Главная » Просмотр файлов » 1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49

1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 6

Файл №824744 1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (Курс высшей математики. В 5-ти т. Т. 4 Ч. 2 Смирнов В. И. 1981) 6 страница1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744) страница 62021-01-17СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

Мы можем, таким образом, считать доказанной следующую лемму: Л е м м а. Если лраеые части урааненип (41) содержат некоторые лара- метры Хь ..., Х» и удовлетворяют указанным еьаше условиям, то решение системьь удоелетеоряюи(ее начальным данным (43), где а и Ь» — заданные числа, состоит из непрерывных относительно х и )ч фунхцирл у» = =ф(х,йь...,Х). Замечание. Пусть хо и у» — значения, лежащие внутри области (42)'. а Решения, удовлетворяющие начальным данным уь (ха) = уь, будут функция. з ми этих начальныл данных: у -ф (х хо у'," у',), (44) причем эти функции определены в некоторой окрестности х = хь.

Если ввести новую независимую переменную $ = х — хь и новые фуинции »)ь уь — у, о то система перепишется в виде — "„' -)»(и+хе, пл+УР Па+У',. ", Е.+У'„, А), т.е, начальные значения пойдут а качестве параметров в правые части, а в начальные условия т(»(0) = О будут входить лишь определенные числа. В силу указанной выше леммы, мы можем утверждать, что функции (44) суть не.

прерывные функции своих аргументов. 26 ГЛ |, ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЪ|МИ Ю Перейдем теперь к доказательству теоремы, сформулированной в [2[, причем для простоты изложеаия рассмотрим сначала случай одно|о урав- нения: — -((», у). (у г(х 145) Положим, что правая часть непрерывна н имеет непрерывную производную по у при [х= а[ ~ А. [ у — Ь[ ~ В. (46) Рассмотрим решение уравнения (45), удовлетворяющее начальному усло. вию у(хо) — уо, где хо и уо находятся внутри области (46). Это решение будет функцией от хо и уо; у |р(х, хо уо), (47) и будет определено при », достаточно близких к хо.

Изменим несколько на. чальное значение функции и рассмотрим новое решение: у+ |р (» хо. уо+ Луо). (48) Если Луо достаточно мало по абсолютной величине, то решения (47) н (48) существуют и некоторой опрелеленной окрестности значения х х,. Из уравнения (45) следует, что г((у+ — у) = 7 (х, у+) — [ (х, у), н это уравнение мы можем переписать в виде г( (у+ — у) г(» = а (х, Луо) (у+ — у), где (49) (51) удовлетворяющее начальному условию; (54) [(х, у+) — [ (х, у) у+ — у Это отношение мы считаем известной функцией от х и Луо, поскольку мы считаем известными решения (47) и (48].

Нетрудно видеть, что функция а(Х,Луо) являетсн непрерывной функцией своих аргументов. Это очевидно длз тех значений х и Луо, при которых у+ — у ~ О. Если же при х-ел' и Луо- и' функции у+ и у имеют общий предел у', то из условия существо- вания непрерывной производной непосредственно следует, что [( у+) — [( ° у) + ' ' [г[х, у+ 6(у+ — у)[-Р[г(х, у'), т.е. и в этом случае функция (50) непрерывна. Деля обе части (49) нэ Луо, получим дифференциальное уравнение для отношения (у+ — у): Лу, Прн х»о мы имеем у+ [х „, уо+ Луг и у [„„, уо, т. е. у+ у у — у ~ (52) Итак, отношение (у+ — у): Луо есть решение дифференциального уравнения о(» — а(х, Лу,) и, о|х ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА Поскольку правая часть уравнения (53) есть непрерывная функция параметра йуо при всех йуо, достаточно близких к нулю, то и решение и, удовлетворяющее условию (54), есть непрерывная функция оуо, и, в частности, существует предел упомянутого отношения при Ауо-ьО, т.е.

функция (47) имеет частную производную фьч(х, х, уо) по уо. Эта! частная производная должна быть решением уравйения (53) при Ауо О. Но, в силу (50), а(х, 0) = (о[», ф(х, хо, уо)), и, следовательно, мы можем утверждать, что частная производная ф„,(х, хо, у ) есть решение уравнения »(и — [х, »р (х, х, у )] и, (55) удовлетворяющее условию (54). Поскольку правая часть уравнения (55) есть непрерывная функция параметров х, и уо, мы можем, пользуясь еще раэ леммой, утверждать, что к частная производная фю(х, хз, уз) есть непрерывная функция своих аргументов, и тем самым теорема доказана. 3 а м е ч а н и е !.

Придавая хо некоторое приращение ихо и повторяя предыдущие рассуждения, мы могли бы доказать тот факт, что функция (47) имеет непрерывную частцую произзодну»о ф„,(х, хз, уз). Эта частная производная также должна удовлетворять уравнению (55), но уже не начальному условию (54), а условию и (»-», ) (хз' уз)' Это условие получится непосредственно, если записать уравнение (45) с начальным условием у(хо) = уо в виде интегрального уравнения [П; 5!) у = уо + ~ [ (х, у) »(х. Дифференцируя обе части по х,, мы и получим вышеуказанное начальное условие для и»роь(х, хз, уз) 3 а м е ч а н не 2.

