1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Составляющие (йз, йз, йз) вектора прерывности будут получаться из однородной системы, из которой определяются направления осей симмстрии эллипсоида (33). Таким образом, в каждой точке, при задании определенного направления, мы имеем три взаимно перпендикулярных вентора прерывности, соответствующих трем скоростям перемещения.
Для того чтобы иметь продольные и поперечные волны, необходима и достаточно, чтобы одна из осей эллипсоида была направлена по нормали к соответствующей волне. Если это выполнено, то мы будем иметь одну продольную и две поперечные волны, причем мы считаем, что при фиксированном направлении упомянутое кубическое уравнение имеет различные корни В случае однородной изотропной среды, как мы видели, один из корней будет двойным. Направляющие косинусы нормали к волне пропорциональны Рь Рз, Рз, и, следовательно, гтказанное выше условие равносильно тому, что для некоторого корня А =рро величины (йз, йз. йз) должны быть пропорциональны (Рз, рз, рз) при любом выборе рз, т.
с. при любом выборе направления. Заменяя в однородной системе для йз эти величины пропорциональными величинами рз, мы получим (арг+ с Рг+ Ь Рз — РРо))Рз + (с + с ) Ргрг+ (Ь + Ь ) РзРз= О, (с + с ) Ргрг+ (с Рз+ ЬРг+ а Рз РРо))Рг+ (а + и ) РгРз=О, (Ь + Ь ) Рзрз + (и + и ) РУз + (Ь Рз + и Рг + грз РРо) Рз = О.
(34) Если мы примем во внимание, что при любом выборе Рь Рз, Рз должны получить из трех уравнений (34) одно и то же значение для рро, то мы приз дем к следующим условиям для коэффициентов упругого потенциала Л: а = Ь = с а'+ 2а" = Ь'+ 2Ь" = с'+ 2с", (36) н написанные тРи УРавнениЯ дают нам РРс=адг, т.е. длн скоРости пРодоль. г ных волн мы получаем Остальные два корня, соответствующие поперечным волнам, вообще говоря, различны и зависят от выбора направления волны, т.
е. от выбора рз. Равенства (35) дают нам пять условий,для девяти коэффициентов, входящих в выражение упругого потенциала Л. 69 Электромагнитные волны. Рассмотрим первые два уравнения Макс. велла для изотропной среды: стог Н ХЕ+ еЕь с тот Š— )зНг, (36) где Е и Н вЂ” напряжения электричесного и магнитного поля, с — скорость света, А — коэффициент проводимости среды, е и м — диэлектрическая постоянная и магнитнан проницаемость. Векторы Е н Н являготсн функциями независимых переменных (хь хз, хз, 1).
Обозначим через (ез, ез, ез) и (йз, йз, йз) составляющие этих векторов, можем переписать уравнения (36) в виде е де1 дйз дйз Н дй~ дез дез — — + — — — +...=О, — — + — — — =О, с дт дхз дхз ''' ' с дГ дхз дхз е де, дй, дй, )з дйз де, де, — — + — — — + ... =О, — — + — — — -О, (зт) с д1 дх, дхз ''' ' с дт дхз дх, е дез дй ~ дйз М дйз дез де, — — + — — — +" ° =О, — — + — — — =О, с дз дх, дх, "' ' с дз дх, дхз причем ненаписанные члены не содержат производных от функций е, и Аь В данном случае мы имеем систему шести уравнений первого порядка с шестью функциями.
Будем нумеровать эти функции в следующем порядке: и! ез! из ез' из ез ио~ Аз! ио йз! по Ьз. Составляя выражения (5) и написав уравнение (6), мы получим следующее уравнение первого порядка для характеристичесних поверхностей: а 0 0 0 рз — рз е 0 — ро с — Рз е Ро 0 0 — Р! Рз (33) (з — Рз Рз — Ро (! р О Ро р — Рз Р! Умиожим элементы первых трех столбцов этого определителя иа — ро. После м с этого к элементам первого столбца прибавим элементы пятого столбца, умноженные на ( — рз), и шестого, умноженные на рз; н элементам второго столбца прибавим элементы четвертого, умноженные на рз, и шестого, умноженные на ( — р,); к элементам третьего столбца прибавим элементы четвертого, умноженные на ( — рз), и элементы пятого, умноженные на р!. Разлагая затем по элементам шестой, пятой и четвертой строк, придем к уравнению д + Р! Рзрз Рзрз Рзп! + ~з рзРа Рзп! Р Рз д + Рз О, (39) где вр з д Ро 3 ° с (40) Раскрывая определитель, мы приходим к уравнению д (д+йр) 0 (3 Рз+Рз+Рз) (4!) которое распадается на два.
