1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 45
Текст из файла (страница 45)
е. производная у'(х) упомянутого выше решения должна иметь в точке х = $ разрыв непрерывности первого рода со 1 скачком, равным — —. Это решение будет зависеть, конечно, Рй) ' н от того, какую именно точку промежутка (а, Ь] мы выбираем за точку $, так что оно будет функцией двух переменных (х, я), и мы его в дальнейшем будем обозначать через 6(х, я) н называть функцией Грина оператора 4.(у) при предельных условиях (2). Предыдущие соображения приводят нас к следующему строгому определению функции Грина: функцией Грина оператора 4'.(у) при предельных условиях (2) назьчвается функция 6(х, $), удовлетворяющая следующим условиям: !) Она определена и непрерывна в квадрате йь, определяемом неравенствами а < х, $ ( Ь; 2) как функция переменной х, она имеет при а ( х ( $ и $ ( х ( Ь непрерьчвные производные до второго порядка и удовлетворяет однородному уравнению ). (у) = 0; 3) как функция от х, она удовлетворяет предельным условиям (2); 4) на диагонали упомянутого квадрата, т.
е. при х = $, ее производная по аргументу х, которую мы будем обозначать через 6'(х, я), имеет разрыв первого рода, причем должны быть удовлетворены следующие два условия: 6'($+ О, $) — 6'($ — О, $) = —— р($) ' (5) 6'(з, $+ 0) — 6'(е, $ — 0) = Р (е) ' Эти последние условия сводятся к одному следующему требованию: при приближении к любой точке х = $ упомянутой диагонали как сверху, т. е. из области $ ) х, так и снизу, т. е. из области $ к. х, производная 6'(х я) должна иметь определенные значения, и разность этих предельных значений должна рав- '1 няться —.
В каждой из этих двух областей вторая произволр(Ы ' ная по первому аргументу выражается, в силу 4.(6) = О, следующим образом: р (х) 6" (х, $) = — р' (х) 6' (х, $) + 4)(х) 6 (х, $), и, следовательно, н эта вторая производная будет иметь определенные предельные значения при приближении к точкам диагонали с той или мной стороны. Докажем теперь, что существует, и притом единственная, функция Грина, удовлетворяющая всем указанным выше уело ГЛ П ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ виям. Мы будем при этом предполагать, что Х = О не есть собственное значение, т.
е. что уравнение А.(у) = О не имеет решений, отличных от тождественного нуля, удовлетворяющих уело. виям (2). В дальнейшем мы увидим, каким образом надо видоизменить определение функции Грина в том случае, когда Х = О есть собственное значение. Построим решение у1(х) однородного уравнения 1.(у) = О, принимая за начальные значения у,(а) н у',(а) некоторые числа, удовлетворяющие первому из условий (2). Это решение у,(х) и вообще все решения с1у1(х), при произвольном постоянном сь будут удовлетворять первому из предельных условий.
Нетрудно видеть, что этим и исчерпываются все решения, удовлетворяющие первому из условий (2). Действительно, если некоторое решение у(х) удовлетворяет этому условию, то мы имеем два однородных уравнения относительно а1 и аз.' а,у, (а) + а,у', (а) = О; а,у (а) + а у' (а) = О, с1у1($) — с,уз(Е) =.
О, с,у', (е) — с,у,' Я) =— Рй) ' (6) Р Определитель этой системы (у1%)е1($) — у1(з)уз($)1 отличен от нули, поскольку наши решения линейно-независимы, и таким образом мы получаем определенные значения для постоянных с| и сь Определитель Вронского наших двух решений, как не~ и поскольку мы, естественно, считаем, что по крайней мере одно из этих чисел отлично от нуля, определитель иаписанной системы должен равняться нулю, т.
е. определитель Вронского решений у(х) и у,(х) обращается в нуль при х= а, а потому у(х) и у,(х) линейно-зависимы, т. е. у(х)=су1(х) [Н; 25]. Совершенно так же пусть с,уз(х), где сз — произвольная постоянная, суть решения уравнения 1.(у) = О, удовлетворяющие второму из условий (2). Согласно теореме существования и единственности, оба решения у1(х) и уз(х) определены во всем промежутке [а, Ь] и линейно-независимы. Действительно, если бы они оказались линейно-зависимыми, то у1(х) удовлетворяло бы обоим предельным условиям (2), и Х = О оказалось бы собственным значением, что противоречит сделанному выше предположению. При х ( 5 функция 0(х; е) должна иметь вид с1у1(х), а прн х ) $ она должна иметь вид сзуз(х).
