1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Уравнение (53) запишется при этом в виде „~г аз(фз -(- фз ) = О, или, пользуясь формулой (73), мы можем записать последнее уравнение в виде фз — а'у~= О, и это уравнение первого по. рядка выражает тот факт, что всякая характеристическая линия на плоскости (хь хг) должна двигаться со скоростью а. Совершенно аналогичный результат мы получим и для характеристической поверхности в трехмерном пространстве (х1, хы хг), если будем исходить из волнового уравнения ии — а~ (и„„, + и„„+ и,,„,) = О.
Заметим, что коэффициент аэ мы можем предполагать завися. щям от координат (хь хм хг). 44. Сильные разрывы. При исследовании разрывных решений для уравнений второго порядка мы предполагали, что сама функция и ее производные первого порядка остаются непрерыв, ными при переходе через поверхность разрыва и что разрыв испытывают производные не ниже второго порядка (слабый разрыв).
Только при таком предположении мы могли утверждать, что.поверхность разрыва должна быть характеристической поверхностью. Мы переходим теперь к исследованию сильных разрывов. Это значит, что в случае уравнения второго порядка, разрыв имеют уже производные первого порядка. Нашей целью является выяснение тех обстоятельств, при которых поверхностью разрыва по-прежнему является обязательно характеристическая поверхность.
Мы рассмотрим волновое уравнение с тремя независимыми переменными. Введем в рассмотрение оператор, стоящий в левой части упомянутого уравнения. 1 Пи=и.,„+ива — — „, ии. Это выражение называется обычно оператором Лоренца. Введем в рассмотрение еще один оператор, содержащий производные первого порядка: Р(и)=и,соз(п, х)+и„соз(п, у) — — „, и1соз(п, 1), (77) 1 124 ГЛ 1.
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [44 где и — некоторое направление в пространдтве (к, у, 1). Пусть Π— некоторая область в пространстве (к,' у, [), 5 — ограничи. вающая ее поверхность и и — направление внешней нормали к поверхности 5. Применяя обычную формулу Гаусса, мы сможем, совершенно так же, как н в [П 203], написать для оператора Лоренца следующую формулу Грина: ~ ~ ~ [о П и — и П о] с[т = ~ ~ [ВР (и) — иР (п)] Ю, (78) где и и о — две функции, имеющие непрерывные производные до второго порядка в О. В частности, для любых и ен С'(Р) и о ЕЕ Со (О) *) ~ ~ ~ [о П и — и П и] [(т = О. и (79) ь) Напомним, что Со — вто совокупность всех бесконечно дпфференцн руемык функция, нмеющнх компактные носнтенн, прннадлежащне О, Положим, что область О разбивается некоторой поверхностью в на две части О, и От, причем эта поверхность о является поверхностью разрыва для производных первого порядка от функции и.
Выясним те условия, которым должен удовлетворять этот разрыв, для того чтобы формула (79) осталась по-прежнему справедливой для всего объема О в применении к функции и с разрывными производными и к любой функции о ен Со (О). Будем при этом предполагать, что сама функция и остается непрерывной при переходе через о.
Пусть М вЂ” некоторая точка поверхности в и [ — любое направление, лежащее в касательной плоскости к о в точке М. Мы будем считать, что пронзводди ная —, прн приближении к точке М с обеих сторон поверхности д[ ' в, имеет один и тот же предел, и что этот предел равен производной от значений функции и на самой поверхности в, взятой по направлению й Это условие называют иногда кинематическим условием совместности. Если и†фиксированное направди ление нормали к в в точке М, то мы будем считать, что — при ди приближении к точке М с той или другой стороны поверхности имеет определенные пределы, но эти пределы могут быть раз. личными на различных сторонах поверхности.
Переходим теперь к формулировке условия, которое пазы. вают д[тнамическим условием совместности. Оно состоит в том, что выражение (77) при приближении к любой точке поверхности (н — направление нормали в этой точке) имеет одинаковые пределы на обеих сторонах поверхности, если в обоих случаях СИЛЬНЪ|В РАЗРЫВЫ 44! и, соз (и, у) — и„соз (и, х) = Мп и„соз (п, 1) — и, соз (и, у) = Мм и4 соз (и, х) — и, соз (и, 1) = Мз (80) Кроме того, формулированное выше условие дает нам четвертое выражение, которое также должно оставаться непрерывным при переходе через сс и,соз(п, х)+и„соз(п, у) — — „, агсоз(п, Г)=МА.
(81) 1 Будем рассматривать уравнения (80) и (8!) как четыре уравнения первой степени относительно и, ии, иь Если бы оказалось, что таблица коэффициентов этой системы имеет ранг, равный трем, т. е. если бы оказалось, что хоть один определитель третьего порядка в таблице коэффициентов отличен от нуля, то мы смогли бы решить соответствующие три уравнения относительно указанных выше производных, и зти производные выразились бы через непрерывные функции Мь При этом оказйлось бы, что все производные первого порядка функции и остаются непрерыв ными при переходе через и, и мы не имели бы сильного раз. брать одно и то же направление нормали п.
