1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Исключение представляет лишь точка х =хм у = О, в которой построенная функция имеет особенность. Непосредственным дифференцированием (40!) убеждаемся в том, что построенная функция удовлетворяет уравнению (39). Во всякой точке прямой х = ха построенная функция уже не будет, конечно, аналитической, регулярной функцией от х, ибо слева От этой прямой она тождественно равна нулю, а справа отлична от нуля.
Таким образом, построенная функция не. представима рядом Тейлора по целым положительным степеням (х — ха). Решение (40,) постоянным множителем отличается от решения, дающего элементарный источник тепла [11; 214]. 36. Вещественные и мнимые характеристики. Поскольку коэффициенты уравнения (28) могут зависеть не только от х и у, но и от и, р, д, мы можем определить тип уравнения, лишь фиксируя некоторую точку в пятимерном пространстве (х, и, и, р, д). При этом, если Ьа — ас ) О, то мы имеем гиперболический тип, если Ь' — ас С О, то эллиптический, и если Ь' — ас = О, то — параболический. Пусть нам задана иекоторая полоса (29), которую мы считаем вещественной. Если вдоль этой полосы наше уравнение принадлежит эллиптическому типу, то выраже.
, ние, стоящее в левой части условия (32), не может обращаться в нуль и, следовательно, никакая вещественная полоса не может быть характеристической полосой. В дальнейшем мы будем рас. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ И МНИМЫЕ ХЛРАКТЕЛЧСТИКИ Вб1 105 сматривать только гиперболический тип. Уравнение (32) представляет собою квадратное уравнение относительно .. В слу- Р'У их чае гиперболического типа оно имеет два вещественных различных корня, которые мы обозначим через 1т1(х, у, и, р, д) и 1тт(х, у, и, р, а), так что упомянутое выше уравнение распадается на два, с(у = 1тн(х(1=1, 2).
Мы можем таким образом вместо уравнений (34) написать две системы уравнений: г1у — гг, г(х = О, а1т; с(р + Ь1т, с(х + с йд = О, (1 = 1„2) (411 с(и = р с(х + д с(у, которым соответствуют две системы характеристик. Особенно просто обстоит дело в том случае, когда в уравнении (28) стоящие при производных второго порядка коэффициенты а, Ь и с зависят только от независимых переменных (х, у). При этом основное уравнение (32) превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка с переменными х и у: а(х, у)дут — 2Ь(х, у)ахг(у+ с(х, у) г(х'=О. В гиперболическом случае оно определяет на плоскости (х, у) два семейства линий, которые называются обычно характеристическими линиями или характеристиками уравнения (28).
Характерное свойство всякой характеристической линии состоит в том, что если мы зададим вдоль такой линии некоторые данные Коши, т. е. функцию и и ее производные первого порядка, то полученная таким образом полоса или приведет к несовместной системе (30) для производных второго порядка, или же окажется характеристической полосой. Для всякой линии, отличной от характеристики, любые данные Коши приведут к определенным значениям производных второго и следующих порядков. В эллиптическом случае уравнение (32) будет иметь мнимые корни для —, и мы не будем иметь характеристических линий ду их ' на плоскости (х, у)..Если мы перейдем к комплексным значениям переменных (х, у), то сможем получить из уравнения (32) мнимые характеристики.
При этом, конечно, все функции считаются аналитическими. Наконец, в параболическом случае уравнение (32) даст нам на плоскости (х, у) одно семейство характеристик. Обращаясь к результатам (32), мы видим, что при приведении уравнения к канонической форме мы выбирали за координатные линии иа плоскости (х, у) семейство характеристических линий. 1бб гл 1.
Овшкя теОРия уРАВнений с чАстными пРОизВОдиыми .1зт 37. Основные теоремы. Характеристическое многообразие совершенно так же, как и в случае уравнения первого порядка, играет основную роль при интегрировании уравнения. Р4ы имеем здесь основные теоремы, аналогичные тем, которые имели место и для уравнений перв(это порядка. Положим, что две интегральные поверхности уравнения (28) имеют вдоль некоторой линии ! пространства (х, у, и) касание конечного порядка, т. е. вдоль этой линии интегральные поверхности имеюг общую касательную плоскость, но некоторые производные выше первого порядка оказываются для этих интегральных поверхностей на этой линии различными. Нетрудно видеть, что эта линия вместе с касательной плоскостью вдоль нее должна представлять собою характеристическую полосу. Действительно, если бы это было не так, то из рассуждений (35) следует, что мы получили бы вдоль 1 совершенно определенцые значения для производных всех порядков.
Таким образом, мы имеем следующую теорему: Т е о р е м а 1. Если две интегральные поверхности имеют вдоль линии 1 касание конечного порядка, то эта линия вместе с соответствующей касательной плоскостью представляет собою характеристическую полосу. Основным свойством характеристической полосы является тот факт, что вдоль этой полосы уравнение приводит к неопределенной системе (30) при разыскании производных второго порядка.
