1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Вместо гиперсферы т(М; М,) = ( рассмотрим поверхность т(М; М,)+ф(М)=й (152) и предположим, что при всех положительных значениях разности 1( — ф(М)], достаточно близких к нулю, поверхность (152) есть замкнутая поверхность трехмерного пространства, содержащая точку Мо внутри себя, причем часть пространства, которая заключается внутри этой поверхности, определяется не- равенством т(ММо)+ф(М)(1 (153) Гди Т Покажем, что и ~ — з! выражается через начальные данные. ]дп] Мы имеем д(о (М) ди (М; ф (М)1 ди (М; !) ] ди (М; !) ] дф (М) дп дп дп 15 ф(АО д( 1! (АВ дп Применим теперь формулу (138), приняв за 5 поверхность (!52). При этом В подынтегральной функции интеграла по 3 мы будем иметь [и]=и(М; ( — т)=и]М; ф(М)]=1 (М); ]и,] — г,(М) 1б7 ОЯП!ИЯ СЛУЧАЯ НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫМ откуда ди (М, >) ! д(о (М) ди (М, 0 ! дф (М) дл )> м! дл д( !> (м) 1 ди(М; () 1 д)о(М) дф(М] ~ ( !4) дл 1 дл дл т.
е Вводя обозначение Р(Мо, 1)= А>о ~ ~ ( дл (д~ ~д)~>( ) д» т (М, М,>+ф(АЕ-> мы получаем для и(Мо,1) уравнение, аналогичное (140): и(Мо' 1) = г (Мо' 1)+ — ~ ~ ~ (и) бо(М' Мо) ~1о. (154) <М: МЛ+ф(АЯ<> Как и выше, оно может быть решено методом последовательных приближений и дает решение задачи Коши при условиях (151). Точное проведение всех доказательств требует наличия некоторого числа непрерывных частных производных у функций с(М), 1,(М), 1,(М), р(М). Выясним связь поверхности (!52) с теорией характеристик.
Характеристический коноид уравнения (122) с вершиной (Мо,1) имеет в четырехмерном пространстве (М; 11) уравнение 1~=1 — т(М; Мо), (! 55) где 1> и М(х, у, г) — текущие координаты, а 1 и Мо — параметры. Поверхность (152) представляет собою геометрическое место тех точек трехмерного пространства, которые имеют те оке координаты (х, у, г), что и точки пересечения характеристического коноида (155) с поверхностью 1~ = ф(М). четырехмерного пространства, т.-е. поверхность (!52) есть проекция указанного пересечения в трехмерное пространство (х, у, г). Для наглядности представим себе, что все происходит в трехмерном пространстве (х, у, 1>). Уравнению (155) соответствует обычная поверхность конического типа.
Эта поверхность пересекается с поверхностью 1> = ф(х, у) вдоль некоторой линии. Проекция этой линии на плоскость (х,у) должна быть замкнутой линией которая и есть аналог поверхности (!52). Проекция вершины коноида на плоскость (х. у) должна попасть внутрь 1, и трехмерный интеграл формулы (154) имеет своим аналогом двойной интеграл по части плоскости (х, у), лежащей внутри Е Эта область зависит, конечно, от положения вершины (хо, уо, 1] 1вз гл, и овщля твогия эглвнении с члстными пгоизводными кононда. Если эта вершина приближается к некоторой точке (х', у', Г) на поверхности Г~ = ~р(х, у), то линия должна стягиваться в точку (х',, у,'). Совершенно аналогично замкнутая по верхность 5 должна-стягиваться к точке Мм если вершина коноида (!55) стремится к некоторой точке (Мз, Г') на поверхно.
сти Г~ = ср(М). Все эти геометрические свойства поверхности Я,необходимые для строгого доказательства существования задачи Коши, свя» заны с тем, что касательная плоскость к поверхности 1= <р(М) не должна слишком отклоняться от плоскости 1= О. Можно показать, что это условие может быть записано в виде (156) При этом существенно, что функция с~(М) связана с т(М; Ма), уравнением (124).
При соблюдении условия (156) говорят, что поверхность 1= ~р(М) пространственно ориентирована. Для более общего уравнения гиперболического типа где и — функция независимых переменных хохм ..., х, говорят, что поверхность 1 = ~р(хь хм ..., х ) — пространственно ориентирована в некоторой своей точке, если в этой точке выполняется неравенство а,хр„~р, < 1. Описанные нами конструкции и формулы и их применения к решению задачи Коши для уравнения (122) были предложены в работах С.Л. Соболева (Тр. сейсмологического ин-та АН СССР, 1930, № 6 н 1934, № 42). Они были перенесены В.