Мы считаем далее, что формула (78) применима в отдельности к частям Р, н Р, области О. Это будет наверное выполнено, если функция и имеет в О, и Рз непрерывные вплоть до поверхности и производные до второго порядка. Если мы применим формулу (78) для 04 и Рм то на поверхности и мы будем иметь в этих двух случаях пряма противоположные направления внешней нормали, так что выражение Р(и) для написанных двух интегралов будет отличаться знаком. Складывая эти две формулы, мы получим для всего объема 0 формулу (79), так как два интеграла, взятых по и, взаимно сократятся.
Итак, прн сделанных предположениях относительно сильного разрыва функции и, мы получаем справедливость формулы (79) для всего объема Р. Выведем те14ерь некоторые важные следсзвпя нз сделанных предположений. Пусть и — единичный вектор нормали к а. Рассмотрим векторное произведение афтаб иХ и. Если через 1 обозначить орт, имеющий направление проекции дгаб и на касади ди тельную плоскость'к и, так что дга4( и = — 1 + — и, то упомяд4 ди ди нутое векторное произведение будет равнги — ! Х и, а потому д4 оно является непрерывным при переходе через повсрхность а.
Если мы образуем три составляющие этого векторного произведения, то получим следующие три выражения, которые, в силу кинематических условий совместности, должны быть непрерывными при переходе через сс 12О ГЛ 1, ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕ44ПИ С ЧАСТНЪ|МИ ПРОИЗВОДНЫМИ 144 рыва. Таким образом, мы можем утверждать, что ранг упомяну- той таблицы коэффициентов должен быть меньше трех, т. е. все определители третьего порядка таблицы С05 (Л, У) — С05 (Л, Х) О с05 (л, 4) — С05 (Л, 4) о о С05 (Л, У) С05 (Л, Х) 1 С05 (Л, 4) а' (82) С05 (Л, Х) С05(Л, У) должны равняться нулю.
Легко подсчитывается, что 1 ТС 455 + О5+ О55 = [созз (и, х) + созз(п, у) — —, соз' (п, 1)1, а 454 — — О, где 454 есть определитель матрицы, полученной из этой таблицы вычеркиванием л-й строки. Следовательно, равенство нулю всех Ьх равносильно равенству соз'(и, х)+ созз(п, у) — —, созе(п, 1) = О. ! Если ф(х, у, 1) = О есть уравнение поверхности а, то это равенство переписывается очевидно в виде ф'+ Фз — —,ф~=О 1 и мы видим, таким образом, что и в рассматриваемом случае сильного разрыва поверхность а должна быть характеристической поверхностью уравнения Пи = О.
Если условие (83) выполнено, то нетрудно показать, что и все определители третьего порядка таблицы (82) равны нулю и что М, является линейной комбинацией Мь М, и МЗ, а именно, мы имеем, очевидно, при этом соз (и, 1) М, = соз (и, у) М, — соз (и, х) М,. Мы видим, таким образом, что если выполнены кинематические условия совместности, что дает непрерывность Мь Мь М5, и поверхность а есть характеристическая поверхность уравнения Пи = О, то отсюда уже вытекает непрерывность выражения М4, т. е. динамическое условие совместности. Заметим, что в предыдущих рассуждениях мы пришли к уравнени1о характеристической поверхности, не занимаясь вовсе исследованием решений уравнения Пи = (, а исходя лишь из равенства (79), содержащего выражение Пи, стоящее в левой части этого равенства.
Итак, мы доказали следующее: если функция и имеет сильный разрыв на поверхности а и удовлетворяет на ней кинематическим и динамическим условиям совместности, то а является метод РимАБА 127 характеристической поверхностью, и функция и удовлетворяет гождеству (79) при любой о евСо (А)) (и любой оеяСо(0)) Верно и обратное утверждение, а именно: если функция ш' имеет сильный разрыв на о, удовлетворяет на о кинематическим условиям совместности и тождеству (79) при любом о ~Со (1)), то о будет характеристической поверхностью, а для функции и выполняется динамическое условие совместности: скачок [Р(и))Р функции Р(и) при переходе через о равен нулю.
Действительно, нам дано, что и непрерывна в 0 (так что [и[Р—— 0), а [цгада) Р~О. Из тождества (79) следует ~ о [Р (и)), а5 = О, Р что в силу достаточного произвола в выборе функции о [!У,; 71, 112) дает [Р(и)], = О, т. е. динамическое условие совместности. Наконец, так как [йтад и[, Ф 0 и [их]Р, [и,),, [и~)Р удовлегворяют однородной системе уравнений (80), (8!), то, как было показано выше, это возможно только в случае, когда о есть характеристическая поверхность.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
