1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Ь ОБШАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧА ТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ (за (252) переход к обобщенным решениям существенно расширяет мно. жество его решений. Известно, что для гладких ~ одно из реше ний (252) дается ньютоновским потенциалом. В случае трех пространственных переменных он имеет вид где г = у'(х — х')з + (у — р')'+ (г — г')'.
Если ( непрерывно дифференцируема в замыкании Р ограниченной области Р, то функция (253) имеет непрерывные производные в Р до второго порядка и удовлетворяет в Р уравнению (252). Напротив, существуют такие непрерывные функции (, для которых (253) не имеет непрерывных производных второго порядка и поэтому не является классическим решением уравнения (252).
Покажем, что при любой функции ~, непрерывной в Л, функция и яв. ляется обобщенным решением класса 1.1 уравнения (252). Для этого надо доказать, что иенг.з(Р'), Ю'с:Р, и при любой т) ен С,", (Р) ~~~ и Л1) 1(Х1(Удг= ~~~ )1)1(Х1(У да. (254) При наших предположениях относительно ) функция и непре« рывна и непрерывно дифференцируема в Р, так что она заве. где Р =(Вл,(х, у) 0 ВА, (х, у)) '~ (ВА,(х, у) () Вл, (х, у)) — симме. трическая разность кругов ВА,(х, у) и ВА,(х, у), ~Р~ — ее пло. щадь, а д= т/(х — х)'+(у — у)з. Неравенства (250).
и (251)' дают равномерную ограниченность и равностепенную непрерыв. ность функций (иА(х, у)) в круге РР,. Поэтому предельная для них функция, а ею является и(х, у), будет непрерывной в .Р,. Чтобы доказать ее гармоничность, воспользуемся формулой Пуассона (формула (25) из (П; 205) ) для функций ил, И ( 111, и произвольного фиксированного круга В,(х, у), лежащего в Рр,. В этой формуле можно перейти к пределу по Ь вЂ” «О и убедиться, тем самым, что она справедлива для функции и.
Но, как доказано в [Н; 206], отсюда следует, что и гармонична внутри В,(х, у). Тем самым теорема доказана. Итак, мы убедились, что для уравнения Ли = 0 все его обобщенные решения класса ЬЗ являются классическими, т. е. обычными гармоническими функциями. Напротив, для неоднородного уравнения ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ УРАВНЕНИИ юз домо принадлежит А'.Е(0). Для проверки же равенств (254) рас. смотрим функции и~А1 (х, у, г) = — ! '! '! «(" " * Нх' «(у' Нг', (255) 4п .~ ~4 г Ю где !А есть усреднения функции ) [!Уь 110], продолженной ну- лем вне Р.
Для и<А1 и !» справедливо тождество (254): ~~~ и~А~АЙ~(хууг(г= ~~~ )А«1дхг(у Ыг. (256) При й-~0 функции !А сходятся к 1 в норме ьх(0) и равномерно в любой внутренней подобласти 0' области О. Отсюда нетрудно убедиться, что иоо сходятся к и равномерно в любой Р'. Ввиду этого в (256) можно перейти к пределу по й-~0 (при фиксированной т! из С, (Р)) и убедиться в справедливости (254) для и. Соотношение (254) верно и при любой [~ (.з(0). Более того, прп !еп(.А(0) решения и(х) уравнения (252) имеют обобщенные производные по х первого и второго порядков и удовлетворяют уравнению почти всюду. Мы это докажем ниже в [1481 сразу для эллиптических уравнений общего вида.
Здесь же отметим, что утверждение теоремы, доказанной в данном пункте, справедливо и для уравнения теплопроводности, а именно: обоб. щенные решения класса А'.е однородного уравнения теплопровод. ности являются классическими. Доказательство этого утверждения можно найти в книге: С о б о л е в С Л.
Уравнения математической физики.— М.: Гостехиздат, 1950, с. 314. Его нетрудно провести и самостоятельно. й 3. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ 63. Характеристики систем уравнений. Мы переходим те. перь к исследованию систем уравнений с частными производ. ными. Для аналитического случая вопрос о существовании и единственности решения задачи Коши был изложен нами выше [28].
В неаналитическом случае этот вопрос представляет гораздо ббльшие трудности по сравнению с одним уравнением. Весьма общие результаты в этом направлении были получены И. Г. Петровским в его работах «О проблеме Коши для систем уравнений с частными производными» (Матем. сб., 1937, 2, )тй 5), и «О проблеме Коши для системы линейных уравнений с частными производными в области неаналитических функций» (Бюлл. МГУ, 1938).
Некоторые из отяосящихся сюда результа тов изложены в книге: П е т р о в с к и й И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. — М.: Физматгиз, 196!. Там же указана литература вопроса и обзор результатов. 1д4 гл ! овшхя твогия хе»анании с члстнымн пеоизводнымн !«з Мы ограничимся немногим в отношении систем уравнений и начнем с изложения теории характеристик и связанного с этой теорией вопроса о прерывных решениях.
При изложении теории слабых разрывов и примеров мы следуем книге Леви-Чивита «Теория характеристик и распространение волн». Рассмотрим систему а»' — '+Ф,(х„и,)=0 (1=1, 2, ..., т). (1) ! !> ! Ф Поскольку эта система есть система первого порядка, данные Коши сводятся к заданию начальных значений функций и,(х!, ..., х„) на данной поверхности пространства (х!,..., х„).
Положим, что поверхность, несугцая на себе эти данные, есть плоскость х! = О, т. е. что мы имеем специальные данные Коши: и>(„ч=!р!(хь ..., х„) (1=1, ..., л!). (2) Эти начальные данные дают возможность вычислить на плоскости х! = 0 все производные первого порядка, кроме производных —. Если система (1) при подстановке х, = 0 и других на- ~! дк,' ди! чальных данных (2) разрешима относительно — ° то мы имеем дх, на х, = 0 значения всех производных первого порядка. В противном случае мы будем называть плоскость х! = 0 характеристической.
Вообще, некоторая поверхность е!!(х!, ..., х„)=0 (3) вместе с определенными на ней начальными данными называется характеристической, если эти начальные данные совместно с системой (1) не дают возможности однозначного определения на ней всех производных первого порядка. В том случае, когда коэффициенты а',"' содержат только х„нам неважно знать начальные данные функций и! на поверхности (3).
Для того, чтобы получить те условия, которым должна удовлетворять характеристическая поверхность (3), введем, как и в [40), вместо х» новые независимые переменные х' по формулам х» = м» (х!, ..., х„) (Й = 1, ... > и), (4) где (л — 1) функций ыь ..., ы„выбраны так, чтобы написанные формулы были разрешимы относительно х». Выражая производные по старым переменным через производные по новым переменным, мы получим ди, с-, ди! д«! дхь дк дкь ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ Подставим эти выражения в систему (1), причем выпишем ди только те члены, которые содержат производные —,: дк, и л дх„ дх~ В новых переменных мы имеем данные Коши в специальной форме, а именно этн данные относятся к плоскости к[=О. Эта плоскость будет характеристической, если последняя система не ди~ дает определенных значений для производных —, ° т.
е. если дк1 ди, определитель, образованный из коэффициентов при ° ' равен дх~ нулю. Вводя для краткости обозначение Ч <А> де~ вм=~, пи— дхи ' А-1 мы получаем следующее уравнение первого порядка, которому должна удовлетворять всякая характеристическая поверхность системы (1): ви, вв, ..., в~в вли вйъ, °, ввл [вн [= (6) вти вть влил Это уравнение первого порядка будет т-й степени относительно производных †.
Оно вполне аналогично уравнению (53) из дв, дх [40[. Уравнение (6) должно быть удовлетворено в силу (3). Если мы потребуем, чтобы оно было удовлетворено тождественно, т. е. если мы будем рассматривать его как обычное уравнение первого порядка для функции в1(хь ..., х„), то мы будем иметь семейство в~(кь ..., Х„) = С характеристических поверхностей системы (1). Можно показать (ср. [3]), что всякая характери- стическая поверхность может быть включена в такое семейство.
Если функция в~ (хь ..., х ) такова, что левая часть урав- нейня (6) отлична от нуля на поверхности в~ = О, то, вводя замену переменных (4), мы можем решить преобразованную ди~ систему (1~) относительно —,. дх дв~ Если в левой, части уравнения (6) заменить — ' на ах, то дх„ получим уравнение степени гп для составляющих вектора [96 ГЛ ! ОБШАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕИИИ С ЧАСТПЫМИ ПРОИЗВОДИЫМИ [63 (а[, ..., а„), которое определяет в каждой точке характеристические направления нормали. В каждой точке характеристической поверхности нормаль имеет характеристическое направление.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
