1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Ряд Фурье для ядра (48) будет в данном случае иметь вид 00 Т' (2л + 1) Рл (х) Рл (В) ~.г 2 (л (л + 1) — р (р + 1Ц ' л-э н, как и выше, он будет давать функцию Грина (48) при любом фиксирован. нем $ внутри промежутка ( — 1, 1] для всех х из этого промежутка. Заме. тим, что и в данном случае ядро (48) будет неограниченным. 82. Функции Эрмита н Лагерра. Можно построить функцию Грина и для предельных задач, приводящих к функциям Эрмита н Лагерра.
Функции Эрмита ф (х) (П1а! 157] суть собственные функции для уравнения у" + (Х вЂ” ха) у О прн основном промежутке ( — оо, +оо) н при условии, что у-ьб прн х-ь — оо и х-~-+оо. Собственные значения суть )г, 2л+1 (л О, 1, ...). Заменяя А на (Х вЂ” 1), можем переписать уравнение в виде Ь (у) + Ау О, где Е (у) у" — (1+ ха) у, причем собственные значения теперь определяются по,формуле йч 2л+2 (л = О, 1, ...). Уравнение Е (у) у" — (1+ х') у О ямеет решение у=а, и, вводя вместо у новую искомую функцию ю по формуле у юе,мы непосредственно найдем его общий интеграл. х' х ~ ~е-,Ь где Са и Са — произвольные постоянные. При х ~ а мы должны взять реше. нне, иоторое обращается в нуль прн х = — оо: к' х у, ае ]е ~ «(о, -оо где а — постоянная. При х > а точно так же возьмем решение х' +ю уа Ье ~ е оло, х 250 гл н предельные злдлчи где Ь вЂ” новая постоянная.
Эти постоянные определятся из условия иепрерыв. ности 0(х,$) при х в и скачка производной 0'(х,в) при х й. Окончи. тельно получим «'+1' 1 — в ч/и Оо 1 1 + Оо р~в о во ~ в гв'Г (х~ф), 0(х, Ы «'+У 1 — в ч/и (х ~ в). Функции Лагерра в,(х) (ср. (1Пз! 161! прн в 0) суть собственные функции для уравнения ху" + у'+ (А — — ) у 0 при основном промежутке (О, +со) и при условии ограниченности решения в окрестности х 0 н обращения его в нуль пон х +оо, Собственные зна.
! чения суть ло — +л. Заменяя А на о — — ~ можем переписать урав- 2 2/' пенне в виде l! хч Ь(у)+ау=О, где й(у) ху +у' — !ч — + — «! у, ч2 собственные значения будут л« = л+! (л О, 1, ...). Уравнение Г! хи й (у) ху" + у' — ! — + — ! у О 'ч2 4« «г"„ у С,в ~ ~ — г(о+Сз о При х < в мы должны взять решение, регулярное при х Оз у, ав гз и при х ~ й — решение, равное нулю при х +со: +юо з Г в" уз ЬВ В! — гГО.
Определяя а н Ь, как н выше, нолучнм окончательно «+1 оо в ~ — Ыо 1 «+1 оо в ~ — Ив (хю,й), 0(х, $) (х) Р имеет решение у в*ге, н, совершая замену искомой функции у шв"гз, мы сможем найти общий интеграл етого уравнении: 251 УРАВНЕНИЯ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА у< > — ау=О (49) при четырех однородных предельных условиях имеет решение, отличное от нуля. Если, например, стержень заделан на конце х = 0 и свободен на конце х= 1, мы получаем предельные усло- вия: у~, о=у'1„о=О; у" 1„,=у"'1„,=О. (50) Для неоднородного стержня мы получим уравнение упю — Ь (х)у=О. (51) Функция Грина 0(х, Е) будет соответствовать статическому прогибу стержня под влиянием сосредоточенной силы.
