1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

167. Предельная задача для сферы (534). !68. Колебания внутренней части сферы (538). 169. Исследование решения (542). 170. Предельная задача для телеграфного уравнения (545). Алфавитный указатель 548 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА В предисловии ко второму изданию пятого тома (1959 г.) Владимир Иванович Смирнов писал, что «предполагается выпуск шестого тома с изложением некоторых вопросов современной теории дифференциальных операторов с одной и несколькими независимыми переменными». Он хотел, чтобы я была соавтором этого нового тома. Однако разные дела и обстоятельства помешали осуществлению этого намерения, и было решено ограничиться расширением четвертого тома.

Для этого во второй том была включена теория интеграла Лебега и пространство 7, а четвертый том был разбит на две части (книги). В первой из них изложена теория интегральных уравнений в пространстве непрерывных функций и в пространстве ьь вариационное исчисление, теория обобщенных производных, основные свойства пространств ЯГ« и (Р~ и задача о минимуме квадратичного функционала в обобщенной постановке.

Эта часть вышла в свет в 1974 году. Переработка и расширение второй части четвертого тома пришлась на время, когда здоровье Владимира Ивановича было подорвано тяжелой болезнью. Тем не менее он нашел в себе силы внимательно прочесть и отредактировать написанные мною дополнения и изменения и высказал пожелании относительно окончательной редакции данной книги.

У Владимира Ивановича было намерение исключить часть материала предыдущего издания, которая ему казалась несколько устаревшей в свете последующих исследований. Но в результате совместного обсуждения он согласился сохранить его и внести лишь небольшие коррективы, необходимые для увязывания старого и нового текстов. Из-за изменений, внесенных ранее в предыдущие тома, пришлось переделывать номера ссылок на них. Оии даются на последние издания всех томов: 23-е издание первого тома (1974 г.), пявдисловив пвдактопа 21-е издание второго тома (1974 г.), 10-е издание первой части третьего тома (1974 г.), 9-е издание второй части третьего тома (1974 г.), на 1-е издание первой части четвертого тома (1974 г.) и на 2-е издание пятого тома (1959 г.).

Например, ссылка на первую часть третьего тома дается в виде [111И 140], где число 140 указывает номер пункта. Если же имеется в виду данная книга, то номер тома не пишется, а приводится лишь номер соответствующего пункта (например, 11001), а иногда и страницы. О. А. Ладыженская Аппепь 1979 г. ГЛАВА 1 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ й !. УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА !. Линейные уравнения с двумя независимыми переменными. Мы неоднократно встречались с различными дифференциальными уравнениями, содержащими частные производные искомой функции. Это были всегда уравнения совершенно специального вида, возникшие из конкретных задач математической физики.

Целью настоящей главы является изложение основ общей теории уравнений с частными производными, причем мы начинаем изложение этой теории с рассмотрения уравнений первого по. рядка. Одно уравнение первого порядка с одной искомой функцией и независимых переменных хь ..., х„ имеет вид р(хь ..., х„, и, рь ..., р„) = О, где х» — независимые переменные и р» = и — частные производные искомой функции по этим независимым переменным.

Мы будем изучать сначала уравнения, линейные относительно частных производных р», т. е. уравнения вида а, (хь ..., х„, и) р, +... + а„(хь ..., х„, и) р„= с (хо ..., х„, и), (1) причем коэффициенты а» и свободный член, с суть заданные функции независимых переменных х» и искомой функции и. Поскольку сама функция и может входить любым образом в коэффициенты и свободный член, такие уравнения называют иногда не линейными, а квазилинейными уравнениями. В настоящем параграфе мы будем рассматривать уравнение вида (1) в случае двух независимых переменных. В этом частном случае независимые переменные обозначаются обычно буквами х и у, а частные производные мы будем, как всегда, обозначать следующим образом: р = и и 'у=и„. Таким образом, предметом исследования настоящего параграфа будут уравнения вида а(х, у, и) р+Ь(х, у, и)а=с(х, у, и). (2) !в гл ь овшля твогия тглвнвнии с честными пгоизводными и Напомним, что мы уже занимались линейными уравнениями с частными производными раньше [П;22] и видели, что задача интегрирования уравнения вида (2) равносильна задаче интегрирования некоторой системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Мы дополним полученные раньше результаты некоторыми новыми фактами, которые окажутся нам полезными в дальнейшем при исследовании более сложных задач. Заданные функции а(х, у, и), Ь(х, у, и) и с(х, у, и) определяют некоторое поле направлений в пространстве (х, у, и), а именно, в каждой фиксированной точке этого пространства мы имеем направление, у которого направляющие косинусы пропорциональны а, Ь и с.

