1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Леля уравнение на дхр коэффициент а„придем к уравнению вида р, +ах(хь ..., х„) р, + ... +а,(хь ..., х„) р„= =Ь(х„..., х„)и+с(хь ..., х„). (24) Предположим, что ах, Ь и с непрерывны и имеют непрерывные частные производные первого порядка по хм ..., х„при а ( ( х, ( р и произвольных вещественных хв ..., х,.
Положим, кроме того, что при этих условиях указанные функции ограни- чены: ~ ах ~ ( М; 1Ь ~ ( М; 1с ~ ( М. Выбирая х~ за независимую переменную, запишем систему (17) в виде — „А =ар(хн ..., х„) (Ь=2, ..., П), (25) — =Ь(хь ..., х„)и+ с(х„..., х„). (26) ах~ СЛУЧАИ ЛЮБОГО ЧИСЛА ПЕРЕМЕННЫХ Пусть х>о> — начальное значение х> из промежутка [а, Я.
Проинтегрируем систему (25) при некоторых начальных уело. виях: х„[ >о> = х>оо> (й = 2 ..., и). Из [по[( М следует, что решения хо системы (25) имеют их,1 ограниченные производные ~ — [~(М, и тем самым сами велио>х, [ чины хх остаются ограниченными по абсолютной величине: [х, — х>оо>[~(М(5 — а). Применяя метод последовательных приближений [П; 51[, мы легко убедимся в том, что упомянутые решения х,=>р (хн х>о> х>о> х>о>) (й=2, ..., и) (27) 4 существуют во всем попомежутке а(х> < р, при произвольных начальных данных х' ' (5=2, ..., и).
Мы можем сказать, что интегральная кривая, проходящая через точку Ао(х>>~>, ххи>, ..., х>о>), приходит в точку А(хь хь ..., х„), координаты которой определяются формулами (27). Принимая во внимание теорему единственности, можем утверждать, что если взять точку А за начальную, то соответствующая интегральная кривая пройдет через точку Ао. Отсюда следует, что уравнения (27) при произвольных хо разрешимы относительно х,"', ... х>">, причем решение имеет вид х'о>=>р (хол х„х,, ..., х ) (й=2, ..., и).
(27,) Положим, что мы хотим решить задачу Коши при начальном данном (20). Мы должны, согласно сказанному выше, проинтегрировать уравнения (25) и (26) при начальных данных х ! >о>=х'о> (Й=2, ..., и); о к> х> и ) >о> = >р (х>о> х>о>) к>-к> где произвольные величины х>оо>, ..., х>о> играют роль 1>, ..., 1 >.
Подставляя (27) в уравнение (26), интегрируем последнее уравнение: к| ~к>*Г, .... *Г>к- [ >*, к, ". к.> - к.,1. »о> к>о> х> где «! ш= ~ Ь(хь Фщ ° ° ° фи)а<х! «<о! к! н в аргументах Ь н с стоят фа(х„х<<о1, х<е<, ..., х~<!).
Подставляя в правую часть (28) выражение (27!), получим искомое решение и(х<, ..., х ) задачи Коши. Оно будет существовать во всем промежутке сс ( х! ( [3 н при любых х„..., х„. Это связано с линейностью уравнения и с теми предположениями, которые мы приняли относительно аю Ь и с. Для квазилинейного уравнения (16) можно указать область существования решении прн некоторых предположениях относительно а«и с. Приведем соответствующий результат. Пусть а! = 1, аь и с непрерывны, ограничены н имеют непрерывные пронзводиые при условиях ~ к! — х<а! ~ ( а, ба ~ х, ~ (с (й = 2, ..., а) (29) (30) н любых вещественных и, причем эти производные по абсолютной величине не превосходят некоторой постоянной А.
Пусть ф(хэ, , х„) непрерывна и ограничена при условиях (30) и имеет непрерывные производные первого порядка, которые по абсолютной величине не превышают некоторой постоян. ной В При этом уравнение (16) (а! — — 1) при условии (20) имеет решение в области, определяемой неравенствами ~к! х, ~ ( а, ~ к к, ) « лд 19 [1 + (а 1)(В + 1) 1 <е! , <о! ! Г и неравенствами (30) [К а м к е (Капйе). <)!!<егеп<!а1и1е!сйппяеп геепег Рппй!юпеп, Ее!рх!д, 1952]. Рассмотрим теперь тот случай, когда а = 0 на многообразии (19). Будем считать, что один из миноров определителя б, соответствующих элементам первой строки, отличен от,нуля. Равенство а 0 показывает, что при этом элементы первой строки представляют собою линейную комбинацию соответ. ствующих элементов остальных строк, т е.
имеет место соотношение дх ! (31) где Л,— определенные функции параметров (!ь ..., <,,). Если на многоОбраэйи (19) и функция с представима формулой и ! ди с=~ Л вЂ”, <д<,' ! ! (32) то в этом случае многообразие (19) называется характеристическим многообразием для нашего уравнения. Можно показать, что всякое характеристическое многообразие (19) уравнения (16) может быть образовано характериатиками этого уравнения н что, если для многообразия (19) а 0 н через 22 ГЛ ! ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ <З ПРИМЕРЫ 23 это многообразие проходит гладкая интегральная поверхность и = и(хь хо, ..., х,), то это многообразие должно быть характеристическим. Через характеристическое многообразие может проходить бесчисленное множество интегральных поверхностей.
Совершенно так же, как и в случае двух независимых переменных, можно привести квазилинейное неоднородное уравнение (!6) к чисто линейному однородному уравнению, если искать решение уравнения (16) в неявной форме: ял(х„..., хя, и) С, где С вЂ” произвольная постоянная.