Она определяется из следующих условий: 1) она непрерывна со своими первыми двумя производными по отношению к х в квадрате й;, 2) при 0 < х < е и $ < х < 1 она имеет непрерывные производные до четвертого порядка и удовлетворяет однородному урав- нениЮ Опю(х, $)=0; 3) прн любых значениях $ из промежутка 10, 1] она удовлетворяет предельным условиям; 4) иа диагонали прямоугольника ее третья производная имеет скачок, определяемый условием О"'$+0 $) — О'"($ — 0 $) = — 1. (52) Если у(х) — функция с непрерывными производными до четвер- того порядка, причем производная четвертого порядка может быть только кусочно-непрерывной, удовлетворяет предельным условиям (50), то из соотношения уню = — 1(х) вытекает У(х) = ~ 0(х, $) 1'$)д$, о (53) и, наоборот, функция, определяемая последним равенством, имеет непрерывные производные до четвертого порядка н удовлетворяет предельным условиям и уравнению уню = — ) (х), если 1(х) непрерывна иа 10,1].
Таким образом, предельная задача для уравнения (49) приводится к интегральному уравнению о у(х) = — Х ~ 6(х, в)у(е)4$, о 83. Уравнения четвертого порядка. Понятие функции Грина и приведение задачи к интегральному уравнению может быть проделано, аналогично предыдущему, и для уравнений высшего порядка. Рассматривая колебание стержня, мы получили следующую предельную задачу: найти такие зна:ения параметра Х, при которых уравнение гл и ппвдальньж злддчн 252 а для уравнения (51) — к интегральному уравнению у(х) = — Х ~ 6(х, ь)т(ь)у(ь) аь. о В данном случае собственные функции будут, как н раньше„образовывать замкнутую систему, н всякая функция, удовлетво. ряющая предельным условиям и имеющая непрерывные произ.
водные до четвертого порядка, разлагается в абсолютно н рав. номерно сходящийся ряд Фурье по собственным функциям. Совершенно так же, как н в [78), можно показать, что все собственные значения положительны н, следовательно, по теореме Мерсера, мы имеем разложение самого ядра по собственным функциям.
Построим фактически функцию Грина для случая стержня, заделанного на обоих концах, т е прн предельных условиях у(О) = у'(0) у(1) = у'(!) = О, причем мы считаем г(х] — 1 н 1 = 1 Обшнй интеграл уравнения упю = О представляет собою полнном третьей степени с пронзвольнычн коэффициентами Мы моя ем легко найти решения, удовлетворяюшне предельным условням только на левом н только на правом конце Это будут решения Ю (х) хз (п~ + пзх) Ез (х) = (х — 1) (Ь| + Ьзх). Произвольные постоянные определятся нз четырех условий, а именно — нз условии непрерывности функции н ее производных до второго порядка прн х = $ а разрыва (52) производной третьего порядка Проделывая элементар* ные вычисления, мы придем к следуюшему окончательному выраженню для функции Грина в рассматриваемом случае 0 (х, 1) = (2хй+ х — 3$) (х~1) х' (ч — 1)' Прн й ( х надо поменять местамн х н $ 84.
Уточненные теоремы разложения Стеклова. В [771 мы получили теорему разложения по собственным функциям гр„(х) уравнения (16). Предельные условия мы возьмем в виде у(а) = у(Ь) = О. (54) 'Теоремы разложения по функциям гр„(х) при весьма общих условиях, независимо от теории интегральных уравнений, даны в работах В А Стеклова. Относящиеся сюда результаты собраны в его книге «Основные задачи математической физики» вЂ”, т 1 (Пгр, !922).
Мы приведем некоторые нз полученных пм результатов. Лишь ради упрощения рассуждения будем предполагать, что г)(х) ) О Это ограничение можно отбросить во всех пунктах [84] — [91) Пусть ((х) — непрерьгвная функция, имеющая непрерывную производную в промежутке [а, Ь) и удовлетворяющая 253 тточненныи тгоьимы ьмио!кения стгкловь предельным условиям (54).
