1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Если тождества (178) выполнены, то формула (179) переписывается в виде н л ! ! 5 ! причем мы ма!кем придавать любые значения значкам ! и й Придавая значку Ь значения Ь = 1, 2, ..., л, мы получим л равенств, которые можем рассматривать как л однородных уравнений относительно л величин Х .'(.;) др! т' др! др э,,~., »-! Определитель этой однородной системы представляет собою функциональный определитель от функций Р» по переменным р„и мы считаем его отличным от нуля (система (!77) разрешима относительно р,]. Следовательно, мы мо. жем утверждать, что величины (180) должны равняться нулю. Фиксируя значок ! и придавая ! значения ! = 1, 2, ..., а, мы получим, таким образом, опять однородную систему относительно величин др! др — — (а=1, 2, .
„и), дх дх (181) которое называется обычно тождеством Пуассона. Написанное тождество содержит двойные скобки Пуассона. Для составления первого слагаемого в определитель которой опять представляет собою функциональный определитель от Г. по р.. Отсюда непосредственно вытекает, что все величины (181) должны обращаться в нуль, что мы и хотели доказать, Итак, для того чтобы система (177) определяла р», которые являются частными лроизеодньсми некоторой функции и, необходимо и достаточно, чтобы функции Р! находились попарно в инеомоции Мы предполагали, что правые части уравнений (!77) суть произвольные постоянные, и, в связи с этим, было необходимо требовать, чтобы соотношения (178) выполнялись тождественно. Если мы фиксируем значение некоторых из этих постоянных, то достаточно потребовать, чтобы соотношения (178) выполнялись в силу полученных таким образом уравнений.
Отметим еще некоторые элементарные свойства скобок Пуассона. Если гр и ф — две какие-либо функции переменных х» и р» и а и Ь вЂ” числа, то из определения скобок Пуассона непосредственно вытекают следующие соот. ношения: (!р, !р) 0; (ф !р) = — (<р, ф)! (О, ф) =0; (ац», Ьф) =аЬ (ср, ф). Пусть в — еще некоторая функция упомянутых выше переменных. Имеет место следующее тождество: ((!р, ф), в) + ((ф, в), !р) + ((в, ц»), ф) = О, (182) 72 гл 1. овшля ткорня хрлвньннн с члстнымн нронэводными !за написанной формуле мы должны составить скобку Пуассона (<р, ф) и затем, пользуясь полученной таким образом функцией, составить скобку ((ф", ф), ю). Чтобы проверить тождество (182), заметим прежде всего, чта каждое из слагаемых этого тождества содержит производные первого порядка.
Ввиду си»!метрии Написанного тождества относительно всех трех функций, а также относительно переменных х, и р», чтобы пронерить написанное тождество, нам достаточно убедиться, что в левой части сократятся все члены, содержа. шие —. Пользуясь определением скобок Пуассона, мы убеждаемся в том, дф др дф что коэф<', пциент при — в левой части тождества будет др„ »-! Производя диффсренцирование, мы без труда убедимся в том, что этот коэффициент действительно равен нулю 24. Метод Якоби. Переходим теперь к изложению обобщения метода Лагранжа — П1арпи, а именно к решению задачи о разыскании полного ин.
теграла уравнения перво»о порядка с любым числом независимых переменных, причем мы будем считать, чта это уравнение ие содержит искомой функции, т. е. что оно имеет вид Г, (х„..., х„, рь ..., р„) =О. (!88) Если нам удастся подобрать еще (л — 1) функций Г» так, чтобы полученные л функций были попарно в инволюции и чтобы опи были разрешимы относительно р», то, взяв систему (177), в которой положим а» = О, мы найдем р», удовлетворяющие условиям (176), и, следовательно, будем иметь и. Система (177) даст нам (л — 1) произвольных постоянных, и затем еще одна произвольная постоянная получится при определении и по ее частным производным рь Нахождение функций Г, можно производить постепенно. Положим, что первые гл функций Г», Г», ..., Г уже имеются, так что они по.
парно находится в инволюции и разрешимы относительно гл из величин р». Для нахождения следующей функции Г», мы должны составить гл уран. пений / (Рь и) =О; (Рэ, и) О; ...; (Рю, и) О. (184) Это будут линейные однородные уравнения для искомой функции р +» от 2л независимых переменных х» и р». Выпишем в раскрытом виде систему для Г +с Х( ' /др( ди др! ди ь ! — ' — — — ' — )=О (1-1, ..., ). (185) (, дра дх дха дра ) а ! Поскольку мы считаем Г, разрешимым относительно гл иэ величин р» мы должны считать, что некоторый определитель 'порядка гл ат функций Г) по КАНОНИЧОСКИН Сг(07ЙМЫ 73 переменным р» отличен от нуля, и, следовательно, у системы (185) ранг таблицы коэффициентов нри производных будет равен т, т.е. урави ния 1!85) наверное линейно-везавиЕимы 1)окажем, что зта система будет полной.
Чтобы обнаружить это, составим разности (155) для системы (184), (Рр (Рч «)) (Еч (Ер и)) Нам надо доказать, что онн обращаются тождественно в нуль. Применяя тождество (182), мы можем преобразовать написанну|о разность к виду — ((Еч, и). Рр) — Ии, Ер), Ре) — ((Рю Р,), и).
