1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Третье условие дает очевидную форде дд лу ' мулу: 35. Производные высших порядков. В предыдущем параграфе мы рассмотрели вопрос об определении производных второго порядка на заданной полосе. Перейдем тсперь к определению производных высших порядков. Положим, что мы имеем дело с тем случаем, когда определитель (31) отличен от нуля. Возьмем В данном случае в формулах (29) роль параметра ~ играет - переменная у, и переменная х сохраняет постоянное значение х = хь Условие (32) приводит нас к равенству а = 0 Отметим, что зто равенство должно выполняться не тождественно, а после подстановки в функцию а начальных данных (35), Система (30) будет при этом иметь вид: зау=г(р; ГЫу=г(д; 25а+СГ= — Ь. пгоизводные высших погядков го( полный дифференциал от первых двух из уравнений (30) и про.
дифференцируем заданное уравнение (28) по х н по у. Таким образом мы будем иметь четыре уравнения первой степени для определения четырех производных третьего порядка от искомой функции и на заданной полосе: (с(х)' иххх + 2 с(х с(у ихху + (с(у)'лхас — — ..., ' (с(х)'ихху+ 2 Нх Нуихсс -(- (с(у)хаусу = ..., аи„„,+2Ьи„,„+си„„„= ..., аи„у + 2Ь и„„„-'; си„„„= ... Определитель этой системы имеет вид (уу)', о 2 ах ау, (ау)с с, о 2Ь. с (ах)с, 2 ах ау, О, (ух)с, а. 2Ь, о, а, Можно показать, что этот определитель равен квадрату определителя (31), т. е. тоже отличен от нуля.
Действительно, обозначая через у какой-нибудь корень уравнения а+ 2Ьу+ сух=О, (37) прибавим к элементам первого столбца определителя Ь~ элементы второго столбца, умноженные на у, третьего столбца, умноженные на у', и четвертого столбца, умноженные на у'. Элементы первого столбца при этом окажутся следующими[ (Ых+уЫу)', у(Ых+уау)', О, О, откуда видно, что Ьь являющийся однородным полиномом чет. вертой степени относительно дх и Ну, делится на (с(х + ус(у)'. Коэффициент при (с(х)' в выражении Ь| равен сх и, если мы обозначим через тч и ух корни уравнения (37), то можем написатги Ь, = сх (ах + у, с(у)х (Ых + у, ~(у)х, или, принимая во внимание свойство норней квадратного урав.
пения: Ь| — — (с Нх' — 2Ь ах Ыу + а с(у')' = Ь' При доказательстве мы предполагали, что уравнение (37) имеет различные корни. Но если равенство Ь| = Ьз справедливо при таком предположении, то оно будет справедлнво н в том случае, когда уравнение (37) имеет равные корни. Чтобы убедиться в этом, достаточно ресколько изменить коэффициенты а, Ь, с так, чтобы уравнение (37) имело различные корни, и затем в равенстве Ь~ = Ь' перейти к пределу, устремляя изыененные значения щэ гл. ь ОВШАя теОРия РРАВнении с чхстными НРОизводиыми яв коэффициентов к их исходным значениям, при которых уравнение (37) имеет равные корни. Совершенно так же мы можем получить пять уравнений первой степени для определения пяти производных четвертого порядка, и определитель этой системы также окажется отличным от нуля н т.
д. Предположим, что соответствуюшие функ. ции будут аналитическими и регулярными. Таким образом, так же, как и в случае специальных данных Коши и уравнения, разрешенного относительно «[29], мы можем и в более обшем слу. чае, предполагая определитель Л отличным от нуля, вычислять на заданной полосе производные всех порядков. Составив соот. ветствуюгций ряд Тэйлора, мы могли бы доказать, как и в [28), его сходимость. Переходим теперь к тому случаю, когда данная полоса оказывается характеристической полосой. Мы ограничимся при этом только рассмотрением специальных начальных данных Коши (35). Сами эти начальйые данные дают нам з и г при х = х,, и остается определить только «.
Но при подстановке по. лученных начальных данных в уравнение (28), мы, в силу (36), получаем тождество, и производная «при к=ха на первый взгляд остается совершенно неопределенной. Продифференцируем обе части уравнения (28) по Ах а«, + 2Ьз„+ с1„+ (а + а„р + а «+ а„з) «+ (... ) з + +(...) С+ (...) = О, (38) причем в круглых скобках с точками стоят выражения, совершенно аналогичные тому выражению, которое стоит в скобке, содержашей производные от а. Если мы в написанное уравнение подставим начальные данные (35) и уже известные производные второго порядка: з[„=ф'(р)) ([„„,='р" (р) то, обозначая «[„, =е(у), мы получим для искомой функции ы(у), как нетрудно проверить, уравнение Риккатти, т.
