1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Обо. значим ф (О) = ио' ф (0) = ро ф'(0) = до: ф (0) = зо' ф (0) = (о и положим, что правая часть уравнения (220) есть регулярная функция в точке х=у=-0; и=-ио'» р=ро' у=да' з=зз' 1=1о При этом уравнение (220) имеет единственное регулярное реше. ние, удовлетворяющее условиям Коши (221). Мы не будем проводить доказательства этого утверждения, которое аналогично предыдущему доказательству, и ограничимся лишь указанием на возможность однозначного вычисления коэффициентов Маклорена искомого решения. Начальные условия (22!) дают нам непосредственно значение производных при любых неотрицательных значениях к, т. е. начальные условия дают нам начальное значение самой функции и тех ее производных, в которых дифференцирование по х совершается не больше одного раза.
Само уравнение даст нам после этого (В),. Дифференцируя обе части уравнения (220) несколько раз по у, мы получим значения Дифференцируя обе части уравнения (220) по х и пользуясь полученным уравнением совершенно так же, как это мы делали только что с исходным уравнением (220), мы будем иметь значения ( дхз ду~ )ю 87 ТИПЫ УРАВНЕНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА Продолжая так и дальше, мы получим вполне однозначно все коэффициенты Маклорена искомой функции. Формулируем теперь теорему Ковалевской в самом общем случае для систем уравнений любого порядка. Пусть имеется система т уравнений относительно искомых функций иь ..., и„ от независимых переменных хь ..., х, "А г д и ( ди, — =~и~хи иь, (В=1, ..., т). (222) дх~х дх~' ...
дх„"l Правые части этих уравнений содержат независимые переменные х„фУнкции и» и их пРоизводные до поРЯдка Гм пРичем в д *и„ эти правые части не должны входить производные —,", отнодх~х сительно которых система разрешена. Начальные данные Коши имеют при этом вид », ю (223) дх и ию (»А - ю) 1 ю =~У» (хм ° ° з х ) 1»,-ю (3=1, „т). $2. УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 30.
Типы уравнений второго порядка. Изложение общей теории уравнений высших порядков мы начнем с исследования линейных уравнений второго порядка. Пусть имеется линейное уравнение второго порядка для функции и независимых Функции, стоящие в правых частях последних равенств, мы считаем регулярными при нулевых значениях аргументов. Вычислим с помощью этих функций значения всех функций, входягцих в функции 1»(...) (й = 1, ...,)и),в точке х= (О, ..., 0).
Предположим, что функции 7»(...) (й = 1, ..., т) регулярны в окрестности этих вычисленных значений их аргументов. При выполнении всех перечисленных условий имеет место теорема существования и единственности регулярного решения системы (222) прн начальных условиях (223). Заметим, что можно построить всю теорию дифференциальных уравнений с частными производными, ограничиваясь рассмотрением одних аналитических функций. В дальнейшем при рассмотрении уравнений высших порядков мы выясним недостаточность такой точки зрения. зз гл» овщ»я твовия эв»внсцнп с члст»1ь1ми пяоизводными 1»о переменных хь ..., хы аг» (х) и„,„+ ~ Ь» (х) и, + с (х) и О. Коэффициенты а,» мы считаем заданными функциями независимых переменных х, и можем, очевидно, считать, принимая во внимание независимость результата дифференцирования от порядка, что а»~ аьв Все функции и независимые переменные мы считаем вещественными. В основе общей теории лежит разделение уравнений на типы.
Для уравнений, принадлежащих к различным типам, совершенно иначе ставятся основные задачи, употребляются различные приемы решения задач, и функции, удовлетворяющие уравнениям различных типов, обладают различными аналитическими свойствами. В настоящем параграфе мы дадим определения основных типов для уравнений вида (1). Для этого составим квадратичную форму от вспомогательных переменных $.: (2) а,ДД». ь»-1 Придавая переменным х, определенные значения х, = х',»~, мы будем иметь квадратичную форму с численными коэффициентами.
