1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 8
Текст из файла (страница 8)
дх ду ди др д» дг дг дг дг дг ' Вычитая это равенство из предыдушего, мы можем преобразо- дЛ вать выражение для — к виду дз дЬ» дх ду ди Х дЛ дз ~ дг дг дг ) =и~р — + д — — — ) или — — ие, дз шений (78) непосредственно вытекает из первых трех уравнений системы (68). Остается только выяснить, при каких условиях будет выполнено второе из соотношений (78). Мы считаем, что Р(х, у, и, р, д) имеет непрерывные производные до второго порядка в окрестности (км уг, иг, рг, дг).
При этом правые части уравнений (68) имеют непрерывные производные первого порядка, и из этих уравнений следует, что х„у„и, имеют непрерывные производные по 1, т. е, существуют непрерывные производные х,ь у,ь и,ь При этом существуют и непрерывные производные хпи уг„им, равные указанным выше производным. Это следует из того, что если функция 1(х, у) имеет в некоторой области непрерывную производную 7 „, то имеется и производная (г„причем ~г» = г',г. Эта теорема может быть доказана небольшим видоизменением рассуждения из (1; 1551 (см., например, Фихтенгольц Г. М.
Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1. — Мх Наука, 1970). Обозначая через 7. левую часть второго из уравнений (78) н дифференцируя по г, мы получим дЬ дзя дзх д»у др дх ду ду дг дгдз " дгдз» дгдз дз дг дз дг зе гл. ь овшоя тногия тговнвнин с частными пооизвопными откуда следует, что — ') и ео 7. 7.е о где Ьо — значение левой части второго из соотношений (78) при з О: дно дхр доо 7о= д~ Ро до Чо,~~ Из написанной формулы непосредственно следует, что соотношение Ь О будет выполнено при всяком з, если оно выполнено при з О, т. е. для того чтобы удовлетворялось второе из соотношений (78), необходимо и достаточно, чтобы функции (74) удовлетворяли соотношению (79) до = Ро ~~ + чо до Мы можем, таким образом, утверждать, что если определитель Ь отличен от нуля прн з = О и 1= у (1о ( у (11), и если функции (74) удовлетворяют соотношениям Р(хо~ Уо, ио Ро до)=О ш =Ро ~~ +Чо ш ° (88) дио дхо део то уравнения (75) при з и й близких к з = О и 1 = (', опре.
деляют интегральную поверхность и = и(х, у) уравнения (59). Первые два из уравнений (75) дают непрерывно дифференци руемые функции з(х, у), ((х, у). Подставляя их в и(з,1), р(з,(), д(г, г), получим непрерывно дифференцируемые функции х и у, которые мы, не желая вводить новые символы, обозначим через и(х,у), р(х,у) и у(х,у).
В силу доказанного выше р(х,у)= = и,(х, у), д(х, у) = и„(х, у), и потому и(х, у) имеет непрерывные производные второго порядка. Для полученного решения ПРи з = О ио(1) = и[хо(Г), Уо(1)] пРи (, близких к (', т. е. поверхность и = и(х, у) содержит некоторый участок линии х = хо ((), у = уо ((), и = ио (()— 9. Задача Коши. Задача Коши для уравнения (59) формулируется так же, как и в случае линейного уравнения: требуется найти поверхность, проходящую через заданную кривую 1.
Рассмотрим сначала тот частый случай задачи, когда заданная кривая находится в плоскости х = хо, параллельной плоско. сти (у, и), и имеет в этой плоскости явное уравнение и = ф(у), т. е. положим, что требуется найти интегральную поверхность, удовлетворяющую следующему условию; х т(у) (81) ЗАДАЧА КОШИ При рассмотрении задачи Коши мы, кроме доказательства сушествования и единственности решения, будем всегда доказывать и непрерывную в некотором смысле зависимость решения от начальных данных.
Пусть и1 — решение задачи, для которой в условии (81) ф(у) заменено иа ф(у)+б(у). Указанная непрерывная зависимость в данном случае сводится к следуюшему: в некоторой конечной области изменения (х, у) величина 1и — и1) может быть сделана сколь угодно малой, если 18(у)! достаточно мала. Эта непрерывная зависимость от начальных данных обычно называется корректностью постановки задачи Коши. Будем считать, что уравнение (59) написано в разрешенном относительно р виде: р = )(х, у, и, д). (82) Из условия Коши (81) непосредственно вытекает, что в качестве параметра мы можем взять переменную у, причем параметрическое уравнение кривой 1 будет иметь вид: х = х„у = у; и = =ф(у). Нам остается еще определить вдоль этой кривой р и д как функции параметра у так, чтобы удовлетворялись два условия (80). В данном случае эти условия перепишутся в виде Ро=1(хо, У ф(у), Чо); $'(У)=ум (83) откуда видно, что р, и до определяются вдоль 1 единственным образом, и, применяя указанный в предыдущем параграфе метод, мы получаем решение задачи.