Если приравнять нулю сумму, стоящую в скобках, то получим ро = 0 и будем иметь стационарную волну $43). В дальнейшем остановимся на втором случае, когда д = О, т. е. когда ец з Ро 3 О с' (42) что дает известное выражение для величины скорости перемещения волны с У 1/ер ' (43) Будем теперь рассматривать характер разрыва. Обозначим через (аз, аз, аз) коэффициенты прерывности для производных от составляющих вектора Б 3(0 ГЛ. !.
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ УРАВНЕНИИ С ЧАСТНЫМИ НРОИЗВОДНЫМИ !6Р элпктромдгнитныи Волны 211 [Еха] = Раа (Й=О, 1, 2, 3; хо=(). [Нх,] = рзр ! (44) Первые три из уравнений (!8) запишутся в данном случае в виде в — роаз + рз()з — рз()з О, с в Рооо + Рз()з — Рз(Зз с (46) и — Роаз + Рзрз — Р~()з О с или, обозначая через п вектор единичной нормали к поверхности волны Озз = О, направленный в ту сторону, где ыз ) О, мы можем написать последаие уравнения в виде — а рХп, в 'г' (48) с причем справа стоит векторное произведение векторов () и и Совершенно так же последние три из уравнений (8) могут быть записаны в виде — В = — а Х п.
р)г с (47) Из написанных уравнений непосредственно вытекает, что векторы а и р лежат в касательной плоскости к волне н взаимно перпендикулярны Положим, что перед поверхностью волны, т е. там, где ыз ~ О, мы имеем покой, т. е Е н Н равны нулю Формулы (44) дадут наи значение производ. иых от векторов Е и Н на самой поверхности волны Е .а — — — раа; Н„а — — — рой. Разложим Е и Н вблизи фронта волны в ряд Тейлора, доводя разложение до членов, содержащих производные первого порядка Принимая во анима. ние, что Е и Н обращаются в нуль на поверхности волны, мы можем написать, пользуясь формулами (48), слелуюшие прззблнденные формулы: з 3 е — а ч~~ ра [ха — х!О!); и — () ~ р [ха — х!О!), а О а О где [х~~~~, х!Оз, хзз 1, х~~д~)-некоторая точка на поверхности волны.
применяя зо! формулу Тейлора для ф)нкцни ыь можем написать, принимая во внимание, ю Г „!ОЗ !О! Лзо) !О!о 3 а! (хи хз хт, хз) !зз з ха хз ) й-О и предыдущие формулы могут быть переписаны в виде (ср. (66]) Š— езз (хо, хь хз, хз) а; Н вЂ” аз (хи хь х,, хз) (). (49) Эти приближенные формулы будут иметь место вблизи волны с той ее сто. роны, где Имеется злектромагнитный процесс. а через (бь бз, ()з) — аналогичные величины для составляющих вектора Н Введем, как всегда, в рассмотрение векторы прерывности а(аз, аз, аз) н 4)(()з ()з, Рз).
Мы можем написать 2уй гл. 1. оьшля тьория урлвньнии с члстными производными яш В случае однородной анизотропной среды величину в мы должны счи- тать уже не числом, а симметричной таблицей из девяти элементов. Эта ве. личина входит в формулу, связывающую вектор электрического смещения с вектором Е [11; 130]. Величину И будем по-прежнему считать числом. Выбе- рем координатные оси так, чтобы таблица в привелась к диагональной форме, и пусть ег ) ег ) ег ) 0 — ее собственные значения [!Пи 32, 33]. При этом первые три из уравнений (37) будут иметь вид е, де~ дйг длг — — + — — — + ...
=О, с дг дхг дхг ег дег дйг дй! — — + — — — +...=о, с дт дхг дхг а, дег дй, дйг — — + — — — + ... О, с дт дхг дх, и вместо уравнения (39) мы будем иметь уравнение Чг + Рг РгРг РгРз РгРз яз + Рг РгРз 2 Ргрз Ргрз Чз + Рз 2 (50) где егр яг — Ра — а (1=1, 2, 3). с' Вводя обозначения ггг с 1'г = — Ф еон мы можем написать (52) Ра рг г й (51) Деля обе части уравнения (50) на цг, можем переписать его в виде г г 1 ягяз 'о' нг + яз01 "' нг + ягрг "' нз + — г ргяздз = О.
Мы имеем очевидное решение этого уравнения дг = 0; созцг = О. Принимая во внимание (51), мы видим, что У, есть возможная скорость распространения волны в любом направлении, параллельном плоскости хг = О. Совершенно аналогично Уг и Уг суть возможные скорости распространения волны в направлениях, параллельных плоскостям хг = 0 и хг = О. В общем случае мы можем переписать уравнение (52), умножив обе его части на лг и написав дгягдг Шдгдг(созе цг+ созе аз+ соз' аг), в виде [43] з соз аг У ягргрз ~ г г =О. (53) уг уг г 1 г Отбрасывая решение У = О, которому соответствует стационарная волна, мы получим для определения У при заданном направлении волны. аарактеризусмом велнчинами соз аг, квадратное уравнение для У'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