Существование производной второго порядка не предполагается. Докажем предварительно формулу ь ~ ~р(х) !р',(х) ф,'(х) + д(х) !рь(х) !р,(хЦ!(х = О при й чь (. (55) й Действительно, производя интегрирование по частям и пользуясь уравнением, которому удовлетворяют собственные функции с (х) ф„(х) — — Г р (х) <р', (х)1 = Ль!р„(х), Но внеинтегральный член равен нулю в силу <р!(а)=<р!(6) = О, а последний интеграл равен нулю в силу ортогональности собствениык функций Рассмотрич теперь функционал у (у) = ~ [р (х) у" + д (х) уз) с(х а (57) и подставим в него и-1 у=г„(х)=! (х) —,~, сь!рь(х), ь-! (58) где сь — коэффициенты Фурье функции Цх) ! ь сь = ~ г (х)!р„ (х) ах.
и (59) Раскрывая скобки и принимая во внимание (22) и (55), полу- чим л-! а ~[! и — К ю !')] = '!Гп(*!!" ( ! > иг!*!!ш*!- ь 1 и л-! и-! ь + ~~! Льс~~ — 2~ с ~("р(х)!'(х)ф'„(х)+!7(х)!'(х)!р (х)1с(х. ь-! а получим (~~у (х) !р' (х) <р, '(х) + !7(х) р (х) р, (х)1дх = а ь = р (х) <р' (х) !р, (х) ~" ' + Л ~ !р (х) <р, (х) с(х. и 254 гл и пгвдельныв задачи (62) У !р» (х) = Л ~ !ь (х, $) !рь (в) с%, а мы можем представить ряд (63) в виде Э Х, Ль(сь!рь(х) ~, (64) 165) где ьрь (х) = ~ 6 (х, $)<рь (в) с(в а (66) Производя в последнем интеграле интегрирование по частям и принимая во внимание, что, по условию„ )(а) = 1(Ь) = О, а также учитывая (56), получим л-! ь ь-! с(!! ! К л,(*! — 1!Р(*!! <*)+~ь)ь!*!!~* ь-! ь ь-! (60) Если предположить, что не только р(х) ) О, но и д(х) ) О, то из этой формулы непосредственно следует неравенство, аналогичное неравенству Бесселя: ь Льс- '-~ ~ (Р(х))" (х)+ д(х) ~ь(х)1!(х, (61) А-! Ю и сходимость ряда, стоящего слева.
Все члены этого ряда положительны, ибо Ль ) О прн с(х) ) О. Отметим, что доказательство неравенства (61) полностью сохранится, если предположить, что непрерывная функция 1(х) имеет производную )'(х) везде в [а, Ь), кроме конечного числа точек аь аь ..., а , причем производная непрерывна везде, кроме упомянутых точек, а в этих точках имеет конечные пределы слева и справа (разрыв первого рода). При интегрировании по частям достаточно интегрировать по промежуткам непрерывности )'(х) и затем сложить все эти интегралы. Докажем теперь, что при сделанных выше относительно 1(х) предположениях ее ряд Фурье с„!рь (х) ь-! регулярно сходится в промежутке 1а, Ь1, т.
е. что ряд О ~ ! с,<рь(х)1 (63) ь-! равномерно сходится в этом промежутке. Пользуясь интеграль ным равнением 841 УТОЧНЕННЫЕ ТЕОРЕМЫ РАЗЛОЖЕНИЯ СТЕКЛОВА 255 можно рассматривать как коэффициенты Фурье функции с) (х, $) аргумента $. Пользуясь неравенством (61), можем написать Ю ь ~~> Л фьь(х)(~ ) [р(а)(р'(х, ~)+дфб'(х, ВЦьд~, (67) Ь-1 где Ое(х, $) есть производная гр(х, $) по $.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