Это поле направлений определяет семейство линий, таких, что любая линия семейства имеет в каждой своей точке касательную, совпадающую с направлением поли в этой точке. Это семейство линий получается в результате интегрирования системы обыкновенных уравнений ех еу 0и а (х, у, и) Ь (х, у, и) с (к, у, и) ' или, если мы обозначим через с(е общую величину написанных трех отношений, системы — =а(х, у, и); — „, =Ь(х, у, и); — „=с(х, у, и).

(4) Величины р, с) и ( — 1) пропорциональны направляющим косинусам нормали к искомой поверхности и = и(х,у), и уравнение (2) выражает условие перпендикулярности ар + Ьд + с( †!) = = О нормали к искомой поверхности с направлением поля, т. е. уравнение (2) сводится к требованию, чтобы в каждой точке искомой поверхности и = и(х, у) направление, определяемое упомянутым выше полем направлений, находилось в касательной плоскости к поверхности. Назовем линии, определяемые системой (4), характеристическими линиями или характеристиками уравнения (2).

Если некоторая поверхность и = и(х, у) представляет собою геометрическое место характеристик уравнения (2), т е. образована линиями 1', которые удовлетворяют системе (4), то в каждой точке этой поверхности касательная к линии 1', проходящей через эту точку, лежит в касательной плоскости к поверхности, и, следовательно, эта поверхность удовлетворяет уравнению (2), т. е. является интегральной поверхностью этого уравнения.

Таким образом, если поверхность и = и(х, у) образована характеристиками уравнения (2), то эта поверхность есть интегральная поверхность этого уравнения. Мы предполагаем, что поверхность и = и(х, у) имеет в каждой точке касательную плоскость и что направление нормали к поверхности меняется непрерывным образом при перемеще- П ЛИНЕПНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ нии вдоль поверхности. Это сводится к существованию и непре. рывности производных первого порядка от и(х, у).

В дальнейшем, говоря об интегральной поверхности, мы будем предполагать, что эта поверхность обладает указанными выше свойствами. Вообще такие поверхности мы для краткости будем называть гладкими. Выше мы показали, что гладкая поверхность, имеющая уравнение и=и(х, у) и образованная характеристиками, есть интегральная поверхность. Можно показать, что и, наоборот, если некоторая гладкая поверхность удовлетворяет уравнению (2), т, е. есть интегральная поверхность, то ее можно покрыть характеристиками. Действительно, если некоторая поверхность 5 удовлетворяет уравнению (2), то в каждой ее точке направление (а, Ь, с) лежит в касательной плоскости к 5, и мы имеем, таким образом, на 5 некоторое поле направлений. Интегрируя соответствующее этому полю направлений обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка, мы и найдем линии Г, лежащие на поверхности 5 и удовлетворяющие системе (4).

Этим уравнением первого порядка может служить, например, уравнение ь'х ь'у а (х, у, и) Ь (х, у, и) ' в котором и заменено его выражением и =и(х, у) из уравнения поверхности 5. Положим, что к полученному уравнению применима теорема существования и единственности, причем его интегральные линии 1 покрывают без пересечений некоторую область О, в которой определена функция и = и(х, у). Линии у суть те линии на 5, проекциями которых на плоскость (х, у) являются линии й При исследовании обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка мы видели )П; 50, 51), что искомые функции вполне определяются заданием начальных значений этих функций при заданном значении независимого переменного.

Из этих начальных данных определяются произвольные постоянные, входящие в общий интеграл, если этот последний нам удалось найти. Но определение решения по начальным данным может быть произведено и без знания общего интеграла, хотя бы при помощи метода последовательных приближений, которым мы пользовались при доказательстве теоремы существования и единственности [П; 51). Общее решение уравнения (2) содержит уже не произвольные постоянные, а произвольные функции )П; 23), и задача определения решения по начальному данному формулируется в этом случае следующим образом: определить ту интегральную поверхность уравнения (2), которая проходит через заданную кривую 1 в пространстве (х, у, и), 12 Гл. ь ОвшАя теОРия уРАВнении с чАстными НРОизводными (2 Если через А мы обозначим проекцию линии 1 на плоскость (х,у), то формулированная задача приводится к задаче разыскания такого решения уравнения (2), которое принимает заданные значения в точках линии Х.

Характеристики

Список файлов книги