1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 42
Текст из файла (страница 42)
з Х ° (54л ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ 213 Совершенно так же, как а (11, 1491, можно показать, что это уравнение имеет два различных положительных корня для У'. Если мы решим уравнение (50) или (52) относительно рю, то получим уравнение вида Рю+ Р (Р! Ръ Рз) =О. (55) где Р— однородная функция первого измерения. Поскольку уравнение (55) ие содержит хз, система Коши дли этого уравнения приведет н постоянным аиачениям длк рз, и бихарактеристики будут прямые линии. Их уравнение напишется в виде ю(ха — =Р (й 1, 2, 3).
ю(! Рз х„=рр (й=!, 2,3) з Поскольку Рр есть однородная функция нулевого измерения, правые з части уравнений (56) содержат два параметра, а именно отношения двух из величин рю, щ, рз к третьей. Пусть 5 — поверхность (56), Р(хь х,, х,) — некоторая точка нз 5 н б — расстояние от начала координат до касательной плоскости к 5 в точке Р. Если сова, — направляющие косинусы нормали к 5 в точке Р, то мы имеем, применяя формулу Эйлера для однородных функций, з з з Рю б~~х!сова! Гр сова;=щ — ~рзрр =.ю.— = ю — =ш1'.
б~ ' ! а й ю ! з' 1 ! 1 Беря для определенности знак (+), что несущественно для дальнейшего, мы можем написать уравнение касательной плоскости к 3 в виде в х сов а! — У = О. ! ! (57) В эта уравнение входят четыре параметра сов и! (1 = 1, 2, 3) н У, ноторые связаны двумя соотношениями: в Х '-' сов а,=1; з-! так что уравнение (57) содержит два независимых параметра, как это и должно быть. Сама поверхность 5 будет огибающей семейства плоскостей (57), зависящего от двух параметров, Если проделать все вычисления, на которых мы не останавливаемся, то мы получаем следующее уравнение поверхности: Х; Узхв =О. Ух — (ха!+ хе+ х~~) ли, например, Ую = Уз, то эта поверхность четвертого порядка вырож-- 3 ется в совокупность сферы и эллипсоида.
Проведем характеристический коноид с вершиной в начале. Он представляет сабо!о поверхность волны от точечного источника в начале координат в различные моменты времени. Его уравнение будет хз —— Рр ! или, пра ! 1! (56 Р" '2)4 гл 1 ОБШАЯ ТеОРИЯ УРАНИБНИИ С ЧАСТнЫмИ ПРОИЗВОДНЫМИ Гго 70. Сильные разрывм в теории упругости. Мы рассматривали раньше во. прос о сильных разрывах для решений одного уравнения (44]. Приведем теперь с точки зрения теории сильных разрывов исследование уравнений теории упругости. Мы ограничимся при этом рассмотрением плоского случая. Пусть (и, и)— составляющие вектора смешения иа плоскости (х, у) н Х, У вЂ” составляющие объемной силы.
Обозначая, как всегда, через о„о„, т,„составляющие теизора напряжений, мы будем иметь следующие два основных уравнения теории упругости, д'и да» дт р дР дк ду д'о дт»у ди р дт дх ду (58) Подставлия последние выражения в уравнения (58), получим уравнения теории упругости, выраженные через вектор смешения ю; д'ы р — ()с + р) йгаб СВт ю+ р йш+ Р, В дальнейшем под (и, о) мы можем подразумевать любые две функции от (х, у, г), имеющие непрерывные производные до второго порядка. При этом уравнения (58) дадут нам величины Х и У, соответствующие взятым функ- циям (и, о) Введем еще два линейнык оператора, содержащих производные первого порядка от функций (и, о): Р»(и, о) =и»сов(и, х) + т усов(ш у) — ри сов(и, г), Р (и, о)=т соз(а, к) +и соз(и, у) — ро соз(и, (). у ' ку ' у г г» г г г Рассмотрим две пары функций (и, о) и (и', о'), и пусть ок, ау, т„у, Х, У— значения величин (58г) и Х, У, соответствующие паре функций (й, о').
