1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Мы можем, таким образом, считать доказанной следующую лемму: Л е м м а. Если лраеые части урааненип (41) содержат некоторые лара- метры Хь ..., Х» и удовлетворяют указанным еьаше условиям, то решение системьь удоелетеоряюи(ее начальным данным (43), где а и Ь» — заданные числа, состоит из непрерывных относительно х и )ч фунхцирл у» = =ф(х,йь...,Х). Замечание. Пусть хо и у» — значения, лежащие внутри области (42)'. а Решения, удовлетворяющие начальным данным уь (ха) = уь, будут функция. з ми этих начальныл данных: у -ф (х хо у'," у',), (44) причем эти функции определены в некоторой окрестности х = хь.
Если ввести новую независимую переменную $ = х — хь и новые фуинции »)ь уь — у, о то система перепишется в виде — "„' -)»(и+хе, пл+УР Па+У',. ", Е.+У'„, А), т.е, начальные значения пойдут а качестве параметров в правые части, а в начальные условия т(»(0) = О будут входить лишь определенные числа. В силу указанной выше леммы, мы можем утверждать, что функции (44) суть не.
прерывные функции своих аргументов. 26 ГЛ |, ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЪ|МИ Ю Перейдем теперь к доказательству теоремы, сформулированной в [2[, причем для простоты изложеаия рассмотрим сначала случай одно|о урав- нения: — -((», у). (у г(х 145) Положим, что правая часть непрерывна н имеет непрерывную производную по у при [х= а[ ~ А. [ у — Ь[ ~ В. (46) Рассмотрим решение уравнения (45), удовлетворяющее начальному усло. вию у(хо) — уо, где хо и уо находятся внутри области (46). Это решение будет функцией от хо и уо; у |р(х, хо уо), (47) и будет определено при », достаточно близких к хо.
Изменим несколько на. чальное значение функции и рассмотрим новое решение: у+ |р (» хо. уо+ Луо). (48) Если Луо достаточно мало по абсолютной величине, то решения (47) н (48) существуют и некоторой опрелеленной окрестности значения х х,. Из уравнения (45) следует, что г((у+ — у) = 7 (х, у+) — [ (х, у), н это уравнение мы можем переписать в виде г( (у+ — у) г(» = а (х, Луо) (у+ — у), где (49) (51) удовлетворяющее начальному условию; (54) [(х, у+) — [ (х, у) у+ — у Это отношение мы считаем известной функцией от х и Луо, поскольку мы считаем известными решения (47) и (48].
Нетрудно видеть, что функция а(Х,Луо) являетсн непрерывной функцией своих аргументов. Это очевидно длз тех значений х и Луо, при которых у+ — у ~ О. Если же при х-ел' и Луо- и' функции у+ и у имеют общий предел у', то из условия существо- вания непрерывной производной непосредственно следует, что [( у+) — [( ° у) + ' ' [г[х, у+ 6(у+ — у)[-Р[г(х, у'), т.е. и в этом случае функция (50) непрерывна. Деля обе части (49) нэ Луо, получим дифференциальное уравнение для отношения (у+ — у): Лу, Прн х»о мы имеем у+ [х „, уо+ Луг и у [„„, уо, т. е. у+ у у — у ~ (52) Итак, отношение (у+ — у): Луо есть решение дифференциального уравнения о(» — а(х, Лу,) и, о|х ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА Поскольку правая часть уравнения (53) есть непрерывная функция параметра йуо при всех йуо, достаточно близких к нулю, то и решение и, удовлетворяющее условию (54), есть непрерывная функция оуо, и, в частности, существует предел упомянутого отношения при Ауо-ьО, т.е.
функция (47) имеет частную производную фьч(х, х, уо) по уо. Эта! частная производная должна быть решением уравйения (53) при Ауо О. Но, в силу (50), а(х, 0) = (о[», ф(х, хо, уо)), и, следовательно, мы можем утверждать, что частная производная ф„,(х, хо, у ) есть решение уравнения »(и — [х, »р (х, х, у )] и, (55) удовлетворяющее условию (54). Поскольку правая часть уравнения (55) есть непрерывная функция параметров х, и уо, мы можем, пользуясь еще раэ леммой, утверждать, что к частная производная фю(х, хз, уз) есть непрерывная функция своих аргументов, и тем самым теорема доказана. 3 а м е ч а н и е !.
Придавая хо некоторое приращение ихо и повторяя предыдущие рассуждения, мы могли бы доказать тот факт, что функция (47) имеет непрерывную частцую произзодну»о ф„,(х, хз, уз). Эта частная производная также должна удовлетворять уравнению (55), но уже не начальному условию (54), а условию и (»-», ) (хз' уз)' Это условие получится непосредственно, если записать уравнение (45) с начальным условием у(хо) = уо в виде интегрального уравнения [П; 5!) у = уо + ~ [ (х, у) »(х. Дифференцируя обе части по х,, мы и получим вышеуказанное начальное условие для и»роь(х, хз, уз) 3 а м е ч а н не 2.
