1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Поскольку мы считаем (!81) уравнением гиперболического типа, будет иметь место неравенство и л а,„ДД„~ т ~~' Ц (т > О), (182) .ь Е-1 ' ' ~=1 причем мы будем считать, что т — положительная постоянная <З4 гл. ь овщкя твогия тгквнниии с чхстиь<ми пгоизводными <га для упомянутых выше областей. В дальнейшем, для большей наглядности, мы будем считать, что и = 2, так что будем рассматривать трехмерное пространство с координатами (х<, х,, !), Рассуждения переносятся и на общий случай. Наша задача — дать оценки для решений уравнения (18!) через начальные данные и коэффициенты. Из этих оценок сразу будет следовать, между прочим, единственность решения задачи Коши и непрерывная зависил<ость его от начальных данных.
Наши последующие рассуждения будут сходны с теми, которые мы применяли при доказательстве единственности задачи Коши и предельной задачи для волнового уравнения в [!1; 192]. Для этого предварительно докажем следующую лемму. Л е м м а. Если неотрицательная, абсолютно непрерывная функция и/(!) удовлетворяет при почти всех 1) 0 неравенству — ( с, (!) и/ (!) + с, (!), (183) где с,(!) — интегрируемые функции, тогда с < !и«вл<, ! < ( „пази (/<(~ ( <О//. Я (/) ' А/1. //8// о Если к тому же с,(!) ) О, то при почти всех ! ) 0 < <, ! и<и>л<, 1 г -) «а ( с, (!) е' ~<в (0) + ) сз (!г) е с(!з + сг (!). о (! 85) Из (184) и (185), в частности, следует, что если с<(!) есть положительная константа с<, а сг(!) — неубывающая функция, то ег/< 1 и/(!) ( <в(0) еьи + сз (!) (186) — < (с<н/(0)+ сз(!)) е''. (187) Действительно, умножим обе части неравенства (183) на < -!., «авп и результат запишем в виде с -!и«вли — ! ь/ и/> /и — (и/(!)е о )(с (!)е о Интегрируя это неравенство по ! от нуля до 1, получим оценку (184).
Из нее и (183) в случае с<(!) ) 0 следует (185). Лемма доказана, ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ НЕРАВЕНСТВО Пусть в некоторой области, примыкаюшей к плоскости 1= 0 и расположенной в полупространстве, где 1 ) О, имеется решение уравнения (181), непрерывное с производными до второго порядка вплоть до ее границы. Предположим, что в ней содержится область 0 типа усеченного конуса, нижнее основание которого В(0) лежит на плоскости 1 = О, верхнее В(Т) на пло«скости 1 = Т ~ О, соз(и, 1) на боковой поверхности 5 положителен и 5 ориентирована пространственно-характеристическим образом, т. е, на ней 2 соз'(и, 1) — К а„сов(и, х,) сов(и, хй) ~ )0 1.2 ! (188) (напомним, что нормаль и к 5 направлена вне О). Обозначим через В(11) сечение В плоскостью 1= 11. Рассмотрим равенство с — ~ ~~ 2ис).(и)а(х(Ыхзссс(= — ~ Ц 2ис[стх(ссхоа(1! (!89) о в(со о в(со для 1ен [О, Т».
В силу тождеств 2 2 да,' х-~ д 2и,и,с= д, 2 р а,„и„,йис 2 ~ — (асйи, ис)— 1, й-! 1. й-! дхс 2 2 2 д даы да!2 — т аыийи — 2 7 — и ис+ т — и и дС Л с "й Л дх "й Л дС " "й с,й 1 с. й-! 1. й-1 Равенство (189) можно преобразовать, используя формулу (107), к виду с«2 2 Як,"" ")""-[[[к .".. ")" ". 8(и 1,2-1 В(о) с,й-1 с +~ ~ 1 — 2 ~ а,и исоа(и,хс)+ о авив с,й «-с! Т ...,,, «,,),(„о~с!а,«. Чь 2-1 / 2 2 О В(1,1 С.й-! ' С.й-( 2 с ° -2 ~Х~ Ьси сис — 2еиис) с(х( с)хй Ж! = — ~ » » 2ис[ (1х( (1хз с111. (190) с ! о в(ссс 166 Гл.
