1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 29
Текст из файла (страница 29)
(106г Положим, что начальные данные Коши иа кривой 1(у = у(х)) выражены через независимую переменную х: и(х), Р(х), д(х), причем мы должны иметь и'(х) = р(х)+ у'(х)д(х). Будем считать, что указанные выше функции имеют непрерывные производные. Составим вспомогательную функцию ю(х, у) =и (х)+(у — у (хЦ л(х), которая, очевидно, имеет непрерывные производные ю, и м„. Эта функция ю удовлетворяет на линии 1 требуемым начальным данным. Вводя вместо и новую искомую функцию: иг = и — кч мы получим для нее на линии 1 на.
чальные данные Коши, равные нулю. Уравнение (106) для и порождает аналогичное уравнение для иь Мы можем, таким образом, считать, что дл» уравнения (106) имеем начальные данные Коши, равные нулю, Предполагается, что функция /, стоящая в правой части уравнения, имеет непрерывные производнме первого порядка по всем своим аргументам дли значений (х, у), достаточно близких к линни 1, и для значений (и, р, д), достаточно близких к нулю.
Уравнение (106) с нулевыми начальными данными преобразуется в уравнение и (х, у) = — ~ ~ / (й, т), и, р, д) йй г(Ч, а к этому уравнению применим обычныв метод последовательных приближений, если мы ограничимся значениями (х, у), лежащими в некоторой окрестности линии 1. В качестве первого приближения мы должны взять ие = Рз = ~ Ф О, и следующие приближения вычисляются по формулам ил(х у) — ~ ~ /(в, Ч, ии-! Рл-ь дл-д ув дч и Рл(х У) ~ /(х Ч ии-~ Рл-! Уи-г) НЧ ВР Яи(х, У) ~ /(4, У, и„-,, Р„-,, ди г)сгй.
ЛР Заметим, что при применении метода последовательных приближений лля линейного уравнения мы могли бы, конечно, рассматривать н неоднородное уравнение, и совершенно так же, как и выше для уравнения (94), мы могли бы привести начальные данные в задаче Коши или в задаче с характеристическими начальными данными к нулю. При этом исходное однородное уравнение уже стало бы неоднородным для преобразованной функции. 48. Формула интегрирования по частям и формула Грина.
Формулы Грина и Остроградского являются следствиями формул интегрирования по частям 116!) и 131з) для двукратных ФОРМУЛА ИНТЕГРИРОВАНИИ ПО ЧАСТЯМ 139 и трехкратных интегралов, доказанных в (11; 66,72]. Эти последние могут быть записаны в единой форме, пригодной для интегралов любой кратнпсти, если воспользоваться интегралами вида ~гд5 по гиперповерхностям 5, лежащим в евклидовом пространстве Я .
В них Ю есть элемент площади поверхности (он всегда положитблен), а ~ д5 дает величину площади гиперповерхности 5. В (!1; 66, 142] определены все эти понятия для случая т = 3. Для т ) 3 они определяются аналогично; в частности, если 5 задана явным уравнением х =ф(хь ..., х,), где х'=(хп ..., х 1) заполняет ограниченную область Р и~-! из й"-', то п5= ~/1+ ~~', ф'„(х')Ых',ах'= Их1 ... с(х ь в г1 "С точке х =(х', ф(х')) поверхности 5, а ги -1 ~~с(5= ~ ~(х')'~/1+~ ф' (х')Нх', 3 в где )(х') есть значение ! в точке х =(х', ф(х')) поверхности 5. Если 5 есть граница какой-нибудь ограниченной области Р пространства Я и если 5 есть гладкая поверхность; то ее можно разбить на конечное число кусков 5м й = 1, ..., М, каждый из которых можно задать явным уравнением, выражающим одну из координат х, через остальные, и интеграл ~)с(з по 5 опре.
делить как сумму интегралов ~ ~п5, взятых по этим кускам 5ы ЗА Формула интегрирования по частям имеет вид ди Г ди — паях= — ~и — дх+]ипсоз(п, х~)д5, 1=1, ..., т. О "! О ! 3 (107) Она заведомо справедлива, если Р есть ограниченная область евклидова пространства Я , ее граница 5 — гладкая гиперповерхность, а функции и и о принадлежат С'(Р) (т. е. непре.
рывны и непрерывно дифференцируемы в Р = Р()5). Стоящий в ней соз(а,х,) есть косинус угла между направлением оси х, и направлением нормали и к 5, внешней по отношению к Р. !4О ГЛ. 1. ОВШАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ !4Э Формула (107) есть следствие формулы да! ах = ) ГО СОЗ (а, Х1) !1Х, о "1 о Ь(и)= ~ а!Аих,х + ~~' Ьхи А+Си, 1, А ! А ! (!08) д1(а! Р) д(ЬАР) 1,1-1 ' " А-! (109) где ам, ЬА и с — заданные функции х. Рассмотрим интеграл ОЛ(и)11Х, 11Х=1(х! ...