Мы имеем, таким образом, о„)С(и„+ оу)+ 20и; и„= А(и„+ о„) + 2Ро„; т„у Р(и»+ о„). Пользуясь этими выражениями и применяя обычную формулу Остроградского, мы получим следующий аналог формулы Грина: — ~ ~ ~ (иХ' + оУ' — и'Х вЂ” о'У) Фт = о Г)Г) (иР»(и', о')+оРу(и', о') — и'Р»(и, о) — о'Ру(и, о)) ду, (60) 3 где к), как и выше,— некоторая область в пространстве (к, у, Г), 5 — ограничивающая ее поверхность и о — направление внешней нормали к 5. Указан. ная выше формула была впервые дана Вольтерра. Отметим, что под Х, У мы разумеем просто выражения, стонщие в первых частяк формул (58) и аналогично для Х', У'.
При выводе формулы (60) предполагается, конечно, что функции (и, о) и (и', о') имеют в области г) непрерывные производные до второго порядка. К этим уравнениям надо добавить еще связь между тензором напряжений и -тенэором деформации (закон Гука): и» =)с(и»+ он) + 2ри„; иу )с(и»+ оу) + 2роу, т»у р (иу+ о»).
(58~) СИЛЬНЫЕ РАЗРЫВЫ В ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Переходим теперь к рассмотрению то~о случаи, когда производные пер- вого порядка функций (и, о) имеют разрывы Пусть область Р рассечена по. верхностью о на две части Рк и Р», и положим, что на поверхноств о первые производные функций (и, о) имеют разрывы, удовлетворяющие указанным в [44] кинематическим условиям совместности Положим, кроме того, что выражения (59) остаются непрерывными при переходе через поверхность о. В дальнейшем мы выясним механический смысл этих динамических условий совместности Совершенно так же, как и в [44), мы можем утверждать, что формула (50) будет иметь место для всего объема Р, если (и, о) удовлетво- ряют указанным выше условиям прерывности, а (и', о') — любые функции с непрерывнымя производными до второго порядка.
Выясним следствия из указанных выше условий. Как и в [44], мы можем утверждать, что векторы угад и Х и и йгаб о Х и должны оставаться иепре. рывными при переходе через о, Если мы выпишем составляющие этих век- торов, то получим шесть выражений, которые должны оставаться иепрерыв- нымн при переходе через о Добавив еше выражения (591 которые мы прс- образуем, подставив в иих вместо составляюших танзер» напряжений их вы. ражения по формулам (58к), мы будем иметь следующие восемь выражений, которые должны оставаться непрерывными при переходе через о: и„соз(л, у) — ив сов(л, х) Мь и соз(л,т) — и соз(л, у) Мз, в и соз(л, х) — и соз(л,() М, о соз (л, у) — о„соз (л, х) М .
о соз (л, г) — о сов (л, у) М, в в' о соз (л, х) — о соз (л, 1) М, (Л+2р)и соз(л, х)+ри сов(л, у) — ри соз(л,т)+ро соз(л, у)+ +Ло соз(л, х М„ и ) Лил сов(л, у)+ рия сов(л, у) + ро„соз(л, х)+ +(Л+ 2И) о сов(л, у) — ро сов(л, 1) М Будем рассматривать написанные уравнении как восемь уравнений относительно шести производнык первого порядка от функций и и о. Если бы таблица коэффициентов этих уравнений содержала хоть один определитель шестого порядка, отличный от нуля, то мы могли бы выразить все шесть производных первого порядка от функций и и о через непрерывные функции М» и не имели бы разрыва этих производных на о.