Для функции ф получаем уравн иллрх + ... + и„ф„+сор =О. Соответствующая система обыкновенных дифференциальных уравнений будет г(х, г(хи л(и (33) а, "' а„с Если Е, (х„.. „х„, и) = Сн ...; ф„(хь ..., х„, и) = С, (34) ее независимые интегралы, то ураваение г (лрл " %л) =*О где г — произвольная функция своих аргументов, дает решение уравнения (16) в неявной форме. В правой части последнего равенства мы пишем нуль вместо произвольной постоянной, поскольку г" является произвольной функ. цией своих аргументов.
Для построения интегральной поверхности, содержащей данное многообразие (19), мы подставим выражения (19) в левые части интегралов (34). Исключая из полученных таким образом и уравнений (и — 11 параметров 1и ..,, 1, л, мы будем иметь соотношение между произвольными постоянными: Р(С, ..., С„) = О Левая часть этого соотношения и определит нам вид функции г. Подставляя в левую часть последнего уравнения влоесто Сл функции ф*(хь ..., х„, и), мы и получим уравнение искомой интегральной поверхности.
4. Примеры. 1. Рассмотрим уравнение 3 (и — у)'д — 4 =6. (35) Система (4) имеет вид Нх л(у л(и — = 3(и — у)о, — — 1: — О, Нз из ' йз (36) Подставляя в (37) ха = О, уо = ио = й получим х з', у= — э+й и !! определитель й ху — ху 3зз ол то и ее решение, выраженное через начальные значения переменных (х, у, и), будет х (ио — Уо+ з)о+ хо — (ио — Уо)о! У вЂ” з+ Уо' и = ио (37) Положим, что уравнения (7) линии 1, через которую лолжна проходить иска мая интегральная поверхность, имеют вид х=б, у=В и !.
(38) 24 Гл. е Оная теория уРАВнений с чАстными НРОНЗВОдными (4 обращается в нуль при з О, т.е. вдоль 1. Линия (38) не является каракте. ристнкой уравнения (35), так как, в силу последнего из уравнений (36)„ вдоль характеристики и должна быть постоянной. Имеется все же интегральная поверхность уравнении (35), проходящая через линию (38), а именно: и= ух+ у.
2 ) з В данном слУчае Р их — х ° и зта частная производная обращается 3 в бесконечность вдоль линии (38). 2. Рассмотрим уравнение для функции и трек незавнсимык переменных: р~+ рз+ рз и. Составляя систему ()7) и интегрируя ее, получим следующее решение, выраженное через начальные значения х и ио переменнык: о хз в+ха,' и=иве* (й 1, 2, 3). (39) Пусть требуется найти интегральную поверхность, содержащую многообразие к~=1~+те' хз 1~ — 1з: хз 1' и=1А. Подставляя зги выражения вместо начальник значений в уравнения (39), получим х, в+ 1~ + 1з' хз в+1~ — гз' хз з+ 1; и ~111зез. (40) Первые три уравнения разрешимы относительно з, 1з и 1з (случай ь ба 0): 1 ( з = хз — В 1~ = — (х~ + хз — 2хз+ 2); 1з з — (х~ — хз); 2 2 подставляя эти выражения в последнее из уравнений (40), получим уравнение искомой интегральной поверхности: и = — (х, + хз — 2хз+ 2) (х, — хз) е ' 1 х,-з 4 3.
Будем искать решение уравнения их — ие 1(х+ У), непрерывное с производными первого порядка и удовлетворяющее условию и 0 при х = О. Мы можем ввести замену переменных: х хб х+У Уь пользуясь которой без труда получим следующий ответ: и (х, у) = х( (х+ у). Эта формула действительно дает решение поставленной задачи, если функция 1(1) имеет непрерывную производную. Если 1(1) не обладает непрерывной производной, то поставленная залача ие имеет гладких решений. Известно, что существуют непрерывные функции 1(1], не имеющие нигде производной. Приведенный пример показывает существенность предположения о существовании и непрерывности производной у с в уравнении (2).
(Пер.р он (Реггоп). — Майк 2,, 1928, 27, Рй 4.) ВСПОМОГАТЕЛЪНАЯ ТЕОРЕМА 3. Вспомогательная теорема. В настоящем параграфе приведем доказательство теоремы, которую мы формулирояали в (2]. Докажем сначала одно вспомвгательное предложение. Положим, что правые части системы уравнений а =)а(х, уп ..., усг А) (й 1, 2, ..., «) (41) содержат параметр )с. Пусть, далее, эти правые части — непрерывные фуннции, имеющие непрерывные производные по всем у» при (х — а]~А; ] у — Ьа]~В (й 1, 2, ..., н), (42) где а и Ь» — заданные числа, и при изменении Х в ненотором промежутке а < )» ( р. Пусть М вЂ” наибольшая величина абсолютных аначений ])А(Х, у, ..., уш Л) ] (й 1, ..., Н) при указанных значениях переменных. При этом система (41) имеет едян- ственное решение, удовлетворяющее начальным данным: (43) уь ]„= Ьь (А=1...ы и).
Это решение существует в промежутке ]х — а]( й, где й — наименьшее иэ двух чисел А и В/М, и оно может быть получено в этом промежутке по методу последовательных приближений (П; 31]. Последовательные приближения, вычисляемые по формулам, указанным в (П; 51], будут непрерывными функциями х и А, и, в силу равномерной сходнмости последовательных приближений относительно х и )» (П; 31], мы можем утверждать, что и функции, дающие решение системы (41), удовлетворяющее начальным условиям (43), будут непрерывными функциямн аргументов х и Х. Мы могли бы считать, конечно, что правые части уравнений (41) содержат не один, а несколько параметров.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
