1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 47

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 47)

виям, имеет непрерывную первую производную и кусочно-непрерывную вторую производную. В дальнейшем мы укажем на те случаи, когда при формулировке теорем разложения можно до. пустить и кусочную непрерывность первой производной. 78. Знак собственных значений. При исследовании знаков собственных значений мы будем предполагать, для простоты дальнейших формул, что г(х) ам 1.

Все рассуждения легко рас. пространяются и на общий случай. Прежде всего дадим фор. мулу, выражающую собственные значения через соответствую. щие собственные функции. Пусть, как н выше, Х,— собственные значения и ф„(х) — собственные функции, образующие ортого. нальную и нормированную систему. Мы имеем 7. (ф„) = — Х„ф„(х). Умножая обе части на ф„(х), интегрируя и принимая во внима- ние нормированность собственных функций, получим й = — ~ 7. (ф„) ф„(х) Ых= — ~ ~ — „(р(х) ф'„) — и (х) ф„~ф„(х) Нх, Предположим, что внеинтегральный член этой формулы обращается в нуль.

Это будет иметь место, например, в том случае, когда предельные условия будут: ф,(а) = ф„(Ь)=0. При этом формула (21) перепишется в виде ь д„= ~ ~р (х) ф„' (х) + д (х) ф'„(х)) дх. Р (22) Допустим, что р(х) ) О. Если, кроме того, мы предположим, что и п(х) ) 0 в промежутке [а, Ь], то из написанной формулы будет непосредственно следовать положительность всех соб. ственных значений. Положим теперь, что д(х) — произвольная непрерывная функция, и пусть т — ее наименьшее значение в откуда, интегрируя первое слагаемое по частям, придем к еле дующей формуле: й„~ ( р(х) ф'„(х) + д (х) ф~ (х)~ Ых — ~р(х) ф„(х) ф„'(х)1" ~, (21) а ТЩ ЗНАК СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИИ аз? промежутке, т.

е. д(х)) гп в [а, Ь|. Из предыдущей формулы непосредственно вытекает ь ?,„)~ ~ р(х) р'„(х) ох+ гп)~?п. л СО ц '~~ я» (~) ч» ($) ? л л ! (24) Это равенство дает нам простую возможность распространить доказанную в [77] теорему разложения по собственным функциям иа более общий класс функций, а именно — положим, что ?(х) непрерывна, имеет непрерывную производную во всем промежутке, кроме одной точки х = с, в которой она имеет разрыв первого рода: ?'(с+ 0) — ?'(с — 0) = Ь, и существует кусочно-непрерывная производная второго по. рядка. Кроме того, как всегда, предполагаем, что ?(х) удовлетворяет предельным условиям.

Составим разность ? (х) — — (?(х, с), А р (с) которая имеет непрерывную производную во всем промежутке без исключения. Для этой разности справедлива теорема раз. ложения по собственным функциям. С другой стороны, в силу (24), вычитаемое б(х, с) может быть разложено по собственным функциям, а следовательно, и первоначальная функция /(х) разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям. Приведенные рассуждения имеют, ко. печно, место и в том случае, когда производная ('(х) имеет конечное число разрывов первого рода в промежутке [а, Ь). Онн Таким образом, в рассматриваемом случае может быть только конечное число отрицательных собственных значений.

Положим теперь, что предельные условия имеют вид У'(а) — Л,у(а)=0; у'(Ь)+Ьзу(Ь)=0, (23) где Ь1 и Ьз — положительные постоянные. Виеинтегральный член формулы (21) при этом окажется положительным, и мы, как и выше, убедимся, что при предельных условиях (23) и д(х)) 0 все собственные значения положительны. . Если все собственные значения положительны или если имеется только конечное число отрицательных собственных значений, то будет справедлива теорема Мерсера, и мы можем написать разложение ядра в абсолютно и равномерно сходящийся ряд: ГЛ И. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ !79 299 сходны с теми, которые мы применяли раньше при улучшении сходимости рядов Фурье [П)171]. 19.

Примеры. 1. Рассмотрим уравнение у,"+лу=о и предельные условия у(0) = у(Ц = О. В данном случае ь(у) =. у", и функ. ция Грина будет 0(х, Е)= (1 — $)х (х(~1), (! — х) $ (1( х). Собственные значения и собственные функции определяются в конечном виде; Ля=лала; фл (х) у72 з!и ллх (я=1, 2, . ), х (х<Е), б (х, 1) $ ($(х), а собственные значения и собственные функции имеют следующий вид: з л Ля (2п+ Цз —; ~рл (х) = Ч/2 з(п (2п+ Ц вЂ” х. 4 2 3. Рассмотрим теперь для того же уравнения предельные условия вида у(о)=о; д(ц+йу(ц=о. Составим соответствующую функцию Грина. Построим чзз решения уравнения у" О, из которых одно удовлетворяет первому из предельных условий, а другое — второму: у,(х) = х; уз(х) = (1+ А) — х. Рассуждая так, как это было указано в [14), мы придем к следующей формуле для функции Грина: 1+А — 1 1+А П(х.

