1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 30
Текст из файла (страница 30)
(116) Характеристический коноид есть в данном случае круговой конус, у которого угол между образующей и высотой равен 4 ' Оператор Ь(и) есть симметричный оператор, формула (112) дает й! = 1, из формул (! 13) получаем соз(о, х) = — соз(п, х); соз(т, у) =сов(п, у); соз(о, 1) = — соз(п,!), откуда видно, что направление о является зеркальным отрагкеннем направления и в плоскости 1 = О. Уравнение характеристического конуса с вершиной (хо,уо, 19) будет о (х — хо)о + (у — уо)9 — (1 — 19)9 = О.
(117) Используем следующее решение уравнения Т. (и) = О: )в ~ ~/1 — ю) 1 — о] (118) где го.= (х — хо)9+ (у — уо)9. Рис. 4. Берем ту половину конуса (!17), которая обращена в сторону убывающих значений б На боковой поверхности Г этого конуса о — го — = — 1, и решение (118) обращается на этой поверхности г в нуль. Дифференцирование по т на Г есть дифференцирование по направлению конормали на Г, т. е. по направлению образующей конуса и, следовательно, на Г мы имеем не только до о = О, но и — =О, Но решение (118) имеет особенность прн до г= О, т. е. прямая, проходящая через вершину конуса параллельно оси 1, является особой линией решения (118). Выделим эту линию круговым цилиндром Т, радиуса е. Оставшуюся часть области 0 обозначим через 0'.
Граница этой области, кроме 51 н Г, будет содержать также боковую поверхность Т, указанного цилиндра (рис. 4). Пусть 5( — часть поверхности 51, заключающаяся внутри упомянутого конуса, за вычетом того, что находится внутри цилиндра Т,. Применим теперь формулу 144 ГЛ. !. ОВШАЯ ТЕОРИЯ У РАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [49 ( ). ринимая во внимание, что 1.( )=Т.'( (114). П и о = ' о), 1.(и = = — 1(х, у, 1), Т.(о)=0 и на Г: о = — =О, получ . 11 (.в-.—'.,) --))1., е ! На поверхности Т, направление ч совпа а у совпадае направлением , т. е. противоположно т: х — хо = г соз ГР и У вЂ” Уо = г з)п 4Р, полУчим е т НаТ мы ы имеем г=е и, в силу (118), о б е так как е1КЕ 0 и н -4.0 то м стремится к нулю вместе с е.
Далее, мы имеем до до ! — Ге д д«ео-ь) причем радикал надо считать положительным. На т е Т/(1 — 19)9 — г' = Ф1 — 19)9 — е' и при е-+.0 этот радикал стремится к (1 — 1 имеем, таким образом, ( о — ), ибо 1(1о Мы ,1с 11ш ~ ~ 1! — Ге) и до е-Ро де е.е о З/1! — Ге)!в е т, ее =2И ~ и(хо Уо'!)414, I где 1 — значение 1, получаемое в точке пе е г = О с поверхностью о . Так аким образом, формула (119) дает е ) (*..и„оа — ()( ее" „— ее„')ее->д(!ее,, Зе где 59 в часть поверхности 54, находя аяся того выше конуса. Сп и находящаяся внутри упомяну.
са. права стоят данные вели ины и, РенциРУЯ по Го, мы полУчаем окон ч ны, и, диффеокончательный результат: !"' е" ~~=На~,144("т "е )444'444! 4'1 ФОРМУЛА СОБОЛЕВА Мы получили эту формулу, предполагая, что решение задачи существует. Строго говоря, мы должны еще проверить, что правая часть удовлетворяет всем условиям задачи. Это требует большого труда, так как при изменении 1а меняется положение конуса (117). Еслв 5Е есть плоскость 1=0, то решение было нами получено раньше. Указанный метод решения задачи Коши принадлежит Вольтерра. Его подробное изложение можно найти в книге: Вебстер А., Се ге Г.
