в пространстве )г", определяемые параметрически при помощи параметра ! (время).
При этом, конечно, в пространстве 113 ГЛ. 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 142 Л" линия Х не будет уже находиться на движущейся поверхности (61). Если, например„ в пространстве В! с координатами (хс, х1,1) мы имели конус х'+ х' — с'!' = О, 1 то на плоскости (хь х!) мы должны его рассматривать как окружность с центром в начале и с переменным радиусом сй Если прямолинейные образующие этого конуса были бихарактеристиками, то линии Х в плоскости (хь хс) представляют собою пучок прямых, выходящих из начала. Приведенный пример, как мы увидим дальше, соответствует тому случаю, когда данное уравнение есть волновое уравнение и„— с'(и„„, + и„„,) = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
