1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 7
Текст из файла (страница 7)
лу 5!5 и5 !г5 (66) Чтобы найти упомянутые линии на заданной интегральной поверхности, достаточно проинтегрировать уравнение первого по. рядка Лх ЛУ Р с) (67) причем знаменатели написанных дробей содержат только переменные х и у, поскольку функция и и ее частные производные р и д на заданной поверхности являются известными функциями х и у. Интегрируя уравнение (67) и пользуясь уравнением поверхности и = и(х, у), мы и получим упомянутые выше линии В случае линейного уравнения (2) мы имели в каждой точке одно определенное направление, и касательная плоскость к искомым интегральным поверхностям должна была содержать это направление В данном случае мы имеем в каждой точке вместо одного определенного направления конус Т, и касательная плоскость к искомым интегральным поверхносгям должна касаться этого конуса Мы не можем, таким образом, для нелинейного уравнения (59) строить непосредственно характеристические кривые так, как это мы делали для линейного уравнения (2), имея определенное поле направлений.
В данном случае вместо поля направлений мы имеем поле конусов Т. Но мы покажем сейчас, что, имея интегральную поверхность 5 и = и(т, у) уравнения (59),мы можем покрыть ее линиями, которые вполне аналогичны характеристическим линиям линейного уравнения (2). Действительно, в каждой точке интегральной поверхности касательная плоскость должна касаться конуса Т, соответствующего этой точке, и, тем самым, должна содержать одну из образующих этого конуса, вдоль которой она и касается конуса Эти образующие конусов Т в различных точках поверхности создают на интегральной поверхности некоторое поле направлений и, тем самым, интегрируя соответствующее этому полю направлений дифференциальное уравнение первого порядка, мы покрываем нашу поверхность семейством кривых г', зависящим от одного параметра.
Направляющие косинусы упомянутого поля направлений должны быть пропорциональны знаменателям уравнения (64), где р и д определяются непосредственно из уравнения рассматриваемой интегральной поверхности Таким образом, вдоль упомянутых линий, покрывающих заданную интегральную поверхность, должно выполняться соотношение Щ НЕЛИНЕИНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА з1 Г. Правые части уравнений (66) имеют определенный смысл только при определенном выборе интегральной поверхности и = и(х, у). Знание интегральной поверхности дает нам р и а как функции от (х, у). Мы дополним сейчас систему уравнений (66) еще двумя уравнениями, содержащими дифференциалы г(р и дд так, чтобы получилась система дифференциальных уравнений, не зависящая от выбора интегральной поверхности уравнения (59).
Обозначим через г, а и г вторые производные функции рл а= иху, 'Г=иуу, г = пхх', а через Х, У и 0 обозначим производные от левой части уравнения (59) по х, у и Рл Х=Рх~ У=РР~ ГГ Ри Дифференцируя левую часть уравнения (55) по х и у полным образом, мы получим Х+Ор+Рг+Яа=О; У+ИгГ+Ра+ЯГ=О. С другой стороны, мы имеем, очевидно, — =г — + а — = Рг+чга, лр лх лу ах дх ах — ~ = а — + г — У = Ра + (гг. иа лх Фу рх рх рх Из написанных уравнений непосредственно вытекает, что — = — (Х+ ); — = — ( + 0р Й~ рх Фх и, следовательно, мы можем добавить к уравнениям (66) еще два последних уравнения, и, таким образом, получим следующую систему пяги дифференциальных уравнений с пятью функциями вспомогательного параметра з: ух Ыу Ыи — =Р; +=Я; —,х — — РР+дЯ; —,= — (х+ ир) — „, = — (у+ ид).
др ах Мы можем, таким образом, утверждать, что на любой интегральной поверхности, вдоль всякой линии Г, построенной нами выше, должны выполняться уравнения (68). Систему дифференциальных уравнений (68) мы можем рассматривать саму по себе, независимо от интегральных поверхностей уравнения (59). Эта система называется характеристической системой уравнения (59), зт гл ~ овшхя твооия тговнеиии с частными пооизводными Р Отметим, что при выводе уравнений (68) мы пользовались производными второго порядка функции и. Кроме того, для иас существенно при интегрировании (68), чтобы правые части имели непрерывные производные первого порядка.
Учитывая все это, сформулируем полученный нами результат. Пусть и(х, у)— решение уравнения (59), имеющее непрерывные производные до второго порядка в окрестности некоторой точки (хо, уо). Обозначим ио = и(хо, уо), ро = и,(хо уо), до = ио(хо, уо). Мы считаем, что Р(х, у, и, р, в) однозначна, непрерывна и имеет непрерывные производные до второго порядка в некоторой окрестности значений (хо, уо, ио, ро, до). При этом система (68) имеет одно определенное решение хо(в), уо(в), ио(в), ро(в) до(в) с начальными условиями (хо, уо, иы ро, до) при в = О. Из приведенных выше рассуждений следует, что интегральная поверхность и=и(х, у) содержит указанное выше решение системы (68)при всех в, достаточно близких к нулю, т, е.
ио(в)=и(хо(в) уо(вВ ро(в)=ио(хо(в), уо(в)1' уо(в) = и„[хо(в), уо(в)1. Систему (68) мы можем рассматривать, как мы уже упоминали выше, саму по себе, независимо от уравнения (59), как систему первого порядка для функций (х, у, и, р, д). Нетрудно проверить, что оиа имеет интеграл Р(х, у, и, р, в) =С.