Дифференциальные уравнения в частных производных математической физики, ч. 2.— ОНТИ, 1934, гл. 6. С формулой Грина связан и другой метод решения задачи Коши, а именно метод Адамара. При применении этого метода берется решение уравнения й'(о) = О, которое обращается в бесконечность на всей боковой поверхности характеристического коноида (конуса (117) в случае уравнения (1!6)). Это обстоятельство требует особых предосторожностей при применении формулы Грина и приводит, естественно, к особому новому понятию интеграла. Для уравнений особое решение Адамара имеет вид Подробное изложение метода Адамара в применении к линейным уравнениям с переменными коэффициентами можно найти в его книге: 1.е ргоЬ)ете бе СапсЬу е1 !ез ейпа!1опз апх бйНуеез раг1!е1!ез Впеа!гез ЬурегЬО!!Оцез.— Раг!з, 1932. Применение метода Адамара к уравнениям с постоянными коэффициентами изложено в книге: Курант Р., Г иль 6 е р т Д.
Методы математической физики, т. 11. — М.: Гостехиздат, 1961. 60. Формула Соболева. В случае волнового уравнения с четырьмя независимыми переменными мы имели формулу Кирхгофа [11; 212]. Пусть и — решение волнового уравнения, имеющее непрерывные производные до второго порядка в некоторой области 17 пространства (хь хм к,), ограниченной поверхностью 5. Формула Кирхгофа выражает значение и в любой точке внутри области 17 через интеграл по поверхности 5, причем в этот интеграл входят запаздывающие значения и и ее производных первого порядка. Мы видели также, что при специальном выборе поверхности 5 формула Кирхгофа приводит к решению задачи Коши, когда начальные данные заданы при ! = 0 (П; 212). Формула Кирхгофа может быть обобщена и иа случай волнового 14а Гл. 1.
ОБщАя теОРия уРАВнениЙ с чАстными ЙРоизВодными (оа уравнения с любым четным числом независимых переменных1 и" 1 "1 + и~о'о + ' ' ' + и Ах+1 "БА+1' и так же, как и выше, она дает для этого уравнения решение задачи Коши (см. об этом далее в [55]). Мы укажем сейчас обобщение формулы Кирхгофа на случай волнового уравнения с переменным коэффициентом им —— С'(Х, у, г) (ихх + ис„+ и„), (122) м, тйх'+ ко'+ иг~ с (х, у, х) 5 с (х у х) м. Мр (123) В данном случае условие траисверсальности совпадает с условием ортогональности, и мы можем строить поле для вариационной задачи так, как это было указано в [421. Пусть т(М;Мо)— основная функция центрального поля с центром Мо. Эта функция дает величину интеграла (123), взятого по экстремали от М, до М. Уравнение т(М; Мо) = сопз( дает квазисферы с центром Мо при метрике, определенной формулой (123).
Для функции т(М; Мо) мы имеем уравнение ага<(от(М; М ) = —, ! - со(М) ' (124) т. е. 1 "+'у+'х=. (М) (1241) Функция т(М; Мо) является, очевидно, симметричной функцией Мо и М. Если с есть постоянная, то т(М; Л(о)= — ', где г есть о— расстояние от Мо до М. В общем случае т будет применяться нами вместо г/с, при определении запаздывающих значений ка. кой-либо функции и(М, (), и мы, как и в [П; 212), введем обо- значение и(М,! — т) = [и(М, ()[.
Положим, что и(М,() есть решение уравнения (122), и для простоты письма обозначим и(М, ( — т) = и1(М, (). где с(х, у, г) — положительная функция, имеющая достаточное количество производных. В дальнейшем вместо с(х, у, г) мы будем часто писать с(М), где М вЂ” точка с координатами (х, у, г).