Но функции Е, и Е, находятся в инволюцни, откуда и вытекает непосредственно равенство нулю рассматриваемой разности. Таким образом, в силу сказанного в [22], система (185) имеет 2« — т независимых решений. Мы имеем очевидные решения этой систсмы и Еб и Ез' ° ..1 и=рт.
(186) Следовательно, кроме них должны существовать еше 2« — 2т решений, ноторые совместно с решеннямн (186) должны быть разрешимы огноснтельно (2« — т) из переменных х» и р» Следовательно, у системы (185! наверное найдется решение и = Еь»г такое, что уравненнгя Ег = 0; Е» а»! ..
° Е +» а»г будут разрешимы относитедьно (т+!) из величин рь Для нахождения следующей функции Р»» мы построим систему (Рь и) 0; ...; (Емео и) О, относительно которой можем провести те же рассужденнв, что и для системы (!54). Таким образом мы построим все л функций таких, что они будут попарно в ииволюции, и система (!77) (прн а, = 0) будет разрешима относительно всех рь Это и приведет нас, как мы видели выше, к полному интегралу уравнения (183). Мы предполагали, что уравнение не содержит искомой функции. Если имеется уравнение, содержащее эту функцию: Е(хь ..., х«, и, рь . ° ., р«) =О, то мы можем, увеличивая число независимых переменных на единицу, приити к уравнению, не содержащему искомой функции.
Для этого достаточно нскшь решение уравнения в неявном виде: о(хо ..., х«, и) С, р»+ 77(1, хь ..., х„, р„..., р„) =О, (!87) а соответствующая система Коши будет канонической системой [17] »(х — = Ор, 81 ь' "рь — = — н„. г(! ь' (188) Пусть ф(1, хь ° ° .» х«рь "., рл) =С где С вЂ” произвольная постоянная. Применяя правила дифференцирования неявных функций, мы получим, как всегда, для о уравнение, уже не содержащее самой функции.
25. Кйнонические системы.установим связь предыдуших рассуждений с системой-Коши, Мы будем рассматривать тот случай, когда уравнение не содержит искомой функции и разрешено относительно одной из производных. Для симметрии введем («+ 1) нсзависимых переменных и одну нз этих переменных обозначим через 1, а производную по ней — через р» = иь Уравнение будет иметь вид 74 ГЛ. !.
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ !ЗЗ есть интеграл этой системы, т. е. л А 1 в силу системы (188). Иначе мы можем написать последнее равенство в виде фт+(Н ф)=0, (!89) Следовательно, для того чтобы функция ф давала интеграл системы, необходима и достаточно, чтобы она удовлетворяла уравнению (189). Положим, что уикции ф и ф дают два интеграла системы.
Покажем, что и их скобка уассона (ф, ф) также дает интеграл системы (или обращается в постоннную). Из определения скобки Пуассона непосредственно вытекает равенство д1 (ф ф) [Т ф) + ['Р' фг) д Подставляя функцию ы = (ф, ф) вместо ф в соотношение (189), мы получим [рр ф)+[у, ф,)+(Н, (ф, ф))=0. Но поскольку ф и ф суть интегралы, мы можем в последнем равенстве заменить фг = — (Н ф)! фс — (Н.
ф) и, таким образом, придем н соотношению — ((Н, р), ф) — ( р, (Н, ф)) + (Н, (р, ф)) = О, которое выполняется тождественно, в силу (!82). Таким образом, скобка Пуассона из двух интегралов каноничгскоб системы есть также интеграл згои' системы или постоянная. Положим теперь, что мы имеем л интегралов системы (188) фл(1, хь ..., хл, ри ° ° рл)=ал (з=1, 2, ..., п), (190) которые попарно находятся в инволюцни и разрешимы относительно рь Присоединим к уравнениям (190) само дифференциальное уравнение (187) и покажем, что полученные (л+ 1) функций находятся попарно в инволюции, если принять во внимзние независимые переменные 1, хь ..., х. и соответствующие производные рь, рь ..., р,.
функции (190) будут, очевидно, попарно в инволюции и после присоединения новой независимой переменной 1, так как они вовсе не содержат рь. Достаточно проверить, что каждая из функций (190) будет в инволюции с левой частью уравнения (187). Приравняв нулю соответствуюшую скобку Пуассона, мы придем как раз к равенству — *+ (Н фл) = О.
д1 которое наверное выполнено, так как функции (190) суть интегралы системы (188). Принимая во внимание результаты из [24), мы можем утверждать, что если мы решим уравнения (190) относительно рь (й = 1, ..., л) и уравнение (187) относительно ра, подставив в функцию Н полученные выра. жения рл, то сумма р~ да~+ рз дхз+ ... + рл дхл — Н д1 будет полным дифференциалом некоторой функции о(1, хи ... х„ ам „,, а„). Она будст давать, очевидно, полный интеграл уравнения (!87). 75 ПРИМЕРЫ Пользуясь теоремой Якоби, мы можем утверждать, что остальные л интегра.
лов канонической системы (!90) могут быть получены простым дифференцированием, а именно — они определятся равенствами о = Ьа (й = 1, ..., л). аа а Изложение последних параграфов имеет формальный характер. 26. Примеры. 1. Рассмотрим систему двух линейных однородных урав. пений Ха Рг + (хз + «4 — Зха) Рз + (хз + «~ха + ха«4) Р4 = О, ~ (191) Хв = Рз + (хз«4 — ха) Рз + (хзхз«4 + ха — хала) Ра = О. Последнее уравнение имеет решения х<, хз и хз — ха«в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
