1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 44
Текст из файла (страница 44)
(86) дх! дх, Если все Л,(хь х,) — вещественны в упомянутой окрестности, то система называется гиперболической в этой окрестности. Пользуясь обозначениями из [63), мы имеем для системы а',А'= 0 при !' эь В а",,' = 1; а",,! = — Л!(х„х ), (87) для величин езп, определяемых формулами (5), получаем ди! де! В!и — 0 при с чь у, ои = — — Л!(х„х,) —, уравнение (6) принимает вид ~ д ' — Л,(хн х!) д,' 1...
~ д ' — Л,„(х!, хх) д ' 1=0, н оно распадается на т линейных уравнений: — "' — Л, (хо х,) — ' = 0 (1 = 1, ..., т). (88) дх! ' ' ! дх, Если !а!(х!, х,) — решение одного из этих уравнений, то семейство ы!(х!, хх) = С есть семейство характеристических линий нли характеристик для системы (86). Уравнение (88) равносильно обыкновенному уравнению: ах! г(х!+Л,(хн хх)г(Х,=О, т. е.
— = — Л!(х„хз), (89) дх! и через каждую точку плоскости той области, где мы имеем функции Л,(х!, ха) с непрерывными производными первого порядка, проходит т характеристик. Рассмотрим точки, достаточно близкие к оси х, = О, и пусть 1, — часть интегральной линии уравнения (89), проходящей через точку (хь х!), между этой точкой и пересечением этой ин. тегральной линии с осью хз = О, в некоторой точке (х[в, 0). Вдоль линии й мы можем считать любую функцию !р(х!, ха)' функцией только от ха и, в силу (89), имеем — = — — Л (х, х ) — вдоль 1И Щ ' д!г д$ дх, дхА ! ' х дх, 222 гл ь овшдя теория уравнении с частными производными пз Принимая, что на оси ха = 0 нам заданы значения функций о,(хь хз), мы можем считать известными пс(хссс), О) и можем применить к системе (90) метод последовательных приближений.
Это дает теорему существования и единственности решения задачи Коши и непрерывную зависимость от начальных данных. Подробное изложение этого вопроса, а также рассмотрение того случая, кода уравнение (85) имеет кратные корни, можно найти в упомянутой выше книге И. Г. Петровского. 73. Примеры. 1. Рассмотрим систему уравнений, которой определяются вещественная н мнимая части аналитической функции (Шз, 2]: — — — 0; — + — О.
ди, ди, ди, ди, (91) дх! дхз ' дх, дхз Мы имеем ап аз! азз 1; П) )2) П) а)22 = — 1, 12) и остальные а равны нулю. Левая часть уравнения (6) при замене сз) ды, дхз на а, имеет вид а, + пз, и, следовательно, система (91) имеет эллиптический 2 2 тип. Принимая во внимание отмеченную выше связь этой системы с аналитн.
ческими функциями, можем утверждать, что всякое ее решение с'непрерыв- ными производными первого порядка есть аналитическая функция х! и хз. 2. Рассмотрим систему (П е р р о н (Реггоп) — Мань Е, 1927, 27, № 4) — — — О! — а — + Р (хз) О, ди! диз диз ди, (92) дх, дхз ' дх, дхз где а — постоянная. ды! 2 2 Левая часть уравнения (6) при замене — на аз имеет вид а! — аоз, дхз и, следовательно, система — эллиптического типа при а ( 0 и параболического при а = О. Уравнение (65), если написать систему в форме, решенной относительно частных производных по хь имеет вид 1,' ' — 7), 1 ~=0, т. е. )ьз — а=О а, — Х и при а ) 0 оио имеет вещественные, различные корни, т.
е. система гиперболическая при а ) О. Положим сначала, что а ) 0 Поступая, как указано в (72], вводим вме. сто иь из новые функции: о,=ч7аи)+из; оз= ь/аи! — иь (93) и получаем два раздельных уравнения для о! и оз! — — \/а — + Р (хз) = 0; — + )Са — — Р (хз) = О. (94) до, до! доз доз дх, дхз дх! дхз Таким образом, система уравнений (86) равносильна следующей системе интегральных уравнений: пс(хр хз) = пс(х)о, О) — ~ фс(хр х, и )с(х (с'= 1, ..., лс). (90) с ПРИМЕРЫ После введения новых независимых переменных: 2$ Ч/ах~+ кз.
2ц - ~/а»1+ ха, система перепнсывается в виде — чГа †' + г ($ + и) = О; ч/а — е — г"(ф + ц) О. (95) дп д5 Найдем то решение системы (95), которое удовлетворяет начальному усло вию: о~!»,-о-о !„, о-о, т е о,)„1* О: о,(„, *О. Пользуясь (95), получаем 1+я 1 о,- — 1 У(1) дй зла З походных независимых переменных: кю о,- — ~ У(1) дй 1 з/а згац+к 1+ч 1 ,- — '1 У(()Л.
