1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Первая собственная функция у = 1р1(х) дает при этом, в силу (96), интегралу (102) наименьшее значение А1. Переходим ко при любом выборе непрерывной функции ы($) дает функцию у(х) с непрерывными производными до второго порядка, удов. летворяющую предельным условиям (95). Наоборот, всякая функция у(х) с указанными только что свойствами выражается интегралом (99) при соответствующем выборе непрерывной функции ы(х) = — 7.
(у). Мы можем, таким образом, согласно (97), (98) и (99) утверждать, что Х1 есть наименьшее значение интеграла ь ФЩ ЭКСТРЕМАЛЬНЫВ СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ МУ второму собственному значению Ае. Мы знаем, что это есть наи. меньшее значение интеграла (97), если к условию (98) добавить еще условие ь ~ ьь ($) ~р~ К) д$ = 0. (103) О Если определить у(х)' формулой (99), то [!УО 31) ь ь у (х) ~р, (х) дх = — 1 ьь ($) ~р~ (Ц ое ! Г и, следовательно, условие (103) равносильно условию ь ~ у (х)<р1(х) г(х = О. (104) О ~(рь(х)у(х)дх=О (й=1, 2, ..., и — 1).
(105) ~ уьох=1; Покажем, что уравнение (93) есть уравнение Эйлера, рыражающее необходимое условие экстремума интеграла (102) при дополнительном условии (101). Действительно (!ЧО 77). мы должны составить функцию Р = р (х) уж + д (х) у' — Ауь н для нее написать уравнение Эйлера — Р ° — г" =О, ах ь' которое действительно совпадает с уравнением (93).
Рассмотрим теперь экстремум интеграла (102) при двух дополнительных условиях, а именно, условиях (101) и (!04). В данном случае мы должны составить вспомогательную функцию! г = р (х) у" + д (х) у' — Ауз — р~рь (х) у, Таким образом, Хь есть наименьшее значение интеграла (102) в классе функций у(х), имеющих непрерывные производные до второго порядка и удовлетворяющих условиям (95), при допол.
нительных условиях (101) и (104). Вообще, собственное значение Х, является наименьшим зна. чением интеграла (102) в классе функций у(х), имеющих непрерывные производные до второго порядка, удовлетворяющих предельным условиям (95) н следующим дополнительным уело. виям: ГЛ.И.ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ и уравнение Эйлера для этой функции будет иметь вид — (Р(х) У ) + (А — д (х)) У+ — Р1 (х) — 0 (106У Покажем, что постоянная р должна равняться нулю, т. е. что мы придем опять к уравнению (93). Для этого напишем уравнение (93) для первой собственной функции: — ( р (х) 1р', (х)1+ (Х1 — д (х)) 1р1 (х) = О. Умножим это последцее уравнение на у, уравнение (106) на «р1(х), вычтем почленнб полученные уравнения и проинтегрируем полученное таким образом уравнение по основному промежутку.
Принимая во внимание условие ортогональности (104) и нормированность первой собственной функции, мы прндем-к следующему соотношению: — = ~ ( у — ( р (х) 1р, (х)1 — 1р, (х) — (р (х) у ) ~ 1(х. О Производя интегрирование по частям и пользуясь предельными условиями, мы убедимся без труда в том, что написанный интеграл равен нулю, а отсюда непосредственно вытекает в= О, что мы и хотели доказать. Вообще, если мы напишем уравнение. Эйлера, выражающее необходимое условие экстремуйа интеграла (102) при дополнительных условиях (105), то придем„ как и выше, к уравнению (93). До снх пор мы рассматривали случай г(х) — = 1.
Совершенно аналогичные результаты будут иметь место и в общем случае, причем мы считаем г(х) ~ О. В этом общем случае дополнительные условия (105) надо написать в виде ~ г (х) у' (х) Г(х = 1; а (1077 ~ г(х)1рА(х)у(х)1(х =0 (й= 1, 2, ..., и — 1), О Чтобы удостовериться в этом, достаточно в общем уравнении (1) совершить замену независимого переменного (94).
При этом мы получим урйвнение вида (93), для которого результат нами уже доказан. Возвращаясь к прежней независимой переменной, мы получим интеграл (102) н дополнительные условия (107) Отметим еще, что все изложенное выше 11стается справедливым и для предельных условий (2). ТЕОРЕМА КУРАНТА 269 При нахождении последовательных минимумов интеграла (!02) можно ставить эту задачу в классе функций, имеющих не две, а только одну непрерывную в промежутке [а, Ь] производ. ную. Можно показать, что в этой более широкой постановке по.