Мы можем, таким образом, утверждать, что все определители шестого порядка упомянутой выше таблицы должны равняться нулю Вычеркивая последние две строки упомянутой таблицы и приравнивая оставшийся определитель нулю, мы получим тождество Рассматривая остальные случаи, мы придем к единственному уравнению (р сов' (л, 1) — (Л + 2р) [соз' (л, х) + сов» (л, у)) ] Х ')< (р соз' (л, 1) — р [созз(л, х) + созз(л, у)] ) О, (61) которое и будет выражать тот факт, что упомянутая выше таблица имеет ранг, меньший шести. Пусть уравнение о имеет вид ф(х, у, 1) = О.
Нани. санное дыша уравнение распадается на два уравнения: рфг (Л+ 21») (фх + фу) О и рфг 1» (фх+ фу) О и мы видим, таким образом, что поверхность о должна быть характернсти. ческой поверхностью уравнений теории упругости [66). '216 Гл г ОвшАя теОРия уРАВнения с чАстными пРОизВОдными (то В данном случае мы будем иметь существенную разницу по сравнению с одним волновым уравнением. Кинематнчесние условия совместности, кото рые сводится к непрерывности Мь Мз, ..., Мм совместно с тем фактом, что о есть характеристическая поверхность, что сводйтся к уравнению (61), не гарантирует нам еще непрерывности Мг и Мм т.е. не гарантирует динамических условий совместности. Выясним те дополнительные условия, при которых мы получаем непрерывность Мг и Мв.
Возьмем на о некоторую точку У, и пусть 1 — прямая пересечения касательной плоскости к а в точке У с плоскостью 1 = сопз1, проходящей через точку У Выберем эту прямую 1 за ось у Ось 1 имеет в точке У фиксированное направление, перпендикулярное к направлению прямой 1. Тем самым апре. делится и ось х Рассмотрим сначала тот случай, когда равен нулю первый из множителей, стоящих в левой части уравнения (61): р созе (л, 1) — (Х + 2м) [созз (л, х) + сазз (л, у) [ = О, (62) что соответствует скорости продольных волн.
В силу сделанного выбора оспу, мы имеем в точке Усов (л, у) = О, и, кроме того, производные и„и ог остаются непрерывными прн переходе через а в точке У. Составим выражение: (А+2р) и„соз1,л, х) — ри соэ(л, 1) =г. (63) Пользуясь (62), можем написать г соз (л, х) = — (з саз (л, 1) Мз, откуда вытекает, что, в силу кинематических условий совместности и уравнения (62), выражение (66) непрерывно в точке У. При этом Мг оказываетсн также непрерывным в точке У, а для непрерывности Мв оказывается необходимым и достаточным непрерывность выражения рв соя (л, х) — ра соя(л, 1) =М. (64) Кроме того, мы имеем непрерывность выражения в„соз (л, 1) — а, сов(л, х) = — М .
(66) Определитель системы уравнений (64) и (65), равный рсоа'(л,1) — р соя'(л,х), в силу (62) и соз(л, у) = О, отличен от нуля, и, следовательно, непрерывность выражения (64) равносильна непрерывности частных производных а„ и ог. Кроме того, мы уже имеем непрерывность частной производной аг в точке У. Пересечение поверхности о с плоскостью 1 = сапа( является линией разрыва на плоскдсти (х, у) в заданный момент времени, а прямая 1 есть касательная к этой линии в точке У. Величина а есть проекцин вектора смещения на направление 1, касательное к линии разрыва Мы показали выше, что все пропзводныс первого порядка от а должны быть непрерывными в точке У, т.е.
сильный разрыв может испытывать только составляющая и вектора смещения на направление, перпендикулярное к линии разрыва (продольный разрыв). Итак, если выполнены кинсматнческие условия совместности и уравнение (62), то для соблюдения динамических условий совместности необходимо и достаточно, чтобы сильный разрыв имела только составляющая вектора смещения, нормальная к движущейся в плоскости (х, у) ливии разрыва. Совершенно так же можно рассмотреть и уравнение р созе (л, 1) — р [соз'(л, х) + соз' (л, у)] = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