Предыдущее доказательство сохраняет свою силу н для системы уравнений (5). Мы будем иметь решение этой системы: Уо »РА (х, хз Уо, ..., Уи) (й !» 2. ° ... и). (56) Придавая уо! приращение Ау~ получим другое решение: Уь фа!.» ха У!* ° "Ус-! У;+йуп Уге! ° ° ' Уэ). Написав систему (5) для уа и уз и вычитая ночлеино полученные уравие+ ния, разность, получаемую в правой части, перепишем в виде [А(х У! ° Уя) (А(х У! " У ) +ПА(х' У Уз Уз' '' Уэ) (А(х, У!, У ' Уэ~' '' Уий+ + ь»о (» У! У2 ' Уя-! Уй) (а (» У! У2 ''» Уи ! Ул)1' Для отношений иа — — (уя — у ):Ау! получаем систему линейных уравнений г+ х.

о о — ая((», Ау!) и(, ! ! 28 Гл 1 ОвшАЯ теОРия уРАВнении с чАстными пРОизВОдными 16 где (А(х У! °" У)-г.у! ° ° ° "Уя) (А(» Уг "" У1-ь У! У!+! " Уя) пм у! — у! и начальные условия и,( О (й~!); п ( =Е (57) и!А(», уг, ..., у ) Х ду "! ! 1 (58) причем.в коэффициенты этой линейной системы вместо уь надо подставить функции (56). Начальные условия будут по-прежнему определяться формулами (57). Заметим, что систему (58) можно непосредственно получить, под.

ставляя функции (56) в уравнения (5) н дифференцируя обе части по уо!. Но без предварительного доказательства мы не можем утверждать существование частной производной по у! 1 и не можем, строго говоря, менять поря!в 1О' док дифференцирования по» н У! в левой части, Отметим еще, что в случае одного уравнения линейное однородное уравнение (55) интегрируется в конечном виде. Заме чан не 3.

Если правые части !ь уравнений (5) имеют, при условии (6), непрерывные частные производные по у, до некоторого порядка лз, то и функции фа(х, »о, у!! ', ..., У1,1) имеют непрерывные частные производные пор~~)до порядка яг Если 7ь имеют непрерывную частную производную по х, то из самого уравнения (5) следует, что фь будет иметь непрерывные производные дЧ второго порядка по х 6.

Нелинейные уравнения первого порядка. Мы переходим к рассмотрению уравнений с частными производными первого порядка в общем случае. Как и для рассмотренных выше линейных уравнений, мы сначала будем предполагать, что имеются лишь две независимые переменные. Уравнение с частными производными первого порядка для функции от двух независимых переменных имеет вид г" (х, у, и, р, г)) = О. (59) Выясним прежде всего геометрический смысл написанного уравнения. В любой фиксированной точке (х, у, и) уравнение (59) представляет собою соотношение между р и г), т. е. соотношение между направляющими косинусами нормали к поверхности. Удовлетворяющие этому соотношению нормали образуют некоторую коническую поверхность с вершиной (х, у, и). Плоскости, проходящие через точку (х, у, и) и перпендикулярные к образующим этого конуса, представляют собою возможные положе- В остальном доказательство получается таким же, н мы убеждаемся в существовании у функций (56) непрерывных частных производных по у!.

Вместо уравнения (55) мы получаем для этих частных производных систему Уравнений Щ НЕЛИНЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 29 ния касательной плоскости в фиксированной точке (х, у, и) к искомым интегральным поверхностям. Это семейство плоскостей, так же как и семейство образующих конуса нормалей, будет зависеть от одного параметра. Огибающая этого семейства плоскостей будет представлять собою новый конус, который мы назовем конусом Т. Уравнение (59) эквивалентно, таким образом, заданию в каждой точке пространства конуса Т, а искомая интегральная поверхность уравнения (59) должна обладать тем свойством, что в каждой ее точке касательная плоскость должна касаться конуса Т, соответствующего этой точке.

Составим уравнения образующих конуса Т в заданной точке (х, у, и). Пусть р и д — функции некоторого параметра а, удовлетворяющие уравнению (59) в фиксированной точке (х, у, и). Конус Т является огибающей семейства плоскостей: р(а)(Х вЂ” х)+д(а)(У вЂ” у) — (У вЂ” и)=0. (60) Дифференцируя по параметру а, получаем добавочное уравнение — (Х вЂ” х) + — (У вЂ” у) = О. (61) Дифференцируя по а соотношение (59), мы получим Р— +Я вЂ” =0 ир ич аа аа (62) где Р Рр Я Р (63) и, наконец, уравнение (60) дает нам окончательно уравнение образующих конуса: Х вЂ” х 'г — у У вЂ” и Р Я рр+аЯ' (64) Чтобы получить различные образующие конуса Т, мы должны в знаменатели подставлять различные значения р и д, удовлетворяющие соотношению (59) в фиксированной точке (х, у, и).

В дальнейшем мы будем считать, что при рассматриваемых значениях переменных Рр и Рр одновременно в нуль не обращаются, т. е. Р, + Р ) О. Исключением будет лишь случай особых рез з шений уравнения (59). Считая, что — и — не могут быть ар ад аа аа оба одновременно равны нулю, мы из однородных уравнений (61) и (62) получаем А' — х У вЂ” У Ф зп ГЛ 1 ОБШАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ !5 йх йУ 5!и Р = <~ = РР+чЕ (65) или — — "=(); — "" =Рр+ й().

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
16,84 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Зачем заказывать выполнение своего задания, если оно уже было выполнено много много раз? Его можно просто купить или даже скачать бесплатно на СтудИзбе. Найдите нужный учебный материал у нас!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6430
Авторов
на СтудИзбе
306
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее