1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 40
Текст из файла (страница 40)
1 1 (2!) бб. Уравнения гадродинамики. Применим теорию характеристик к случаю уравнений гидродииамйки. Обозначим через (и!, из, из) составляющие век. тора скорости, через р — давление, через р — плотность и через !1, !з, !!— составляющие внешней силы, рассчитанной на единицу массы. Незавнснмыми переменными будут время 1 н пространственные координаты х!, хз, х, Мы будем иметь трн уравнения Эйлера: з ди ч-з ди 1 др !+к — !и + — — ! (! 1,2,3), Ш 2.г дх й р дх! й-1 и уравнение неразрывности (П, 114, 113]; з з т ~ Х вЂ”." +р ), —.-' др др ди„ й-1 й-1 Нулем считать жидкость сжимаемой и положим, что уравнение состояния определяется зависимостью давления от плотности р р(р), где р(р) — заданная функция.
Окончательно будем иметь четыре уравнения первого по]задка для функций и!, из, и„ р от независимых переменных х1, хь хз, Ь дн ~р ди, 1 !1р др а + — н + — — — !' (1=1,2,3), д! Х ! дх й р др дх 1 й 1 й 3 з ди„др др р~ — „" + —,+~~ — „й-а й-1 " й-1 2О2 Гл 1. ОвшАя теОРия РРАБненип с чАстными произвОдными мв кинвннния гидаодиндмики 203 Величины ви, определяемые формулами (5), будут а данном случае иметь вид ва ам=ав=азз взз=аа=О э Е '",' — и (4=1,2,3,4), д даз двз двз а — мз — + дт дт 1 Нр двз а 14 р др дх где, как и раньше, вз есть левая часть уравнения характеристяческой поверх.
ности в,(хь»,, «„1)-О. (22) Обозначим, как и выше, через аз сумму: з 1 др двз 0 0 р Нр дхз 1 Ир даз ааз д) р Нр дхз 1 др двз 0 0 0 Нвз дз да, дв, Р Р д»э дхз р др дхз двз да, р дхз ( лаз да, да, двз дв, — — + — из + — из+ — из) ° дт дт дх ~ дхз дхз Раскрывая этот определитель. получим (23) Скорость Р перемещения поверхности (22) в направлении, нормальном к по. верхности, определяется, как известно, формулой (75) из (43).
В каждый данный момент поверхность (22) будет проходить через некоторые жидкие частины. Пусть и,— составляющая скорости жидкой частицы, лежащей на упомянутой поверхности, на нормаль к поверхности в соответствующей точке. дв~ Принимая во внимание, что —: а суть наиравляюшие косинусы упомнну. дх той нормали (в ту сторону, где вз ) О), мы имеем э 1 Г~ дв, и = — ~ и а Л.г " дх„' з ! Разность Р— и„выражающан скорость движения поверхности по отношению к жидким частицам, называется обычно скоростью раснространлная волны. Уравнение первого поряд"з (6), которому должна удовлетворять характерн.
стическая поверхность (22), в данном случае будет иметь вид Мы имеем для этой скоростн следующее выражение: з 1 де!! 1 % ! дв! У=Р— и = — — — — — ~ и» вЂ”, в и д! и л'..г дх »! нлн 1 дв! д! (24) Дифференциальное уравнение характернстическнх цоверхвостей (23) оказывается равносильным двум уравнениям: У =О; Уз= —. д др' (25) Первому уравнению отвечает случай стационарного разрыва, н в дальнейшем мы будем рассматривать лишь второе нз написанных уравненнй. Скорость У, определяемая формулой (25), есть скорость звука: (26) Установим теперь характер разрыва, пользуясь кинематнческнмп н дина.
мнческимн условиями совместности Обозначим через Ал коэффициенты разрывностн, входящие в формулу (17), для функций ил, н через г — соответствующий коэффициент для функции р. Уравнения (18) в данном случае напншутся в анде — й + — — — г=б (»=1,2,3) дв! 1 др дв! д!» р др дх нлн, принимая во внимание (24) н (25), в виде ! дв, — дй»+ — У вЂ” г=о, р дх, т. е. гУ й = — сова, »=р» (27) где сова! — направляющие косинусы нормалн к поверхностн разрыва. Будем рассматривать (Аь йз, Л!) как составляющие некоторого вектора Ь (вектор разрыва производных скорости). Предыдущие формулы могут быть записаны в следующей векторной форме: гУ й= — п, Р где и — единичный вектор нормали к поверхности разрыва.