Это свойство не зависит, конечно, от выбора независимых, переменных, и мы получаем, таким образом, следующую теорему: Т е о р е м а 2. При любой обратимой и гладкой замене переменных х, у характеристические полосы переходят в характеристические полосьи Пусть имеется некоторая интегральная поверхность 5 уравнения (28). На этой поверхности и, р, а суть определенные функции независимых переменных (х, у). Подставляя в коэффициенты уравнения (28) вместо и, р, д их выражение через (х, у), мы получим для этих коэффициентов определенные выражения через (х, у), и уравнение (32) будет представлять собою дифференциальное уравнение первого порядка, определяющее две системы линий на поверхности 5. Вдоль каждой из этих линий 1 будут выполнены уравнение (23) и уравнение (32), и нетрудно видеть, что вдоль такой линни должно быть выполнено и второе из уравнений (34). Действительно, если бы оно не было выполнено, то мы имели бы несовместную систему для определения производных второго порядка, а это противоречит тому факту, что полоса, определенная линией 1 н касательной плоскостью интегральной поверхности 5, находится на интегральной поверх- ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ 371 107 ности 5.
Мы получили, таким образом, следующую, третью, теорему: Т е о р е м а 3. Всякую интегральную поверхность можно покрыть семейством характеристических полос. Отметим, что этот результат, если оставаться в вещественной области, имеет место только в гиперболическом илн параболическом случаях, причем в гиперболическом случае мы можем покрыть интегральную поверхность двумя семействами характеристических полос. Докажем теперь обратную теорему, а именно следующую, четвертую, теорему: Т е о р е м а 4.
Если некоторое семейство характеристических полос образует поверхность 5: и = и(х, у), где и(х, у) имеет непрерывные производные до второго порядка, то эта поверхность есть интегральная поверхность уравнения (28). Пусть имеется поверхность 5, покрытая семейством полос, вдоль которых выполнены уравнения (34). Вдоль каждой из этих полос мы имеем др =- г дх + з ду; ду = з дх + 1 г(у. Подставляя эти выражения др н Ио во второе из уравнений (34), мы придем к следующим двум уравнениям: аз с(уз + (аг + сг + 6) дх ду + сз г(хз = О, а дуг — 2Ь дх с1у + с ах' = О. Умножая второе на з и вычитая из первого, мы и придем к ос.
новному уравнению (28), причем надо принять во внимание, что произведение с(х ду отлично от нуля, так как х и у в независимые переменные. В случае уравнения первого порядка мы имели для характеристических полос обычную систему обыкновенных дифферен. циальных уравнений, н, благодаря этому, задача интегрирования уравнения с частными производными первого порядка привелась к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений. В настоящем случае система (34) представляет собою систему трех уравнений (в полных дифференциалах) для пяти искомых функций.
В работе Леви (Ма()1. Апп., 1927, 97) показано, каким образом можно систему (34) расширить так, чтобы получилась система пяти дифференциальных уравнений первого порядка с пятью неизвестными функциями — система, имеющая специальную форму. Для этой системы строится определенным образом решение задачи Коши, что приводит к решению задачи' Коши и для уравнения (28). В следующем параграфе мы разберем частные случаи, когда система (34) имеет интеграл. 168 Гл !. ОБШАя теОРия уРАВнении с чАстными пРОизВОдными !зз 38.
Промевсуточиые интегралы. Для удобства дальнейших вычислений преобразуем уравнения (41), определяющие характеристические полосы, к новому виду. Вспоминаи основное свойство корней квадратного уравнении, мы с можем написать р,рз — — —, и, пользуясь этим равенством, мы можем пере. писать систему (41) при ! = 1 в виде А ду — р, ух=О; бр+ узду+ — ух=О; с(и — (р+ будде=О.
а (42) Вторая система (при !' = 2) получится из написанной перестановкой букв р! и рт Будем искать такую функцию У(х, у, и, р, д), полный дифференциал которой равен нулю в силу уравнений (42): УХ дя + 1 Е С!у + Уи ди + 1 Р др + " Е ду О. (43) Определяя ду, ди и др из системы (42) и подставляя в левую часть последнего уравнения, мы должны будем приравнять нулю коэффициенты при оставшихся дифференциалах дх и дф Таким образом, оказывается, что для тоге, чтобы функция У была интегралом системы (42): У(х, у, и, р, 4) =С, (44) необходимо и достаточно, чтобы функция У удовлетворяла лвум линейным олнородным уравнениям с частными производными первого порядка: А 1гх+ )згУР+ (р+ р,у) 1'„— — Ур О, Уе — рз я=О.
(45) дУ= а(ду — уо дх) + [! (бр+ рг йу+ — дх) + у(ди — р де — аиду). (46) Ь а Пусть имеется некоторая интегральная поверхность 8 уравнения (44). На этой поверхности и, р, д являются определенными функциями (х, у), и, интегрируя уравнение первого парадна ду — Ыгс(х = О, мы получим некоторое се. мейство линий, покрывающих поверхность 8. Кроме того, вдоль этик линий мы должны, очевидно, иметь г(и рдх+ Оду. Принимая во внимание, что в силу только что сказанного, сомножителя при а и у в формуле (46) вдоль наших линий равны нулю, мы получим вдоль этих линий, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