11х, о и преобразуем его с помощью формулы (107), перенося все производные с и на о. Это приведет нас к формуле Грина ~ (о7. (и) — и7.' (о)] !Зх = ~ (ОР (и) — иР (о) + иоф Ю, (110) о 3 в которой ди Р(и)= ) аы — соз(и, х1), дх„ 1, А-1 (111) а и, как всюду, единичная внешняя нормаль к 5. Определим в точках поверхности О' некоторое направление Р, которое называется хонормалью к поверхности Ю. Для этого положим (1И) справедливой при любом 1= 1, ..., т для 5 и 1о, обладающих вышеуказанной гладкостью.
Действительно, если в ней взять. 1о = ио, то придем к (107). Получим с помощью (107) формулу Грина для произвольного линейного дифференциального оператора второго порядка. Будем предполагать, что все те производные, которые встретятся нам ниже, непрерывны в ограниченной области 77 вплоть до границы и 5 — гладкая. Пусть МЕТОД ВОЛЬТЕРРА 141 н определим направление Р формулами 1 соз(т, х„)=~~ а1хсоз(и, х1) (й=!, 2, ..., и).
(113) При этом первую из формул (111) можно переписать в виде Р(и) = Л1 хт — соз(т, х„)= )т' —, ди . ди 2г дх„ ' дт ' А-1 и формулу Грина (110) можем окончательно переписать в виде (оЬ (и) — ий" (о)] с(т = о =~])у(о д„— и д," ]+ 911(~. (114) Отметим, что если выполнены равенства и~ Х дхэ да„, д' =Ь1 (1=1, 2, ..., И), А-1 то Я обрашается в нуль, оператор 1."(о) совпадает с 1. (о), и мы можем записать 1.(и) в виде Е(и)= ) — ~ ~а1хи, +си. д 1-! ' А-! В этом случае оператор Е(и) называют симметричным. В общем же случае дифференциальный оператор Е' не совпадает с 1..
Его называют оператором, сопряженным к 1. в смысле Лагранжа. 49. Метод Вольтерра. Решение задачи Коши для уравнений второго порядка в том случае, когда число независимых переменных больше двух, представляет гораздо ббльшие трудности. Для волнового уравнения, когда начальные условия заданы при 1=0, мы дали явные формулы для решений задачи Коши 1!1; 184].
Однако метод, с помощью которого они были получены, не переносится на более общие ситуации. В настояшем параграфе мы изложим другой метод решения задачи Коши для уравнений с постоянными коэффициентами. Этот метод, являющийся обобшением метода Римана, основан, как и последннй, на своеобразном применении формулы Грина. Он дает решение задачи Коши при задании начальных условий не только на плоскости 1=0, но и на некоторых нехарактеристических поверхностях. По своей основной идее он близок к методам, примени.
мым и для уравнений с переменными коэффициентами. 142 гл. !, овшхя твогия техвнвнип с чхстными пгоизводными !чэ Положим, что гиперповерхность 5 есть характеристическая гиперповерхность уравнения 1.(и) = О или Е(и) = 1, где ! — заданная функция независимых переменных. Пусть а(х!, ... ..., х ) = О есть уравнение этой гиперповерхности. Величины соз(п, х,) пропорциональны частным производным р, = !ь„, и, в силу (113), направляющие косинусы направления ч пропорцио- т нальны величинам ~~'„а!ьр,.
Написанные суммы представляют !=! собой правые части уравнений бихарактеристик !411! дхч — =2 ) амрн образующих характеристическую гиперповерхность 5, и мы можем утверждать, таким образом, что если 5 есть характеристическая гиперповерхность, то направление ч на ней совпадает в каждой точке с направлением бихарактеристики, лежащей на 5 и проходящей через эту точку. Следовательно, в рассматриваемом случае направление ч лежит в касательной плоскости к 5. Направление ч называют иногда направлением конормали на 5. Выясним теперь значение формулы Грина (114) при решении задачи Коши. Пусть требуется найти ре!че шение уравнения 1.
(и) = — !', (115) если заданы значения и и конормальной ди производной — на некоторой поверхно- дч сти 5!. Мы считаем, что 5! такова, что на ней направление ч не находится в касательной плоскости. При этом задание ди и и — на 5, дает на 5! и значение про- Р!!с. 3, дч изводиой функции и по любому направлению.
Для разыскания значения и в некоторой точке М,(хь, ..., х'„), лежащей вне 5ь поступаем следующим образом. Проводим характеристический коноид уравнения (1!5) с вершиной Мь и предположим, что половина этого коноида вместе с частью поверхности 5! образует ограниченную область 0 пространства (х!, ..., х ) (рис. 3).
Затем к области 0 применяется формула Грина (114), причем за и мы берем искомое решение уравнения (!15) и за о — некоторое сингулярное решение сопряженного уравнения й'(о) = О. Поверхность области О состоит из куска поверхности 5!, на котором и 491 МЕТОД ВОЛЬТЕРРА 143 ди и — нам заданы, и из боковой поверхности Г характеристиче- до ского кононда. На Г направление о совпадает с направлением касательной к бихарактеристике, лежащей на Г, и это дает возможность при интегрировании по Г произвести интегрирование по частям. Проведем этот метод для волнового уравнения Ь(и)=и„„+и,„— исо= — Р(х* у 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