Для того чтобы выполнялись указанные в предыдущем номере условия, нам надо потребовать существование непрерывной производной второго порядка у функции ф (у). Условия для 1 вытекают из указанных в [8] условий для г. Рассмотрим теперь более общее начальное данное, а именно, пусть требуется провести интегральную поверхность через кривую х=~р(у); и =ф(у). (84) Эта задача может быть сведена к предыдущей при помощи замены независимых переменных, а именно: вместо (х, у) вводим новые независимые переменные (х', у') по формулам х=х +~р(у); у=у, и выражаем производные по новым переменным через производ. ные по прежним переменным: и;=р; и„=ру'(у')+д, откуда р = и;; д и„— и,лр'(у'), 33 ГЛ. ! ОБШАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ИО и уравнение (59) в новых независимых переменных принимает вид Р]х'+ф(у'), у', и, иоч и„— и;ф'(у')]=О.
(85) Линия (84) в новых переменных запишется в виде х'=О; и=ф(у'), т. е. мы имеем задачу Коши рассмотренного выше вида. Возможность ее решения сводится к вопросу о разрешимости уравнения (85) относительно иАА В случае, если кривая 1 задана в параметрической форме: х=хо(!)' У=.уо(1); и=ио(г? мы должны будем определить функции ро(1) и до(1) из двух уравнений: Р]хо(!) Уо(!) ио(!) РоЯ, до(!)]=О ио(1) — ро(1) хо(1) — до(1) уо(1) = О.
(86) Функциональный определитель левых частей этих уравнений по Ро и чо Ьо = уо (1) Є— хо (!) Р„ (87) совпадает как раз с определителем (77) при з =О, что непосредственно вытекает из первых двух уравнений системы (68). Мы считаем, что определитель (77) отличен от нуля вдоль 1 и что система (86) дает вдоль 1 вполне определенные значения для ро и ио. Прн этом можно применить указанный в предыдущем параграфе метод построения решения, причем надо заметить, что определитель (87) будет отличным от нуля не только при з = О, но и при з, близких к нулю. Для того чтобы функции ро(1), до(1) имели непрерывные производные первого порядка, нам надо потребовать существования непрерывных производных второго порядка у функций хо(!), Уо(1), ио(1). Это видно из второго уравнения (86).
1О. Единственность решения. При решении задачи Коши мы строили интегральную поверхность при помощи характеристических полос. Единственность решения задачи на первый взгляд получается непосредственно из того, что всякая интегральная поверхность сможет быть покрыта характеристическими полосами. Но при доказательстве этого мы использовали существование непрерывных производных второго порядка у функции и(х, у). При сделанных выше предположениях мы получили в ]9] решение задачи, у которого и(х, у) имеет непрерывные производные второго порядка, Но указанное простое доказательство единственности не годится, если предполагать лишь непре.
рывные производные первого порядка у функции и(х, у). ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ 39 Нетрудно доказать теорему единственности и в предположении, что существуют лишь непрерывные производные первого порядка. Мы сделаем это для (82) при условии Коши (81). Доказательство основано на следующей лемме: Л е м м а. Пусть функция и(х, у) непрерывна в замкнутом треугольнике сз, образованном прямыми 1 ! х=хо' х — хо= Л (у — ус)' х — хо= — А (у — уз) (88) (Ус < Уз).
определена и имеет непрерывные производные первого порядка при х ) хо в более широком треугольнике, образованном прямьсми 1 1 х=хо; х — хо= л (у уз)~ х — хо= — — А(у — уо) (89) (уз < ус < уз < ус). Пусть далее зти производные во всем треугольнике гь, кроме основания х = хо, удовлетворяют условию 1и„1(А1ио1+В!и 1, (90) а на основании х = хо имеет место неравенство 1 и (хо у) 1~ М. (9!) Тогда во всем треугольнике бс имеет место неравенство 1 и (х у) 1( Меесо-ое (92) Докажем сначала эту лемму при А = В =!. Будем рассуждать от обратного. Пусть в сз имеются точки, в которых!и(х, у)1> > Ме"-*.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