е. уравнение вида а(у) ы'(у)+ р(у) в~(у) + у (у) а(у) + Ь(у) = О, где а, 5, у и 6 — известные функции от у. Если мы возьмем какое-нибудь решение этого уравнения, то тем самывг будем знать « при х = хм а следовательно, будем знать и все производные третьего порядка при х = хо, кроме и, . Для определения на. чального значения этой производной мы должны проднфферен.
цировать уравнение (38) по х и внести в полученное таким об. разом уравнение все уже вычисленные начальные данные. Та. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 1ОЗ ким образом, мы придем для искомой функции и„„„)„„,=в~(у) к линейному дифференциальному уравнению: а, (у) в1 (у) + р, (у) в, (у) + у, (у) =- О.
Этот процесс может продолжаться и дальше. При интегрировании упомянутого выше уравнения Риккатти и последующих линейных уравнений вводятся все новые и новые произвольные постоянные, но вся трудность задачи заключается в том, чзобы подобрать значения этих постоянных так, чтобы полученный ряд Тейлора был сходящимся. Можно доказать, на чем мы не останавливаемся, что для уравнения гиперболического типа это может быть сделано бесчисленным множеством способов, т. е. через характеристическую полосу действительно проходит бесчисленное множество интегральных поверхностей. Условия (36) или, в более общем случае, (34) представляют собою, таким образом, необходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять начальные данные для того, чтобы существовали интегральные поверхности, содержащие данную дарактеристическую полосу.
В качестве примера рассмотрим простейшее уравнение второго порядка параболического типа: г — и,=О, т. е. и„=и„. (39) В данном случае а = Ь = О, с = — 1, и уравнение (32) 'дает йх= О, т. е. х = сопз1. Вдоль всякой линии х = х, мы должны иметь некоторую особенность при попытке решения задачи Коши. Положим, что мы имеем специальные данные Коши (35). Полагая в уравнения (39) х = хв получим ф (у) = ~" (у), откуда мы видим, что функция ф(у) вполне определяется заданием функции гр(у). Это соответствует необходимости выполнения второ~о из условий (36). Таким образом, в данном случае достаточно задавать лишь первое из условий (35).
Дифференцируя уравнение (39) по х и полагая х = х„мы вполне определяем начальное значение: г)„„; =~"~>(у). Имея это начальное значение, дифференцируя (39) два раза по х и полагая х = хв мы получим начальное значение при х = х, производной третьего порядка по х и т. д. В данном случае начальные значения производных по х определяются единственным образом, а упомянутые выше дифференциальные уравнения вырождаются в конечные соотношения. Определив начальные значения производных всех порядков по х при х = хв мы можем построить соответствующий ряд Тэйлора.
Оказывается, что он будет сходящимся в окрестности х=хэ только в том случае, если ~р(у) есть целая функция, удовлетворяющая некоторому ю4 гл ! Овшхя теОРия уРАВиш!ил с чАстиыми ПРОиэводиыми 1аа дополнительному условию Напомним, что при рассмотрении задачи распространения тепла в неограниченном стержне [11; 214]' мы построили решение уравнения (39), удовлетворяющее первому из условий (35), в виде определенного интеграла. Г1ри этом, конечно, не надо было предполагать, что !р(у) есть целая функция.
Для перехода к прежним обозначениям из [!1; 214] надо в уравнении (39) заменить х на ! и у на х, и в уравнении из [Н; 214] считать а' = 1. Если мы положим гр(у) = О, получим, очевидно, решение уравнения (39), равное тождественно нулю. Пока!кем, что существует еще элементарное решение уравнения (39), удовлетворяющее с исключением точки у = О, х = х, тому же начальному условию и [, „= О. Положим, что У2 1 и= е 4'х '"! при х > хо, (40,) ~!х — х и =-0 при х(хм (4 0,) Функция (40,) и все ее производные стремятся к нулю при стремлении х к х, (от больших значений), т. с, функция, определяемая формулами (40!) и (404), и все ее производные будут сохранять непрерывность при переходе через прямую х = х„а на самой этой прямой функция и и все ее производные обращаются в нуль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