ч(" оз = ~ У(()д), 1 з/а -ч7ак, +аз и согласно формулам (93) сможем определить и~ н из, которые являются решением системы (92) н удовлетворяют начальным условиям: и, !» с из!„, е — — О. (96) Такое решение, очевидно, единственно. Прн а О система (92) принимает вид ди, диз диз О + а(хс) О, дк~ дха д», о~ = Ьи ~ + — ~ г" (() дт; 1 Ь Ьх,=к х, у, оз ив (97) переписываем систему (92) в виде до~ дос — — О; дх ду доз до~ — + — О. дк ду Отсюда видно, что о~+ ос( должна быть регулярной функцией к иск+у(, н, в силу (96) н (97) зта функция при х-еО должна стремиться к вещественйой функцин — '~ У(() д(.
с )6) н мы получаем ее едннственное решение, удовлетворяющее условиям (96): х 1 и~ — — г' (хз), из — хьу (хз), 2 причем мы должны предположить, что г" (хз) имеет непрерывную производную второго порядка. Рассмотрим, наконец, тот случай, когда а — Ь' ( О.
Полагая 224 Гл ! ОпшАя теОРиЯ уРАВненин с чАГтными пРОизВОдными стз Мы можем утверждать, что упомянутая регулярная функции должна быть аналитически продолжпма через прямую к = 0 и следовательно, должна быть аналитической функцией и па самой этой прямой (Шс! 24] Тем самым функция (98), а потому и Р(у), должны быть аналитическими фуикциями при вещественных у Разлагая функцию (98) по степеням (у — рс), где ус — какое либо вещественное число ~ Р(!)с(7=~ иа(р ро) а о мы получим 0 ос+пас ~ ( — с) аа(а — сро)' (а к+ус) а-о при а, близких к сус Зная пс и пс, найдем ис и иа согласно (97). ГЛАВА 11 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ й 1.
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ В СЛУЧАЕ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 74. Функция Грина линейного уравнения второго порядка. Настоящая глава будет посвящена рассмотрению предельных задач как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для уравнений с частными производными. Мы неоднократно уже встречались с решением таких задач. Цель настоящей главы — дать систематическое изложение вопроса. Применение метода Фурье к решению предельных задач математической физики приводило нас неоднократно к следующей предельной задаче для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, содержащего параметр: найти такие значения параметра Х, при которых в конечном промежутке [а, Ь] существует отличное от нуля решение однородного уравнения л [р(х) у']+ [Лг(х) — а(х)]у=О, удовлетворяющее на концах этого промежутка некоторым однородным предельным условиям: а,у (а) + азу' (а) = О; [1,у (Ь) + В,у'(Ь) = О, (2) где ал и Ре †заданн числа.
При этом мы, конечно, считаем, что по крайней мере одно из чисел а1 и аь а также р1 и рь отлично от нуля. Мы будем предполагать, что р(х), д(х) и г(х]— непрерывные функции в замкнутом промежутке [а, Ь], причем функция р(х) не обращается в этом промежутке в нуль и имеет непрерывную производную. Введем специальное обозначение для суммы тех слагаемых левой части уравнения (1), которые ие содержат параметра Х: ь' (у) = — „[р (х) у'] — у (х) у. Будем, как всегда,' называть собственными числами или собственными значениями те значения параметра Х, при которых 226 ГЛ и ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ поставленная однородная задача имеет не нулевое решение, а собственными функциями — сами эти решения.
Они определяются, очевидно, с точностью до постоянного множителя. Не. трудно видеть, что всякому собственному значению может соот. ветствовать только одна собственная функция. Действительно, положим, наоборот, что при некотором значении Х сушествуют два линейно-независимых решения уравнения (!), удовлетворяюшнх предельным условиям (2). При этом оказалось бы, что и общий интеграл уравнения (!) удовлетворяет этим предельным условиям (2).
Но этого быть не может, так как можно определить решение уравнения (1) при таких начальных данных для у(а) и у'(а), которые не удовлетворяют первому из предельных условий (2). Пользуясь элементарными преобразова. ннями, которые мы применяли много раз ]Ше, 105, 146„ 158], можно показать, что собственные функции ~р1(х) и ~ре(х), соответствующие различным собственным значениям, обладают свойством ортогональиости, а именно: е ~ г(х) ~р, (х) ~рз(х) е(х = О. а Мы введем сейчас для оператора Ь(у) функцию, аналогичную статическому прогибу сгруны под действием сосредоточен.
ной силы, который мы рассматривали в [Ю~, '1]. В этом последнем случае роль оператора !.(у) играл оператор у". Для того чтобы естественным путем придти к выяснению свойств упомянутой выше функции, рассмотрим неоднородное уравнение Е (у) = — „[р (х) у'] — а (х) у = — ! (х) (3) и предположим, что функция г(х) равна нулю во всем промежутке [а, 0], кроме малого промежутка [$ — е, $+ е], где $— фиксированная точка, лежащая внутри [а, Ь], причем выпал. нено словие у 1+е ! (х) с!х = 1. (4) $-е При стремлении е к нулю мы и получим в пределе аналог сосре- доточенной в точке х = $ силы. Рассмотрим при этом пред- положении относительно [(х) решение у,(х) уравнения (3), удовлетворяюшее предельным условиям (2), считая, что такое решение существует. Интегрируя обе части уравнения (3) по х н принимая во внимание (4), получим е-$+е $+е р(х) у (х) — ~ а(х) у (х)с(х= — 1, е 1-е $-е Г41 ФУНКЦИЯ ГРИНА УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 227 или в пределе, при а- О, у'(В+ о) — у'а — о) = — — ', Р (Я) ' т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