Мы видим, таким образом, что вектор разрыва производных скорости направлен оо нормали к поверхности разрыва (продольная волна]. Составляющие вектора ускоренна в, выражаются формулами з ди ч ди! ю = !+~ и (! 1,2,3) »! и имеют разрыв прн переходе через поверхность. Положим, что с однои стороны поверхностн мы имеем покой В силу непрерывности самой скорости, ее предельные значения на поверхности с обеих сторон равны нулю, а пронзвод- 254 ГЛ.
1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 1ЗВ 20$ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ ат! ные от скорости будут на поверхности иметь значении, равные скачну, по- скольку перед поверхностью там, где мы имеем покой, эти производные рав. ны нулю. То же самое можно сказать и о составляющих вектора ускорения. Скачок этих составляющих, в силу (27) и (24), определится равенством з дкч 'гв ды! дм! ГЯУв [ю г= Ь вЂ” + хг Ь и — =й — = — — совам д! Ли '"дх ! д( р » 1 » или в векторной форме: ' гдУв [и]= — — п.
Р При указанном выше условии зта формула будет давать вектор ускорения на поверхности разрыва. Рассмотрим теперь так называемый стационарный случай, а именно тот случай, когда функции ив и р не зависят от Г Считая ыг также не зависящим от Г, будем иметь Р = 0 и У = — и,. Положим, что в некоторой области скорость движения жидкости меньше снорости звука (26). Прн этом и по/др давно ]ил]< чг —, и равенство У= — и, невозможно. Таким образом, Ъдр' мы видим, что при дозвуковых скоростях мы не можем иметь в стационарном случае распространяющихся прерывностей.
67. Уравнения теории упругости. В качестве примера применения теории характеристик к системам уравнсний второго порядка рассмотрим уравнения теории упругости в простейшем случае однородной изотропной среды. Обо. значим через (иг, иг, ив) составляющие вектора смещения и через Х и р— обычные постоянные упругого вещества.
Основные уравнения теории упруго. сти представляют собою следующую систему трех уравнений второго порядка для функций (иг, ив, ив) от неэависнмык переменных (хг, х„хм Г); з в д ч"ч ди» ди, (Л+Р) — 7 — +Или! — Р—, + ... =О. дх х'..г дх,. ! д(в »-! Мы будем иметь в данном случае з (г!' ! 23) (6 =( ', !). (28) [()с+ 29) Ы~ — Р [ д!' ) [[РЫ~ — Р ( — ') 1 О. (29) В силу формулы (75) из [43] это уравнение дает нам следующие две воз. можные скорости перемещения поверхности разрыва: ~Л+2Р /! Р Р Уравнение (9), после раскрытия соответствующего определителя, будет в данном случае иметь вид 208 гл.
!. овщля тпория урлвнянии с частными производными (ят В данном случае деформации считаются малыми и ие имеет смысла говорить отдельно о скорости распространения, т. е, скорости неремещения по отношению к частицам материальной среды. Рассмотрим теперь характер прерывности. Вводим коэффициенты прерывности «! производных второго порядка функций и,: (30) В силу (28), уравнения (21) в данном случае имеют вид '(М Р ( д! ) 1«г+(л+)з) д ~~ д «1 1 ! (! 1,2,3).
Принимая во внимание, что дм, — ясов(в, к ) дка («1,2,3), ~)зйз — р ( — ') 1 «, + (Х + )г) яз соз (в, х,) Ч) соз (и, к ) «О. Введем вентор Ь с составляющими («ь «з, «а). Предыдущие уравнения могут быть записаны в виде ~рй — р ( — ) 1«г+ (Х+ Ийз соз(в, х ) «О, где «, — величина проекции вектора Ь на нормаль л к поверхности (3), или, в векторной форме: ~рйл р ( ) ~Ь+ (к+ р) Из«ли=0, (31) где и — единичный вектор нормали к поверхности (3). Если мы возьмем скорость перемещения Рв то козффициент при Ь будет равен нулю, и мы должны иметь «, = О, т.е. вектор Ь должен лежать в касательной плоскости к по.
