1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 4
Текст из файла (страница 4)
При этом, как мы видели в предыдущем параграфе, через линию 1 проходит бесчисленное множество интегральных поверхностей. При проведенном выше доказательстве для нас, конечно, было существенным, чтобы интегральная поверхность и = и(х, у), проходящая через 1, имела в точках этой линии непрерывные производные; может случиться, как это мы увидим на примере, что 1 не есть характеристика, вдоль нее Л = О, и все же через 1 проходит интегральная поверхность, но такая, что частные производные от и(х, у) перестают быть непрерывными в точках 1, т. е., иными словами, линия 1 является особой линией интегральной поверхности.
Если [†не характеристика, но вдоль нее Ь = О, то это значит, что вдоль линии 1 "! — = — чь— а Ь Отметим одну особенность системы (4). Вспомогательный параметр з не входит в правую часть уравнений, и одна из произвольных постоянных входит как добавочное слагаемое к з. Эта произвольная постоянная не играет существенной роли и сводится к произвольности выбора начального значения з.
Таким образом, мы имеем при интегрировании этой системы две су- СЛУЧАИ ЛЮБОГО ЧИСЛА ПЕРЕМЕННЫХ Гг щественные произвольные постоянные. Этот факт непосредственно очевиден, если записать систему (4) в виде (3). Напомним, что квазнлинейное неоднородное уравнение (2) может быть приведено к чисто линейному однородному уравнению, если искать решение в неявной форме [!1, 21]. <р(х, у. и) =С, (14) где С вЂ” некоторая произвольная постоянная. Согласно правилу дифференцирования неявных функций, мы имеем вх . ву и = — — и = — —. Х Фа Фи У и уравнение (2) порождает линейное однородное уравнение для функции ~р: а(х, у, и) ~р„+ Ь(х, у, и) ~ру+ с(х, у, и) ~р„=О. (15) Соответствующей ему системой обыкновенных дифференциальных уравнений является система (3).
Если ~р,(х, у, и) = С,; ~р,(х, у, и) =Сз — два независимых интеграла этой системы, то ~р = г"(уь ~рз), где г — произвольная функция своих аргументов, будет решением уравнения (15). Мы видели, каким образом из условий за* дачи Коши можно найти явный вид этой функции 1П; 24]. Изложенные рассуждения дают повод к следующему вопросу. Мы искали решение уравнения (2) как решение, входящее в целый класс решений, имеющих неявное уравнение (!4), содержащее произвольную постоянную С. Нетрудно показать, что- мы таким путем не потеряем ни одного решения нашего уравнения.
Для этого надо принять во внимание то, что, ввиду произвольности начальных данных в задаче Коши, мы можем всякое решение нашего уравнения считать входящим в целое семейство решений, содержащее произвольную постоянную. Решая относительно этой произвольной постоянной, мы и убедимся в том, что всякое решение может быть получено из формулы вида (14). Мы могли бы потерять лишь такие решения (особые решения), которые не могут быть получены указанным выше процессом путем решения задачи Коши Таких решений не может быть, если функции а, Ь и с удовлетворяют некоторым общим условиям. На подробностях доказательства мы не останавливаемся. 3.
Случай любого числа переменных. Рассмотрим квазилинейное уравнение 'с любым числом независимых переменных: а, (хь..., х, и) р, + ... + а„(хь .. „х„, и) р„= с(хь ..., х„, и). (16) !8 ГЛ. Ь ОБШАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [3 В дальнейшем мы будем всегда считать, что коэффициенты а!, ам ..,, а, при рассматриваемых значениях переменных х!, хг, ..., х„, и одновременно в нуль не обращаются, т. е. аэ!+а,'+ ... +а'„> О. Прн исследовании уравнения (16) мы будем пользоваться геометрическими терминами по аналогии с трехмерным пространством. Детальных формулировок и доказа. тельств мы проводить не будем. В данном случае мы имеем (и+ 1)-мерное пространство с координатами (хь ..., х„, и), Назовем т-мерным многообразием в таком пространстве сова.
купность точек, координаты которых выражаются через т про. извольных параметров: хь=хь(!!, ..., 1„); и=и(1!, ..., ! ) (й=1, 2...„п). причем мы считаем, что какие-нибудь т из написанных уравнений разрешимы относительно г!, ..., 1 . При т = и мы имеем и-мерное многообразие, которое мы будем называть поверхностью. Если за параметры принять х!, ..., х„, то будем иметь явное уравнение поверхности: и = и(х!, ..., х„). Именно такой внд должно иметь уравнение интегральной поверхности уравнения (16).