(69) Действительно, дифференцируя по в левую часть написанного равенства и пользуясь уравнениями (68), мы получим — '„", =ХР+т+и(р~ +уО) — Р(Х+ир) — а(У+иу)=О. 7. Характеристические многообразия. Всякое решение системы (68) представляет собой пять функций вспомогательного параметра: х(в), у(в), и(в), р(в), д(в). (70) Мы выделим только те решения системы, которые при подстановке в интеграл (69) дают постоянной С значение, равное нулю.
Назовем такие решения системы (68) характеристическими полосами уравнения (59), т. е. характеристической полосой уравнения (59) называется система функций (70), удовлетворяющих системе (68) и соотношению Р (х, у, и, р, в) = О. (71) мвтод коши Первые три из функций (70) определяют некоторую простран. ственную кривую, а последние две из этих функций определяют вдоль этой кривой некоторую касательную плоскость.
Всякая пространственная кривая, входящая в состав характеристической полосы, называется обычно характеристической кривой уравнения (59). В предыдущем параграфе мы показали, что всякая интегральная поверхность может быть покрыта характе. ристическими полосами и, следовательно, соответствующими этим полосам характеристическими кривыми. Если мы возьмем на некоторой интегральной поверхности точку (хъ уо, ио) и со. ответствующие этой точке значения р = ро и д = до, то по теореме существования и единственности система (68) определит единственную характеристическую полосу по начальным значениям (хо, уо, ио, ро, до), н эта полоса должна целиком принадлежать упомянутой интегральной поверхности, т.
е. если характгристичгская полоса имеет некоторый элемент, общий с интегральной поверхностью, то она целиком лежит на этой интегральной поверхности. Из этого утверждения непосредственно вытекает, что если две интегральные поверхности касаются в некоторой точке, т. е. имеют в этой точке общие р и д, то соответствующая этим начальным значениям характеристическая полоса должна принадлежать обеим интегральным поверхно. стям. Иначе говоря, если двг интегральные поверхности касаются в некоторой точке, то они касаются вдоль характеристической полосы, имеющей начальньом элементом точку касания поверхностей.
Во всех этих рассуждениях мы считаем, конечно, что интегральные поверхности и функция Р удовлетворяют условиям, указанным в предыдущем параграфе, и все относится к окрестности некоторой точки- (хо, уо). Заметим еще, что для того чтобы решение системы (68) удовлетворяло соотношению (7!), т. е. было характеристической полосой, достаточно, в силу (69), проверить, что этому соотношению удовлетворяют начальные данные (хо, уо, ио, ро, до) упомя. нутого решения, т. е. Р(хо, Уо, иэ Ро, Чо)=0 (72) 8. Метод Коши.
Мы выяснили связь системы (68) с уравнени1 м (59). В частности, мы выяснили, что всякая интегральная поверхность представляет собой семейство характеристических полос, зависящее от одного параметра. Положим теперь, что мы сумели проинтегрировать систему (68) и тем самым нашли всевозможные характеристические полосы. Покажем, каким образом мы можем из этих характеристических полос строить интегральные поверхности уравнения (59). Будем считать, что решение системы (68) выражено через параметр э и начальные З4 гл, ь ОЕШАя теОРия РРАВненин с чАстными пРОизвОпными В данные функций, входящих в систему х=х(з, хо, уо, им ро Чо) У=у(з, хо, Уо ио Ро, Чо) и=и(........
), Р=р( . ), у=у(........ ). (78) Желая получить семейство характеристических полос, мы будем считать, что начальные данные (хо, уо, ио, ро, до) мы взяли как функции некоторого параметра 1: хо (г) Уо (г) ио (г) Ро (г) Чо (г) причем эти функции должны удовлетворять соотношению (72). Мы считаем, кроме того, что они имеют непрерывные производные при го ( ( ~ (о и что правые части уравнений (68) имеют непрерывные производные по (х, у, и, р, д) в некоторой области, содержащей многообразие (74) внутри себя, Как мы видели в предыдущем номере, будет удовлетворено при любых значениях з и соотношение (7!). Подставляя функции (74) в правые части формул (73), мы получим х = х (з, Г), у у (з, Г), и = и (з, 1), р=р(з, г), у=у(з, г).
(75) (76) Поскольку определитель второго порядка, составленный из коэффициентов при р и д, по условию, отличен от нуля, мы можем утверждать, что и наоборот, если р и д, определяемые формулами (76), удовлетворяют соотношениям (78), то они являются частными производными от и(х, у) по х и у. Первое из соотно- Уравнения (75) определяют в параметрической форме некоторую поверхность. Если определитель Л = х,уо — х,у, (77) отличен от нуля, что мы будем в дальнейшем считать, то совершенно так же, как и для линейного уравнения, мы сможем определить явное уравнение этой поверхности и = и(х, у). Уравнение (71), как мы видели выше, будет удовлетворено, но остается открытым вопрос, будут ли функции р и д, определяемые формулами (75), частными производными от функции и(х, у) по х и у.
Если это обстоятельство имеет место, то, дифференцируя функцию и(х, у) по з и (, мы будем иметь ди дх ду ди дх ду — — р — — д — =О, — — р — — д — =О. (78) до до до ' до д1 дГ мвтод коши С другой стороны, дифференцируя первое из соотношений (78), которое, как мы только что видели, наверное выполнено, по 6 будем иметь дзи 0--5;5Г д у др дх дд ду " дздг дг дз дг дз Вычитая почленно последнее равенство из предыдущагп, можем дг', записать ц в виде + — =ду д др дх ду ду др дх ду ду з дг дз дг дз дз дТ дз дг ' или, пользуясь системой (68), в виде — Р— — 1~ — + (х+ ир) — + (У+ ид) —. дб др дд дх ду Дифференцируя по г соотношение (7!), которому удовлетворяют функции (75) и (76), мы получим 0-х — +у — +и — +р — +О-~-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