Предыдущее доказательство сохраняет свою силу н для системы уравнений (5). Мы будем иметь решение этой системы: Уо »РА (х, хз Уо, ..., Уи) (й !» 2. ° ... и). (56) Придавая уо! приращение Ау~ получим другое решение: Уь фа!.» ха У!* ° "Ус-! У;+йуп Уге! ° ° ' Уэ). Написав систему (5) для уа и уз и вычитая ночлеино полученные уравие+ ния, разность, получаемую в правой части, перепишем в виде [А(х У! ° Уя) (А(х У! " У ) +ПА(х' У Уз Уз' '' Уэ) (А(х, У!, У ' Уэ~' '' Уий+ + ь»о (» У! У2 ' Уя-! Уй) (а (» У! У2 ''» Уи ! Ул)1' Для отношений иа — — (уя — у ):Ау! получаем систему линейных уравнений г+ х.
о о — ая((», Ау!) и(, ! ! 28 Гл 1 ОвшАЯ теОРия уРАВнении с чАстными пРОизВОдными 16 где (А(х У! °" У)-г.у! ° ° ° "Уя) (А(» Уг "" У1-ь У! У!+! " Уя) пм у! — у! и начальные условия и,( О (й~!); п ( =Е (57) и!А(», уг, ..., у ) Х ду "! ! 1 (58) причем.в коэффициенты этой линейной системы вместо уь надо подставить функции (56). Начальные условия будут по-прежнему определяться формулами (57). Заметим, что систему (58) можно непосредственно получить, под.
ставляя функции (56) в уравнения (5) н дифференцируя обе части по уо!. Но без предварительного доказательства мы не можем утверждать существование частной производной по у! 1 и не можем, строго говоря, менять поря!в 1О' док дифференцирования по» н У! в левой части, Отметим еще, что в случае одного уравнения линейное однородное уравнение (55) интегрируется в конечном виде. Заме чан не 3.
Если правые части !ь уравнений (5) имеют, при условии (6), непрерывные частные производные по у, до некоторого порядка лз, то и функции фа(х, »о, у!! ', ..., У1,1) имеют непрерывные частные производные пор~~)до порядка яг Если 7ь имеют непрерывную частную производную по х, то из самого уравнения (5) следует, что фь будет иметь непрерывные производные дЧ второго порядка по х 6.
Нелинейные уравнения первого порядка. Мы переходим к рассмотрению уравнений с частными производными первого порядка в общем случае. Как и для рассмотренных выше линейных уравнений, мы сначала будем предполагать, что имеются лишь две независимые переменные. Уравнение с частными производными первого порядка для функции от двух независимых переменных имеет вид г" (х, у, и, р, г)) = О. (59) Выясним прежде всего геометрический смысл написанного уравнения. В любой фиксированной точке (х, у, и) уравнение (59) представляет собою соотношение между р и г), т. е. соотношение между направляющими косинусами нормали к поверхности. Удовлетворяющие этому соотношению нормали образуют некоторую коническую поверхность с вершиной (х, у, и). Плоскости, проходящие через точку (х, у, и) и перпендикулярные к образующим этого конуса, представляют собою возможные положе- В остальном доказательство получается таким же, н мы убеждаемся в существовании у функций (56) непрерывных частных производных по у!.
Вместо уравнения (55) мы получаем для этих частных производных систему Уравнений Щ НЕЛИНЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА 29 ния касательной плоскости в фиксированной точке (х, у, и) к искомым интегральным поверхностям. Это семейство плоскостей, так же как и семейство образующих конуса нормалей, будет зависеть от одного параметра. Огибающая этого семейства плоскостей будет представлять собою новый конус, который мы назовем конусом Т. Уравнение (59) эквивалентно, таким образом, заданию в каждой точке пространства конуса Т, а искомая интегральная поверхность уравнения (59) должна обладать тем свойством, что в каждой ее точке касательная плоскость должна касаться конуса Т, соответствующего этой точке.
Составим уравнения образующих конуса Т в заданной точке (х, у, и). Пусть р и д — функции некоторого параметра а, удовлетворяющие уравнению (59) в фиксированной точке (х, у, и). Конус Т является огибающей семейства плоскостей: р(а)(Х вЂ” х)+д(а)(У вЂ” у) — (У вЂ” и)=0. (60) Дифференцируя по параметру а, получаем добавочное уравнение — (Х вЂ” х) + — (У вЂ” у) = О. (61) Дифференцируя по а соотношение (59), мы получим Р— +Я вЂ” =0 ир ич аа аа (62) где Р Рр Я Р (63) и, наконец, уравнение (60) дает нам окончательно уравнение образующих конуса: Х вЂ” х 'г — у У вЂ” и Р Я рр+аЯ' (64) Чтобы получить различные образующие конуса Т, мы должны в знаменатели подставлять различные значения р и д, удовлетворяющие соотношению (59) в фиксированной точке (х, у, и).
В дальнейшем мы будем считать, что при рассматриваемых значениях переменных Рр и Рр одновременно в нуль не обращаются, т. е. Р, + Р ) О. Исключением будет лишь случай особых рез з шений уравнения (59). Считая, что — и — не могут быть ар ад аа аа оба одновременно равны нулю, мы из однородных уравнений (61) и (62) получаем А' — х У вЂ” У Ф зп ГЛ 1 ОБШАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ !5 йх йУ 5!и Р = <~ = РР+чЕ (65) или — — "=(); — "" =Рр+ й().
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