$) = !+й — х 1+а (х (1), ($ (~ х). В данном случае все собственные значения — положительны, и, полагая Л = рз, мы убедимся без труда в том, что соответствующие значения р определяются из уравнения 1И и+ Ар=о, а собственные функции будут с„з!п )г„х, причем постоянная с, должна быть найдена из условия нормирования этих функций. 4. При исследовании колебаний круглой мембраны, закрепленной на концах, мы пришли к следующей предельной задаче. Найти значения параметра Л, при которых уравнение у" + — 'у +(л — — ",) у=о (25) ниеет решение, конечное на конце х = 0 обозначает целое неотрицательное число, бевиость по сравнению с теми, которые именно; коэффициенты уравнения имеют и равное нулю при х = 1. Буква и Эта предельная задача имеет осимы рассматривали до сих пор, а полюс на конце х = О, и на этом и мы имеем теорему разложения по этим собственным функциям для всех функций, удовлетворвющих условиям, укаэанным в предыдущем параграфе.

Можно значительно расширить условия применимости теоремы разложения, на чси мы останавливаться не будем. 2. Сохраняя прежнее дифференциальное уравнение, возьмем новые предельные условия у(0] = у'(Ц = О. В данном случае ПРИМЕРЫ тз! 239 конце, вместо определенного предельного условия, мы ставим только условие ограниченности решения в окрестности х О. Это приводит к определенному конечному значению решения уравнения (25) при х = О. Мы неоднократно встречались и раньше с такими особыми предельными задачами. Умножая обе части (28) на х, мы перепишем уравнение в обычной форме: 0, / лзъ — (ху') + ( )гх — — ) у = О, (28) с!х ч х! и будем считать заланиое число п положительным. Определение функции Грина остается прежним, но только вместо пре.

дельного »словня на конце х О мы требуем конечности функции Грина при х = О. Уравнение ((у) О будет уравнением Эйлера [11; 42), и оно будет иметь линейно-независимые решении х" и х-ц Принимая во внимание условне конечности на конце х О, мы должны в промежутке О (х < 9 взять для функции Грина выражение сгх", а в про- межутке $ г- х ~ ! мы должны составить такую линейную комбинацию уча. ванных выше решений, которая обращается в нуль при х 1, т. е. а этом промежутке мы должны взять для функции Грина выражение вида сз(х" — х-").

Постоянные сг и сз определятся, как всегга, из условий непре- рывности функции Грина и скачка ее первой производной при х = $. Это даст нам следующую формулу: ~ —,' [[ — ') -(и ~ (х~и, 6 (х, $) —,' [( — ') -(и"~ а~ ). Совершенно так же, как н раньше, неоднородное уравнение й(у) — [(х) имеет единственное решение, удовлетворяющее указанным выше предедьным условиям, и это решение определяется формулой 1 у (х) $ 6 (х, $) [ (Р,) г(8, о Рассуждения из [79) покажут нам, что все собственные значения положи.

тельны. Полагая )г = рз, будем иметь для определения собственных значений трансцендентное уравнение 7,(р) = 1, а собственные функции будут яг„(х) = с,у,(р,х). В случае и = О уравнение (,(у) = О имеет линейно-независимые решения у,(х) = ! и р,(х) !и х, а функция Грина будет опрелеляться фор. мулой 6(х, 9) (27) — !и х ($ ( х). Отметим, что в данном случае формула (9) дает нам 1 х 1 у (х) = 1 6 (х, $) [($) ой= — !д х 1 [(й) г(й — 1 [(й) !К й и$, о х и непосредственно проверяется, что эта функция удовлетворяет уравнению й(у) = — [(х) и предельным условиям. Из вида уравнения (26) непосред.

стеснив следует, что в данном случае мы имеем г(х) = х. Прн приведении нашей предельной задачи к интегральному уравнению мы получим ядро 6 (х, 9) ~/$х, которое будет непрерывным во всем квадрате, включая н его вершину х = $ = О. 240 гл. и. прядвльиыв задачи Собственными функциями этого интегрального уравнения будут функции фа (х) ся Ч/х Уз(пах), и мы будем иметь разложение в абсолютно и равно. мерно сходящийся ряд Фурье. юч й( й),~Г;-~ фл(Х) фл(~) ач и ! После деления на Дх мы получим О (х, $) т - с'.уе(рах) уе(р.й) Л л а ! и для этого ряда мы можем утверждать его равномерную сходимость только в промежутке (в, 1], где е — любое заданное положительное число.

Постоян. ные с, определяются, в силу условии нормированности, формулой (111„14б]! 2 2 с г! (Рл) ' Отметим при этом, что функция 0(х, $), определяемая формулой (27), стремится к бесконечности, когла точка (х,в) стремится к вершине нвадрата (О, О). В данном случае, кроме указанных выше особенностей, мы имеем ту особенность, что функция г(х) = х обращается в нуль на конце х = О, В томе Ч.мы подробно займемся предельными задачами для уравнений, имеющих особые точки на концах промежутка, и для уравнений на бесконеч. ном промежутке. 80.

Обобщенная функция Грина. Мы обращаемся теперь к рассмотрению того случая, когда уравнение (1) с предельными условиями (2) имеет собственное значение )ь = О, т. е. однород. ное уравнение 7. (у) = О имеет некоторое решение у = фс(х), удовлетворяющее предельным условиям (2). Это решение мы можем считать нормированным, что мы и будем делать в дальнейшем. В данном случае нам не удастся построить функцию Грина, удовлетворяющую всем четырем условиям, указанным в [73], и мы внесем некоторое изменение в само определение функции Грина. Удерживая по-прежнему условие, касающееся непрерывности самой функции, разрывности ее первой производной при х = $ и удовлетворения предельным условиям, мы потребуем, чтобы функция 0(х, $) в каждом из промежутков ]а, Ц и ]$, 'в] удовлетворяла уже не однородному уравнению Е(у) = О, а уравнению с правой частью: Е (О (х, $)] = гро (й) !рз (х).

Характеристики

Список файлов книги