Остается подобрать постоянные с1 и сз так, чтобы в точке х = 5 функция была непрерывной, а ее производная имела указанный выше скачок. Это приводит нас к следующим двум уравнениям для ОПРЕДЕЛЕНИЯ С1 И С11 ИРиВедение к интегРАльному уРАВнению трудно видеть [Н; 25], должен выражаться формулой у,(х) у',(х) — у,(х) у',(х) =— где с — некоторая постоянная, отличная от нуля. Добавляя по. стоянный множитель, например к решению у~(х), мы можем считать, что наши решения будут удовлетворять соотношению Р (х) [ у1 (х) у (х) уз (х) у1 (х)1 = 1. Из него непосредственно следует, что система (6) имеет ре.
шение: с~ = уз($) и сз=у1Я), и функция Грина 6(х, $) определяется следующим образом: у~ (х) уз ($) ], у,(х) у~($) (х(г,), (х>$) ° (7) у = ~ 0 (х, $) ]' ($) Н$+ ~ О (х, $) ) ($) и'$. Нетрудно проверить непосредственно, что оиа удовлетворяет всем четырем условиям.
Ее единственность непосредственно вы. текает из предыдущих рассуждений. 75. Приведение к интегральному уравнению. Рассмотрим неоднородное уравнение 7-(у) = — „„[р(х) у'] — у(х) у= — 1(х). (8) где /(х) — заданная, непрерывная в промежутке [а, Ь] функция. Будем искать решение уравнения (8), удовлетворяющее пре.
дельным условиям (2). Такое решение может быть только одно, так нак если бы их было два, то их разность удовлетворяла бы однородному уравнению 1. (у) = О и предельным условиям (2), т. е. Х = О было бы собственным значением. Проверим, что единственное решение уравнения (8), удовлетворяющее предельным условиям (2), дается формулой ь у (х) = ~ 6 (х, $) [($) д$. (9) О Аналог этой формулы, который был указан в [!Чп 1], имел тот простой механический смысл, что, зная статический прогиб от сосредоточенной силы, мы могли путем интегрирования полу* чить статический прогиб и при непрерывно распределенной силе. Перейдем к доказательству того, что функция, определяемая формулой (9), удовлетворяет (8) и предельным условиям (2)'. Принимая во внимание указанный выше разрыв функции Грина, разобьем промежуток интегрирования на два: Х Ь ГЛ. П.
ПРВДЕЛЪНЫЕ ЗАДАЧИ Дифференцируя по х, найдем у'= ~ 6'(х, $) 1'5) ах+ С (х, х — 0) ) (х) + О ь + ~ 6'(х, в) ((в) с$ — 6 (х, х+ 0) г (х) х или, в силу непрерывности функции Грина, т. е. в силу С(х, х+ 0) = 6(х, х — 0): х Ь ь у'= ~ 6'(х, $)Г'($)д$+ ~ 6'(х, а)Г($)й$= ~ 6'(х, $)Г(Цд$. (10) Из формул (9) и (10) и того факта, что 6(х, $) удовлетворяет предельным условиям (2), непосредственно вытекает, что и функция (9) удовлетворяет этим предельным условиям. Для проверки уравнения (8) дифференцируем у' еще один раз по х. После несложных преобразований получим ь у"= ~ 6" (х, В)[($)с$+ [6'(х, х — 0) — 6'(х, х+ О)) Г(х), Р и из (5) вытекает уп= — ~ 6'(х, Ц[$)д~— (1 1) О Подставляя в левую часть (8) вместо у, у' и у" их выражении (9), (10) и (11), получим ь $Е(6)Р(ВМ вЂ” П )= — 1( ), ь т.
е. уравнение (8) удовлетворено, нбо функция 6(х, $) является решением однородного уравнения Е(у) = О. Отметим еще, что из написанных выше формул непосредственно вытекает, что функция у, определяемая формулой (9), имеет во всем промежутке непрерывные производные до второго порядка.
Мы приходим, таким образом, к следующему утверждению: Если 1 = 0 не есть собственное значение дифференциального уравнения (8), то это уравнение при любой заданной непрерывной в 1[а, Ь[ функции [(х) имеет единственное решение, удовлетворяющее предельным условиям (2), и это решение определяется формулой (9). Можно еще сказать иначе: При любой заданной не- ИРиВедение к интегРАльному уРАВнению прерывной функции 1(х) функция (9) имеет непрерывные производные до второго порядка, удовлетворяет уравнению (8) и предельным условиям (2). Заметим, что если у(х) есть любая функция, имеющая непре рывные производные до второго порядка в промежутке [а, Ь] и удовлетворяющая предельным условиям (2), то мы можем, под.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