Принимая во внимание теорию характеристик для уравнения (122), мы, естественно, приходим к задаче об экстремуме функ- ционала ФОРМУЛА СОБОЛЕВА 147 Перейдем в- уравнении (122) к запаздывающим значениям [ии] = сэ (М) [Ьи], (125) где Ь вЂ” оператор Лапласа. Выразим [Ьи] через иь Мы имеем огас) ис — — [пгас( и] — [ис] йтас( т, Ьис — — Йч пгас) ис = = [Ьи] — 2 [вегас( и,] ° дгас( т — [ис] Ьт + [исс] огас(и т, и„подставляя в (125) вместо [Ьи] его выражение из последнего уравнения, получим, пользуясь (124), —,м [и„] = Ьи, + 2 [пгас(и,] пгаб т+ [ис] Ьт — [и,с], < 1 1 Аналогично первой нз формул (126) имеем ди, атас( д = [афтаб ис] — [исс] вегас( т, (126) и, подставляя выражение для [йтас( ис] из последнего уравнения в предыдущую формулу, получим следующую важную для дальнейшего формулу; Ьи, = — 2 пгас( т огас( — — Ьт —.
ди, ди1 дс дг Умножим обе части этого равенства на неопределенную пока функцию о(М): о Ьис = — 2о дга с( т атас( — — о Ьт— ди| ди, дг дс (127) и подберем эту функцию о(М) так, чтобы правая часть была ди~ расходимостью некоторого вектора вида ( — — тч). где и— дг вектор, не зависящий от ин ди~ о Ьи с — — с(1ч ( — — тч) .
дС Раскрываем правую часть; ди, ди, оЬи = — — с((ч тч — огас( — тч. дС дг Сравнивая с (127), видим, что равенство (128) будет иметь место и тч не будет зависеть от ис, если удовлетворяются следую. щие два равенства: тч = 2о огас( т; с((ч тч = о Ьт, (129) Подставляя первое из этих равенств во второе, мы получим уравнение для определения о: б! ч (2о й гас( т) = о Ьт, !4в гл.
ь овщхя твогия ггхвнвнии с частными пяонзводными из т. е, 2 пгаб а ° йтаб т+ аЛт =- О, (!3О) или в координатах 2(а„т„+ а„т„+ о;т,) + а Лт = О, (131) ))) (оби~ и1Ла) ио ~~ (а д и1 ди ) ио' где и — направление внешней нормали иа Я. Пользуясь форму. лами (128) н (129), можем переписать формулу Грина в виде — ))) и, Ладо — ))~ б!ч (2о — 'дгабт) г(о= о 0 ц( — '"'-" ~')"' и, применяя к интегралу, содержащему расходимость, формулу Остроградского, получим )) (о д и| д +2а д дг ) ио+ ))) и1ЛогЬ=О. Возвращаясь к функции и и принимая во внимание, что получаем следующую основную для дальнейшего формулу ~~ ( ~д 1 [и] д + од Г дГ 31 с(5+ ~~~ [и]ЛасКо =О.
(132) 3 о Во всех предыдущих вычислениях мы могли считать поле не центральным, а любым. Функция а, которая должна удовлетворять уравнению (!30), зависит, очевидно, от т, т. е. от выбора поля. В дальнейшем мы будем иметь дело только с центральным полем и функцию о будем обозначать через о(М; М0). Все наши рассуждения относя~си лишь к 1акой окрестности точки Мм в которой экстремали интеграла (123) не пересекаются н т. е. для определения а мы имеем линейное уравнение первого порядка. Имея а, мы сможем определить вектор тч по первой из формул (129). Пусть Р— некоторая область трехмерного про. странства (х, у, г) и 5 — ограничивающая его поверхность. По.
ложим, что в области Р функции о и и1 имеют непрерывные производные до второго порядка. Применим формулу Грина фоемтлх соволавл ~пеодолжвнив) >~о(М М')>~ (м,м,) К (136) где К вЂ” постоянная (не зависит от М); 4) если 5~ — некоторая замкнутая поверхность, содержащая Ме внутри себя, и а — направление внешней нормали на 5ь то при беспредельном сжимании 5~ к Ме имеет место предельное равенство (136) Если с — постоянная, то всем зтим условиям удовлетворяет 1 функция о = —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