!. Овшхя теОРия РРАвненнн с чкстнымн поонзводнымн во С, 2 2 К(1)~(К(0) — 1 )) 1 2 Х дх !скос!с Х дс и" и"А о вио с,к-! 2 с — 2 ~ Ьси„сис — 2сиис)с(х! с(хо сй! — ~ ~~ 2ис) исх! с(х с11„ с ! о в!со (191) где к!о = ( ) !с 2. ..„., „ с- !) к., с*,, в<с) Ас,о-! (192) Положим, что имеют место неравенства — ~, (дс~, 1с!<Со, где Со — некоторое положительное число. Тогда (193) ! да, — и„,и, с(хсстхо (со )) ~~ 1икс~ ° (и„о)с(хсс(х2.
в!со !.2-! вид с,с-! Далее, мы имеем 2 2 Х ~икс~ ° (ик ~(2 ~ но. Но, в силу (182), 2 2 — Х 1 кс и„~ ~— 2 а!он„и„, 2 к! )с ~.с кс «! с 1 С. А-! где дВ(с!) есть граница В(1!). Подынтегральное выражение, стоящее в третьем члене, неотрицательно, ибо оно лишь положительным множителем соз(п,1) отличается от суммы 2 ас! (икс соз (п, 1) — ис соз (п, хс)) (и соз (и, Г) — и, соз (п, хо)) + с,о-! 2 к-.!( '!..о — с. ', С,*,) ° ! ")) С, 2-! в котоРой пеРвое слагаемое есть фоРма вида х, а)2$)з„кото- С. 2-! рая неотрнцательна прн любых $с, а второе неотрицательно в силу предположения (183).
В силу этого из равенства (190) следует неравенство ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ НЕРАВЕНСТВО и, следовательно, ! 2 ! Ц ~ —," и„>и„з с(х, 2(х, г, (С ~ К Я с((ь о вив >,к-! ! ! 2 / 2 ! ~ ~~ 2и, ~~Ь! — ~ — „")ик>с(х>с(хзс(!! (С,~ К(!!)Ж„ о в>>,> о где Сз — постоянная, аналогичная С!. Обозначим .(. (!) = ) ) из с(х! с(хз. (194) в >о Применяя неравенство !2аЬ~(а'+Ьз и принимая во внимание, что 2 ~ -а>зи„,и„~)0, (1О5) >,А-! получим $ ~ 2си>ис(х>с(хзЮ! ~(Сз~к>К(1!)+Е (г!))'й! о в>>в о Далее из 12>и>~(~из>+~2 и (195) получим 11 2>,шдкв(~коок во>, вн,> где М (1!) = Ц 12,(х! (хз.
ВОВ (196) Подставляя полученные оценки в (191), будем иметь К(!) (К(0)+ +(С>+Сз+Сз+1) ~К(1!)Ж>+Сз~С(1!)Ж>+ ~М(1!)Ж! (191) Переходим к оценке Е(1). Возьмем интеграл з'з(1)= ~ ~~ (из(х>, хз, 1!))>,йхзйхзс11!. о ви,> где С! — положительная постоянная, зависящая от коэффицнен. тов. Совершенно аналогично >53 Гл 1 ОвшАя теОРия уРАВнениЙ с чАстными пРОизВОдными <Ба Его можно рассматривать как тройной интеграл по области 0<„ ограниченной снизу плоскостью ! = О, сверху — плоскостью постоянного ! и сбоку в указанной выше поверхностью 5, на которой соз(п,!) ) О. Применяя формулу Остроградского, легко получим неравенство Х! (1) ) ~ ~ и' <1х> а<хо — ~ ~ и' с(х! а<хсь в <о> в<о т. е.