Г. Гоголадзе иа более общие линейные уравнения гиперболического типа с четырьмя независимыми переменными (ДАН СССР, 1934, 1), Далее в работе С. Л. Соболева (Матем. сб., 1936, 1 (43), № 1„ с. 39 — 72) указанный метод был распространен на общие линейные уравнения гиперболического типа с четным числом независимых переменных. В следующем параграфе мы укажем на те изменения, которые вносятся в изложенный метод для более общих уравнений, что и было сделано в работе В, Г. Гоголадзе, а потом изложим распространение метода на любое четное число независимых переменных лишь для волнового уравнения с постоянным коэффициентом с'. 159 оаозщзнное ВОлнОВОе тозвненив 54. Обобщенное волновое уравнение. Рассмотрим вместо (122) более общее уравнение; з з 1 —,ии — — ~ а|и..., + ~~| Ь!и,, +Ьи, (157) | ! |-! тде коэффициенты а|, Ь|, с и Ь вЂ” функции независимых перемен« ных хь хз, хз, причем а| больше некоторого положительного числа.
Вместо функционала (123) строим функционал м, о'з (158) где ||хо! (. =~' — '. "| |-! (159) Основная функция т(М;Мо) центрального поля удовлетворяет следующему уравнению: з Х х=Ф (160) | ! з з 2 ~ а|т„,а„,+о~~ ~а|т,,„, +(2 — ' — Ь!)т,,~=0, (161) | 1 | ! Условие (133) принимает вид И|п а(М; Мо)т(М; Мо)= "'о' (а(М)= с(м)). где а| — значение функции а; в точке Мо. Вместо (135) имеем оценку ! Е(о)!< (163) где Ь(и)' — правая часть уравнения (157) и К вЂ” постоянная, и формула (136) принимает вид з 1нп ~' ~ ~~ а|о,, соз (а, х|) |(3 = — 4п. 3!+мв 3 | ! (164) Как и в 1501, определяется запаздывающее значение какой-либо функции и(М;1).
Вместо (131) получим следующее уравнение для функции о; 1ВО Гл. 1. ОБщАя теОРия уРАВнении с чАстными НРоизВодными (зз Вместо (138) имеет место формула где з тагда 12 = ~ ~ — — Ь!) сов (и, х,), ! 1 аа даа!а дз!а а'!а-Х[ ' — — 'а-а). , [, дхз! дх! з Р(о) = ~~ и!Ох! сов(и, х!), причем Ь*(о) есть оператор, сопряженный с Е(о). Пользуясь формулой (165), можно, как и в [511, привести задачу Коши с начальными условиями (139) к интегральному уравнению и (Ма( () = Р (Ма, () + — „~ ~ ~ [и) 1."(О) г(о. о Отметим, что в записи уравнения (157) имеет место некоторая неопределенность, связанная с тем, что мы можем различным образом выделять множитель сз.
В частности, умножая обе части уравнения на сз и включая эту функцию в коэффициенты уравнения, мы можем считать с — = !. Дли функции о(М; Ма) можно получить формулу, аналогичную (150): з (а ! — — ) — — аа а(Ма) 3!адах (а(ха а„ха) Г а а а ) () (В В, аг ) М ааазаЗ (166) где з — длина дуги экстремали, соединяющей Ма с М, причем 2(зз вычисляется по формуле (159).
55. Случай любого числа независимых переменных. Применение метода С. Л. Соболева для случая многих независимых переменных требует введения нескольких функций о. Мы изложим применение этого метода для волнового уравнения с постоянным коэффициентом: 22+ ! 1 и!1= ~ их х! ! 1 (167) и (Мз; Г) = 4„~ ~ ~ Р ( [и) ) - [и) Р (о) + +о[д( (Р(т) +Ох( [и) 1 а!о + 4ч ~~~ [и)1-*(0)2(п, (165) о СЛЬЧ!Н ЛЮБОГО ЧИСЛА НЕЗАВИСИМЫХ ПЕРЕМЕННЫХ !6! (см.