При т = 1 соответствующее одномерное многообразие называется линией (и + 1) -мерного пространства. Определим характеристики уравнения (16) следующей системой: ех ви — „,А =а„(хн ..., х„, и); . д — — с(хь ..., х„, и), (17) где э — вспомогательный параметр. Всякое решение этой системы порождает некотору!о линию (и+1)-мерного пространства, так как решение, в котором все хл и и — постоянны, не может существовать в силу нашего предположения, что а',+а,'+ ... ...
+ а'„> О. Координаты этой линии будут выражаться через параметр э. Чтобы построить из 'этих линий поверхность, нам надо взять семейство таких линий, зависящее от (и — 1) произвольных параметров. В общем получится совокупность точек, зависящая от и параметров. Если некоторая гладкая поверхность и = и(х!, ..., х,) образована семейством характеристик, зависящим от (и — !) параметров, то это. есть интегральная поверхность уравнения (16).
Действительно, дифференцируя и(х!, ..., х,) по э и пользуясь уравнениями (!7), получим л л'и Х'л к!, ° к-! ли Но, в силу последнего из уравнений, — „= с, откуда и вытекает лк уравнение (16). Наоборот, всякую гладкую интегральную по- СЛУЧАИ ЛЮБОГО ЧИСЛА ПЕРЕМЕННЫХ верхность и = и(х, ..., х ) можно представить себе образованной семейством характеристик, зависящим от (л — 1) параметров. Действительно, имея интегральную поверхность и = = и(хь ..., х„), мы можем определить хА из системы уравнений: — А=аь[хь ..., х„, и(х„..., х„)[ (й=1, 2, ..., Л), (18) что даст нам (и — !) произвольных постоянных.
Одна произвольная постоянная, входящая аддитивно в з, не будет играть существенной роли. Подставляя решение системы (18) в правую часть и = и(хь ..., х„), дифференцируя по з и пользуясь уравнениями (!б) и (18), мы убедимся в том, что и будет удовлетворять последнему из уравнений (!7). Мы считаем, как н в [2[, что и(хь ..., х ) и правые части уравнений (17) имеют непрерывные производные первого порядка. Задача Коши для уравнения (16) состоит в определении интегральной поверхности, содержащей заданное (и — 1)-мерное многообразие: хь=х„(!ь ..., 1„1); и=и(!ь ..., 1„,) (/г=1, 2, ..., и), (19) причем правые части этих равенств непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка внутри некоторой области Р(п — !)-мерного пространства (!ь ..., 1„,), Считается, что ранг матрицы, составленной из производных дхь —, равен (н — 1) и что различным системам значений (1ь ...
аг, ' ..., 1„,) отвечают различные точки (хь ..., х„), Далее, как упомянуто выше, предполагается, что коэффициенты аА(хь ... ..., х„, и) и с(хь ..., х„, и) имеют непрерывные производные первого порядка в некоторой области пространства, содержащей внутри себя многообразие (!9). В частном случае это условие в задаче Коши может состоять в задании искомой функции и при заданном значении одной из независимых переменных как функции от остальных переменных: и [ Гл=ср(хзи ..., х„).
(20) Решение задачи проводится совершенно аналогично случаю двух независимых переменных, Выражения (!9) принимаем за начальные условия при интегрировании системы (!7). Таким образом,мы получаем решение вида х,=х,(з, 1ь ..., Ф, 1)! и=и(з, Гп ..., 1„;). (21) эо Гл. ь ОВШАя теОРия уРАВнения с чАстными НРОизВодными и Существенную роль в дальнейшем играет определитель: дк„ дх дхх дб дхр дх дхр дб дх~ дз дх~ дб ' (22) дх~ дхр дк„ д~л-~ ' д~а-~ ' ' ' " д1в-~ который мы можем, принимая во внимание уравнения (17), пе. реписать в виде ак а дкх дкп дб ' ''" дб ан дх| дб (23) дед, ' д~д, ' '''' дГ„ Если этот определитель на многообразии (19), т. е. при а: О, отличен от нуля, то первые и из уравнений (21) можно решить относительно з, 1ь ..., 1„1 и, подставляя это решение в послед- нее из уравнений (21), мы получаем интегральную поверхность уравнения (!6).
Никаких других решений задача Коши в этом случае иметь не может. Все это доказывается совершенно так же, как и в случае двух независимых переменных. Рассмотрим тот случай, когда начальное условие имеет вид (20); роль пара- метров (ь ..., 1, 1 играют хь .. х„. Возьмем линейное урав- нение и предположим, что определитель (23) на нашем многодхр образин отличен от нуля. Принимая во внимание, что — = 0 дхр дх, при р~ с и — =1, получим б = а, чьО.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