~ ~ и' с(х! <>~хо (~ ~ ~ й с(х> <>хо + ~ ) ) 2иис, <2х! <(хс а<!„(198~ в <с> в <о> о в<>а откуда, в силу !2ии, [~(иос + и' и (196), следует, что с с 7.(!)(7.(О)+ ~К(т,)с<!, + $7.(т,)с(ть Складываем (197) и (199) ! (Кг)+ ь(т)< ( К(0) + Ь(0) + С~ (К((!) + Ь(т!))Ж!.+ $ М(т!)Ж<, (200) где постоянная С = С! + Со+ Со+ 2 зависит от величины коэф- фИЦИЕИтОВ ааь Ь„С И ПРОИЗВОДНЫХ От а,о. ВОСПОЛЬЗУЕМСЯ ТЕПЕРЬ с неравенствами (!86) и (187). Функция и>(0=~ (К(<!)+Ь(с>)!а<<о о удовлетворяет условиям леммы с с<(!)=С, со(!)=К(0)+с-(0)+ ~ М(с>)ссс! и и>(0)=0. о Поэтому для нее верны оценки с сс <а>=[<к<а»а.а<а»аа,м-'-~='-[а»м<а>аа,~ о с аааа> -к<а> а-а<а><м [а.> !м<а>аа~, <ао» о где б = К(0)+ Ь(0).
Их называют энергетическими. ТЕОРЕМЫ ЕДИНСТВЕННОСТИ 169 В силу предположения (182) К(о)) )~ ~(ти'„- + та'„, + по) аох,о(х. вц> . Не ограничивая общности, можно считать, что ч, входящее в условие (182) удовлетворяет неравенствам 0 ( т ( 1. Тогда из неравенства (20!) следует оценка 2 ~ ~ (ио + и'„+ из+ и') о(х, о(х ( — ~ ~ ~ ~ ~ а, и„и, + вю ьв <о> о, о-о 2 О- Ч О. ') О*, О*, -О ~ ~ ~ РО*,О,ОО~).
дОоО о вцв Она справедлива для всех ! из 10, Т~ и для любых областей описанного выше типа Постоянные С и ч в ней определяются только коэффициентами уравнения (181) и не зависят от взятого решения и и свободного члена !. Приведенные в этом пункте оценки имеются в работах Фридрихса, Леви, Шаудера 57. Теоремы единственности и непрерывной зависимости решений. Из доказанных неравенств легко следует теорема единственности решения задачи Коши и непрерывная зависимость решения от начальных данных и свободного члена уравнения. Рассматривая разность двух решений задачи Коши при одинаковых начальных данных, мы приводим теорему единственности к следующему. если свободный член 1 в уравнении (18!) равен нулю и начальные данные имеют вид и !о-о = ио !2=2 =О, то и решение задачи должно быть и =— 0 Проведем через какую-либо точку (х12', х',о', бо~) характеристический коноид и положим, что он вместе с плоскостью 1= 0 образует область Р указанного выше типа.
Пусть и(хи хь !) — решение задачи при 7'— = 0 и с начальными условиями (203), непрерывное вместе с производными до второго порядка в области Р. Мы можем применить, например, неравенство (201), причем из сказанного выше следует, что б = О. Таким образом Ь(1) = ~~ иоо(х,Доха=О, в го и, следовательно, и = 0 в Р. Это утверждение сохранит свою силу, если однородные начальные условия (203) имеют место )70 ГЛ. 1. ОВШАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ не на всей плоскости (х, у), но лишь на основании В(0) области О, ибо при этом одном б = О. Отсюда можно заключить, что значение решения однородного уравнения (18!) в точке [х(!'), х"), 1(')) зависит от значений начальных данных только на основании В(0) характеристического коноида с вершиной[х(!", х(~), 1(в). При этом предполагается, что этот коноид вместе с плоскостью 1 = 0 образует область В указанного типа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