Соболев С. Л. Об одном обобщении формулы Кирхгофа. — ДАН СССР, 1933, 1). Через М мы будем обозначать точки в пространстве Н'А+! с координатами (х!, ..., хза+!). Кроме того, будем рассматривать пространство ДЕА+з с координатами (хь ..., хаи-!, Г!) или (М; г!). Характеристический конус для (167) с вершиной (Мс, !) имеет в 71!А+' уравнение г (168) где !!+1 (х, — ха)з. (169) ! ! Через [ф1 обозначается, как и выше, запаздывающее значение функции йи ф( ' с)' (ета!1 —,) (171) Производя дифференцирование функции и, по координатам г Х как непосредственно, так и через посредство аргумента (! — —,), мы получаем, пользуясь легко проверяемой формулой г Г дс+!и 1 г Гд+и1 зг дга!1 и, , ° афтаб — = афтаб 1 игаб — — ~ — ~ йта<Р— , + с Ь дсг+! .! с 1 дсс+з 3 где точка обозначает скалярное произведение в 1см+!, следующую формулу: г г Аи, = — 2 Игаб и,+! ° ига!1 — — и,+!А —,.
(172) Вводя оператор ЗА+1 (н г г 2 ~! х! — х! с Ь (о) = — 2 пгаб а ° ига!) — — ВА — = — — ~ ох — — бг, с с = с 2~ г "! с Г-! (173) т.е. значение <р на нижней относительно ! половине конуса (168). Как мы уже отмечали 140], на характеристической поверхности имеются соотношения между функцией и, удовлетворяюшей уравнению (167), и ее производными. Установим эти соотношения для производных от и по ! и,=~д!'1 (З=О, 1, 2, ...), (170) причем мы будем рассматривать и, как функции в Я'А+!.
Отме. тим предварительно, что основное уравнение (124) имеет в данном случае вид !В2 ГЛ. !. ОБШАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТР!ЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ВЗ можем переписать (172) в виде Ди, = Р (и,4!). (174) Это и есть те соотношения, которые выполняются на конусе (168). Оператор А удовлетворяет соотношению оЬ (ю) + гоЬ (о) = — б!у (2ого угад — ) . (175) Для степеней г мы имеем Дг'=(2й+ з — 1) згс ', 7.
(г') = — — (з+ й) г*-'. (176) 2 с Вводим функции о,: (2А — 2) (2А — 4) ... (21+ 2) 21 А ! ! зс+!. О,— !. +; ОА — — Г (А — !)! сз ! (2А — 2) (2А — 3) ... (А+ 1 — !) (!'= 1, 2, ..., й — 1). (177) Мы имеем Ь(о!)=О; й(о!+!)=До,; ДОА=О (!=1, 2, ..., й — 1). (178) Пусть Р— некоторая область пространства )г'А+!, не содержащая точки Мс. Составим интеграл кратности (2й + 1): Е(-1) - [(.,'...,—..., Д.,)+ О с ! +(ОА,+!5(и,)+и,й(ОА,+!))]г(х! ... О!хЗА+!. (!79) Из (174) и (178) следует, что этот интеграл равен нулю. Принимая во внимание (175) и формулу о Дю — ю До = д)У (о нгаб го — го нгаб о), можем преобразовать интеграл (179) в интеграл по поверхности О, ограничивающей область Р. Учитывая еще формулу Г мы можем написать где и — направление внешней нормали на 8. Если область Р содержит точку Мс внутри себя, то предыдущая формула приме.
163 ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ НЕРАВЕНСТВО 5б! няется после выделения МР малой сферой. Переходя затем обычным образом к пределу, получаем следующую формулу: зе! Г д— где постоянная А определяется формулой Ы-1 и Г( — '+,') А— Ы-1 2А-1 2(2 — 1)я П Г( 2 ) 1-1 При 2я+1 = 3 формула (!80) совпадает с формулой Кирхгофа. Если за поверхность о взять сферу с центром МВ и радиусом с1, то запаздывающие значения производных функций и выразятся через начальные данные для и и и1 при 1= О, и мы получим в явном виде решение задачи Коши, которое мы имели раньше в другом.
виде (11; 184), Совершенно так же, используя формулу (!80), можно решить задачу Когни и для того случая, когда начальные условия даны на поверхности Г1 = 1р(М). Отметим, что под знак интеграла будут входить и производные от начальных данных, так что для решения задачи нам надо требовать непрерывности производных от начальных данных до определенного порядка, зависящего от й, что мы отмечали и раньше. В работе С. А. Христиановнча (Матем. сб., 1937, 2, № 5) этот метод был распространен на нелинейные гиперболические уравнения.
56. Энергетическое неравенство. Рассмотрим уравнение гиперболичесного типа, имеюгцее внд Р л 7.(и)— = Х ами,,„х+ Х Ь1и, +си — ии=г, (181) 1 Х 1 а 1 в котором аиь Ь„с н ! зависят от (х„..., х„,г), причем Ь1, с и à — непрерывны, а ам имеет непрерывные производные первого порядка в областях пространства (хь ..., х„,г), о которых мы будем говорить ниже.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
