1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Наметим предварительно решение поставленной задачи [П; 231. Пусть Мв — некоторая точка линии 1. Примем ее координаты за начальные данные функций, определяемых системой (4). Согласно теореме существования и единственности, получим вполне определенную характеристику, выходящую из этой точки Мм Проделывая это для каждой точки линии 1, мы будем иметь семейство характе. ристик; положим, что они образуют некоторую поверхность 5 с уравнением и = и(х, у). Она проходит через линию 1 и, согласно сказанному выше, является интегральной поверхностью уравнения (2).
Строгое проведение доказательства существования и единственности решения задачи требует некоторых предположений о правых частях уравнений (4) и некоторых существенных оговорок относительно линии 1. Если, например, заданная линия 1 сама есть характеристика, то указанный выше прием проведения характеристик из точек линии 1 приведет не к поверхности, а к самой линии 1.
В этом случае решений может быть бесчисленное множество [П; 24). Действительно, проведем через некоторую точку линии 1 линию 11, которая уже не является характеристикой. Проведя из точек этой линии характеристики (среди них будет участвовать и данная линия 1), мы получим, при соблюдении некоторых условий, интегральную поверхность, проходящую через заданную линию 1. Принимая во внимание произвольность в выборе 11, мы видим, что задача имеет бесчисленное множество решений, если заданная линия 1 есть характеристика. Может оказаться, что задача вовсе не имеет решения.
Это будет в том случае, когда характеристики, выходящие из точек линии 1, не образуют в окрестности этой линии поверхность, имею1цую явное уравнение и = и(к, у), где и(х, у) однозначна и непрерывна и имеет непрерывные производные первого по-. рядка.
Так будет, например, если упомянутые характеристики Образуют цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси и. В следующем параграфе мы перейдем к выяснению условий, при которых поставленная задача имеет одно определенное решение. 2. Задача Коши и характеристики. Под задачей Коши подразумевают обычно формулированную выше задачу об определении интегральной поверхности уравнения (2), проходящей через заданную линию 1.
Для точного исследования вопроса о существовании и единственности решения этой задачи нам придется пользоваться одной теоремой из теории обыкновенных дифференциальных уравнений, а именно: з»ЙАчА коши и хАРАктвэистики сз Теорем а. Если правьсе части системы дифференциальных уравнений ву — „„» =~»(х, у<, ..., у„) (й=1, 2, ..., и) (5) суть непрерывные функции своих аргументов в некоторой области, определяемой неравенствами 1х — а 1(~А; ! у» — Ь»1~В (й= 1, 2, ..., и), (6) и если, кроме того, в этой области существуют непрерывные а1, частные производные —. то решение система< (5), определяеду» ' мое в силу теоремы существования и единственности любыми начальными данньслси(х„у~ ..., уо), находящимися внутри об- ласти (6): у„=ф»(х, х»1 уо ...
уо) (й=1, 2, ..., и), непрерывно по своим аргументам и допускает частнь<е произдф» водные — по начальным данным, которые являются непредуо рывными функциями своих аргументов (х, х, уо ..., уо) в некоторой окрестности взятых начальных данных. Чтобы не прерывать изложение, мы отложим доказательство этой теоремы до одного из следующих параграфов. Вернемся к решению задачи Коши. Положим, что уравнение линии 1 задано в параметрической форме: хо = хо(1)' уо = уо(1); ио = ио(1) (1о ~1~(1<) (?) и допустим, что правые части уравнений (4) удовлетворяют условиям формулированной выше теоремы в некоторой области пространства (х, у, и), содержащей внутри себя линию 1.
Принимая координаты точек 1 за начальные данные при г = О, мы получим решение системы (4): х=х(э, хо уо ио)' у=у(г, хо, уо, ио)' и=и(э, хо «о ио) при з, достаточно близких к нулю, или, в силу (?), х=х(э, 1); у=у(г, 1); и=и(е, 1). (8) Считая, что правые части уравнений (7) непрерывно дифференцируемы по 1, и пользуясь указанной выше теоремой, мы можем утверждать, что функции (8) имеют непрерывные производные не только по э, но и по 1.
При любом заданном 1 из промежутка 1о ( 1 ( 1< функции (8) определены при всех е, 14 гл. ь овшхя твовия квавнвнии с частными пгонзводными в достаточно близких к нулю. Составим функциональнь|й определитель от первых двух из этих функций по з и 1: Ь =ху,— ху,. (9) Существенным для дальнейшего будет тот факт, является ли этот определитель отличным от нуля или нет. Мы рассмотрим, во-первых, тот случай, когда Л ~= О вдоль линии 1, и, во-вторых, тот случай, когда Л = О вдоль линии 1.