верхности (3) (поперечная волна). Если же мы возымея скорость Р„то из (31) непосредственно следует, что Ь лишь численным множителем отличается от и, т.е. Ь должен быть направлен по нормали к поверхности (3) (продольная волна]. Отметим еще, что в уравнении (29) множитель, дающий скорость поперечной волны, стоит в квадрате. Это обстоятельство получит свое объяснение в следующем параграфе, где мы будем рассматривать уравнения теории упругости для анизотропной среды. Выясним механический смысл вектора Ь. Положим, что по одну сторону от поверхности д: ы~(хь кз, хь !) = О слабого разрыва имеется покой, т.
е. и, (1 = 1, 2, 3) равны нулю. В точках поверхности 5 функции и, и их производные первого порядка также равны нулю. С той стороны, где имеется движение, значения вторык производных и, на 3 будут определяться формулами (30), так как с другой стороны поверхности зти производные тождественно равны нулю, т.е. дзи ды дм — « — — ! (1.«-О. 1,2,3), дк дк„ 1 дк дк„ ( где л — направление нормали к поверхности (3), мы можем переписать предыдущие уравнения в виде а 203 . ГЛ !.
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ !6В Подставляя выражения А, получим следующие уравнения: а — + с" — + Ь" — + дх дхг дк ! 2 з дги дги + (с' + с") + (Ь' + Ь") дк! дхг дх! дхз д иг дгиг „ д иг с" — + Ь вЂ” + а" — + дхг дхг дк д из + (с' + с») — + (а'+ а") дх! дхг дхг дхз дгиз „ дгиз дгиз дхг дк,' дхз д'и. .
. д'иг + (Ь' + Ь") + (а'+ а") —— дк! дхз дкг дхз дги» р + д!2 д иг Р + ° ° ° д!2 д из р — + ...=О. д! 2 Вводя для сокрашения письма обозначения» дв» двз Рс — ' Р— (з 1,2,3), д! ' ! дх » мы можем записать ковффипиенты в в виде » 2»l 2»l 2 2 I / I»»»»» вз! — — ар»+с Рг+ь Рз — Ррз' взг — — (с +с )Рзрг! в!2=(ь +ь )Рзрз 2 2 и 2»»»» вш — — (с -1-с )Рзргг вш=с Рз+ зря+а Рз Рре' вгз=(а +а )Ргрз.
»»2»»2 2 2 взз=(Ь +Ь )РзР6 взг — — (а +а )Ргрз' вш Ь Рз-Га Рз+срз Рро (32) к осям симметрии [!1!з,' 32, 33]. Заметим, что леван часть написанного уравнения может быть получена из выражения 2А, если в нем положить е» = р»3»', Тз = р»$»+ р»3»', уз = р»3» + рзвз; уз = рзяз+ р»$», а потому она представляет собою определенно положительную квадратичвую форму от $. (ибо А ) О), н, следовательно, уравнению (33) соответствует действительно эллипсоид. Решая упомянутое выше уравнение для Л, мы получим в каждой точке тела три положительнык корня для ре, причем рв будет однородной 2 2 функпией второго измерения от рз, рз, рз. Если обе части уравнения (33) разделить на яз, то р» превратится в сова», где сов໠— направляющие косинусы нормали к поверхности волны, н полученный корень ре превратитси 2 Уравнение первого порядка (9), определяющее характеристические по. вертности, совпадает, как нетрудно видеть, с основным уравненнем относительно Л = ррзг, которое служит для приведения эллипсоида; + (Ь Р, + а Р, + срз )4+ 2 (а + а ) Ргнзйгйз+ 2 (Ь + Ь ) Рзр Дз3, + + 2 (с' + с") р р 3!32 = 1 (зз) ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ 209 в Р' Таким образом, в каждой точке мы для любо~о фиксированного направления будем иметь три возможные скорости перемещения волны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