Если эта форма оказывается определенно положительной или определенно отрицательной [11111 35), то говорят, что уравнение (1) в упомянутой точке х,= хв~ принадлежит эллиптическому типу, Далее, мы будем говорить, что уравнение принадлежит к эллиптическому типу в некоторой области 0 пространства (хь ..., х„), если во всех точках этой области оно принадлежит эллиптическому типу. Принадлежность к эллиптическому типу характеризуется тем, что в каждой точке области 0 квадратичная форма (2) при приведении ее к сумме квадратов имеет все коэффициенты одного и того же знака, причем ни один из этих коэффициентов не должен равняться нулю.
Далее, мы говорим, что уравнение (1) в области 0 принадлежит гиперболическо»чу типу, если квадратичная форма (2) при приведении ее к сумме квадратов имеет все коэффициенты, кроме одного, определенного знака, а оставшийся один коэффициент в противоположного знака. Если среди упомянутых коэффициентов нет равных нулю, и мы не имеем ни эллиптического, ни гиперболического типа, то иногда говорят, что уравнение принадлежит ульграгиперболическому типу. Если коэффициенты а,» постоянные, то принадлежность уравнения к тому или иному типу не зависит от значений независимых переменных.
Простейшим уравнением эллиптического типа является уравнение Лап- типы эглвпепип втогого погядкл 89 ласа( уравнением гиперболического типа является волновое уравнение. Принято, наконец, выделять из уравнений общего вида (1) еще один класс уравнений, называемых иарабо >инес>сими. Эти уравнения определяются не только коэффициентами а„(х) при старших членах, но и коэффициентами Ь,(х) при производных и„г Для них квадратичная форма (2) после приведения ее к сумме квадратов должна иметь один коэффициент равным нулю, а остальные — одного знака. Как будет показано в следующем пункте, невырождеиной линейной заменой независимых перемен- ных уравнение (1) в фиксированной точке х = х'о> может быть приведено к виду л л (хсо>) ио е + Х Ь! (хсо>) ие + е (хо) и = О. ! о>е, Условие параболичности уравнения (!) в точке хс'> состоит в том, что после такого приведения одно из Х,(хсо>) (пусть для определенности Х„(хсо>)) равно нулю, остальные все положи.
тельны или все отрицательны, а коэффициент Ь',(хсо>), стоящий при производной и,„, отличен от нуля. Простейшим представи« телем параболических уравнений является уравнение теплопро. водности л †! Х ил,х! ихл = О. 1-! Переменные х„! = 1, 2, ..., п — 1, в нем обычно называют пространственными, а переменную х — временем. Определенные нами классы (типы) уравнений не охватывают всех уравнений вида (!), Действительно, среди последних имеются такие, для которых несколько коэффициентов л,(хсо>) обращаются в нуль. Если при этом соответствующие пм К(хсо>) пе обращаются в нуль, то иногда говорят, что уравнение в точке хсо> ультрапараболнческое или параболическое с несколькими временамн.
В противном случае в уравнение вообще не войдут производные по некоторым направлениям, и соответству>ощие им у, будут играть роль произвольных параметров. Мы не будем рассматривать все возможные ситуации и ограничимся в дальнейшем изучением лишь тех случаев, когда уравнение во всей интересуюшей нас области принадлежит одному из классических типов: эллиптическому, гиперболическому или параболи.
ческому. Если коэффициенты уравнения (!) содержат функцию и и ее частные производные и,, то мы можем говорить о типе ! уравнения, лишь фиксируя какое-либо решение и!'>(х>, ..., хл) этого уравнения. Подставляя и = и и и,, = и,, в коэффисо> со> во ГЛ. !. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 13! то для определения типа уравнения для данного решения им! строят коэффициенты а,л по формулам дР ась = при и = и!" аил б СА и затем определяют тнп линейного уравнения. 3!.
Уравнения с постоянными коэффициентами. Рассмотрим уравнение (1) с постоянными коэффициентами а,л и выпишем соответствующую квадратичную форму. Попытаемся при помощи линейного преобразования независимых переменных привести совокупность членов, содержащих вторые производные в уравнении (1), к простейшему виду.
Итак, введем вместо х, новые независимые переменные у, при помощи линейного преобра- зования уА — — смх, + ... + сь„х„(й =-1, 2, ..., п), причем мы считаем, конечно, что определитель, составленный из коэффициентов этого преобразования, отличен от нуля. Про- изводные по старым переменным выразятся через производные по новым переменным по следующим формулам: л и„., =,с с„сыид д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