Начнем с первого случая: Л чь О (вдоль линии 1), (1О) т. е. й чь О при з = О, но тем самым, в силу непрерывности производных, А~ О и в некоторой окрестности начального значения з = О и значения 1, соответствующего некоторой точке М линии 1. При этом первые два из уравнений (8) можно решить относительно з и 1 при всех х и у, находящихся в окрестности координат (ха, уо) точки М линии 1. Это решение — единственно; и полученные функции з(х, у), 1(х,у) имеют непрерывные производные первого порядка [!Ип 19]. Подставляя полученные функции з(х, у) и 1(х, у) в третье из уравнений (8), мы и будем иметь в упомянутой окрестности функцию и(х, у), имеющую непрерывные производные первого порядка, причем поверхность и = и(х, у) содержит некоторый участок линии 1 в окрестности М.
Из указанных в предыдущем параграфе геометрических соображений непосредственно следует,что и(х,у) удовлетворяет уравнению (2). Мы это проверим ниже и аналитически. Отметим, что мы построили решение и(х, у) лишь в некото. рой окрестности любой заданной точки М линии 1, или, как говорят, получили локальное решение задачи. При некоторых условиях, налагаемых на а, Ь, с и линию 1, можно убедиться в возможности построения интегральной поверхности в некоторой окрестности всей линии 1, т. е. при всех х и у, достаточно близких к линии х = х,(1), у = уч(1) на плоскости (х, у).
При этом считается, что производные х'(1) и у,'(1) одновременно в нуль не обращаются. Точная формулировка подобных результатов будет указана в следующем параграфе. Воцрос о существовании решения уравнения в некоторой наперед предписанной области плоскости (х, у) представляет большие трудности. Можно построить область В плоскости (х, у) и в ней функцию Ь(х,у), имеющую производные всех порядков, так, что для уравнения и„+ Ь(х, у)иа О только и = сопз( будет решением, имеющим непрерывные производные первого порядка н существующим во всей области В. Проверим теперь, что построенная функция и(х, у) действительно является решением уравнения (2).
Пользуясь правилом эодочо коши и хоооктооистики дифференцирования сложных функций и уравнениями (4), мо.лем написать: ои — „, =и„а+и„Ь. Это уравнение имеет место для всех з и г, находящихся в окрестности з = О, и значения 1, соответствующего некоторой точке о'и М(хо, уо, го) линии й Но — = с, и, следовательно, и(х, у) удовоо летворяет уравнению (2) при всех (х, у), лежащих в окрестности (хо уо). Для доказательства единственности достаточно убедиться в том, что всякая гладкая интегральная поверхность и = и(х, у), проходящая через 1, может быть образована характеристиками, Образуем систему дифференциальных уравнений: — =а[х, у, и(х, у)]; --.2-=Ь[х, у, и(х, у)].
(11) В силу сделанных предположений правые части таковы, что имеет место теорема существования и единственности для всех (х, у) в окрестности (хо, уо). Из того факта, что интегральная поверхность имеет явное уравнение и = и(х, у) и проходит через участок линии ! в окрестности точки М (хо, уо, го), следует, что координаты (х, у) различных точек линии ! в окрестности М различны (мы считаем, что ! не пересекает себя). Беря эти координаты за начальные данные ири интегрировании системы (11) и подставляя полученные решения в функцию и = и(х, у), будем иметь семейство линий на нашей интегральной поверхности.
Вдоль этих линий, в силу (11), удовлетворяются первые два из уравнений (4). Нетрудно проверить, что удовлетворяется и третье уравнение. Действительно, пользуясь (1!), получаем а'и — =и„а+ и„Ь. Но и = и(х, у) есть интегральная поверхность, т. е. и а + иоЬ = о'и = с, откуда — =с.
Таким образом, упомянутые выше линии, е'о покрывающие поверхность и = и(х, у), суть действительно характеристики. Итак, ~ри условии (!О) задача Коши имеет единственное решение. Мы еще вернемся к вопросу о единственности при рассмотрении нелинейных уравнений первого порядка. Положим теперь, что вдоль линии 1, т. е. при з = О, мы имеем (12) Ь=х,у, — хоу,=О. Покажем, что если в этом случае существует интегральная поверхность и = и(х, у) с непрерывными производными первого [6 ГЛ 1 ОВШАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ [3 порядка, проходящая через 1, то эта линия должна быть характеристикой. Здесь, как и выше, когда мы говорим, что поверхность и = и(х, у) проходит через линию 1, то понимаем это локально, т. е.
рассматриваем лишь некоторый участок й Будем считать, что а и Ь отличны от нуля вдоль 1. Принимая во внимание первые два из уравнений (4), мы можем написать условие (12) в виде — '= Ь' — — й ( =О), (13) где буквою й мы обозндчили общую величину написанных отношений. Пусть и = и(х, у) — интегральная поверхность, проходящая через 1. Подставляя в и(х, у) выражения х = хо(!) и у= = уо([), дифференцируя по 1 и пользуясь (13), мы получим ви — =и„йа+ иРЬЬ. Принимая во внимание, что и = и(х, у) есть решение уравнения (2), и пользуясь этим уравнением, можем в'и написать далее — „= йс, что и приведет нас к системе «! ус и! — — — (в=О) а Ь о У из которой следует, что линия 1 есть характеристика. Итак, если Ь = О, то для того, чтобы существовала интегральная поверхность, проходящая через линию 1, необходимо, чтобы эта линия была характеристикой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