следовательные минимумы осуществляются по-прежнему функ. циями ~р,(х). Гассмозрим уравнение колебания струны: где р — линейная плотность струны и Те — натяжение. Мы имеем следующие выражения для кинетической и потенциальной энергии: г Т= — Лт ригйх; — (Г= — ~ Тои с(х. 2 В случае синусоидального режима вида и = 5)п югу(х), мы получим для р(х) уравнение Р" + Лр-О (Л ') при предельных условиях у(О) = у(0= О, если струна закреплена на концах, а кинетическая н потенциальная энергии будут выражаться формулами Т вЂ” — со55яг ~ дзих1 (Т 5!Птыт ) д Нх, 1Хо' 2 2 о о :)ервое собственное значение этой задачи сводится к разысканию наименьшей величины интеграла 1 у' Ых при условии, что ~ рз йх = 1.
2 80. Теорема Куранта. Из рассуждений предыдущего параграфа следует, что наименьшее значение интеграла ()02) при условиях (!05) осуществляется собственной функцией ср„(х) и равно Л„. При таком определении Л„и Чз„(х) нам необходимо знать все предыдущие собственные функции. Это обстоятельство затрудняет применение высказанного экстремального принципа. Мы докажем теперь теорему, которая позволяет определить Л„ и ф„(х) без использования предыдуших собственных функций. Пусть г~(х), ..., г„,(х) — какие угодно заданные функции, непрерывные в промежутке (а, Ь). Поставим задачу о нахождении наименьшего значения интеграла ь ~(р(Х)у'5-~-Сг(Х)ут]С(Х и гл.
и. пгвдальныв задачи зто при дополнительных условиях: ь ь ~г(х)уьс(х=1; ~г(х)г,(х)уйх=0 О О (й = 1, 9, ..., и — 1) (109) где фь(х)' — собственные функции предельной задачи и сь — по. стоянные, к определению которых мы сейчас и переходим. Первое из условий (109), в силу ортонормированности функций <рь(х) с весом г(х) (см. (107)), приводит нас к равенству СГС2++С! т 2 (111) Оставшиеся (и — !) условий дадут систему (п — 1) однородных уравнений с и неизвестными сь ..., с,. Такая система, как известно [Шп 10], имеет решения, отличные от нулевого, Всякое такое решение можно умножить на произвольный постоянный множитель, который можно выбрать так, чтобы выполнялось равенство (111).
Таким образом, при помощи формулы (110) мы построили функцию, имеющую непрерывные производные до второго порядка, удовлетворяющую предельным условиям и всем дополнительным условиям (109). Нам остается только подставить выражение (110) в интеграл (108) и убедиться, что величина этого интеграла окажется < Х„. После упомянутой подстановки под знаком интеграла мы будем иметь члены, содержащие квадраты р22(х) и квадраты ~р" (х), а также члены с произведениями ф (х)ф (х) и ~рь'(х)у,'(х). Но совершенно так в классе функций у(х), удовлетворяющих предельным условиям и имеющих непрерывные производные до второго порядка.
Мы не знаем заранее, будет ли интеграл (108) при поставленных условиях достигать наименьшего значения, но мы можем во всяком случае говорить о точной нижней границе значений этого интеграла. Эта точная нижняя граница будет, конечно, зависеть от выбора функций гь(х). Мы обозначим ее через т(гь..., г„,). Докажем сейчас следующую теорему Куранта: при любом выборе непрерывных функций гь(х) число т(гь ..., г„2) не превосходит собственного значения Х„. Если при любом выборе функций гь мы сможем построить такую функцию у(х), удовле'творяюшую условиям (109) и всем остальным требованиям, что соответствующее ей значение интеграла (108) не больше Х„, то. число т(гь ..., г,) и подавно будет не больше Х„и теорема будет доказана.
Будем искать функцию у(х) в виде у=сщ2(х)+ ... + с„~р„(х), (110) ЗЫ АсимптОтическОе ВНРАжвние сОБстВенных знАчении 271 же, как и в [84), может быть и при г(х), отличном от единицы, доказана формула ь ~(р(х)<р'(х)<р,'(х)+д(х)уь(х)~р,(х)]дх=0 (й Ф !). ч Принимая еше во внимание формулу (22), убедимся в том, что подстановка выражения (110) в интеграл (108) приведет к вы. ражению с',Л, + ...
+ С~Л„. Принимая во внимание, что Л1 ( ... ( Л, и пользуясь форму. пой (1!1), мы получим с,Л$+ ... + с'„Л„(~Лы (112) Функцию г(х) оставим прежней. Обозначим характеристические числа измененного уравнения через Л,' и докажем неравенство Л',) Л,. Для этого воспользуемся только что доказанным свойством собственных значений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
