1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 57
Текст из файла (страница 57)
тельным, если сов ф ) О, и отрицательным, если сов ф ( О. Если М лежит на 5н то интеграл (27) надо рассматривать как несоб. ственный, как это мы делали выше для замкнутой поверхности. Из указанных выше рассуждений могут быть также получены формулы (26). Мы в дальнейшем будем предполагать поверхность 5 такой, что при любом положении точки М выполняется неравенство ПОТЕНЦИАЛ ДВОННОГО СЛОЯ 291 !!А(йг) — р(№)1-=.—, (й! на о), (30) где с — постоянная, входящая в условие (28).
Разбивая 5 на два куска, а и 5 — О, можем написать: гно(М) = н'о" (М) + шо" (М)~ (31) где -( (М)=Ц~р(У)-р(М.)1 — "," .Д5; О ~~~~ (М) = ~ ~ ~(р (йг) — р (Лг,))1 ',~ т(5. ь-а Прн любом положении точки М мы имеем ~ !Еп~ (М) ~ ( ~ ~ ! р (!У) — р (М,) (,, ~ г(5, а откуда, в силу (28) и (30): ! ~ ( )1~4' (32) (33) Из (3!) следует: шо(М) — шо~)ро) = шоп(М) — шоп Р'о) + Гав'( ) — шн'( о)) откуда ~в (М) — ш (М )~ (~ ш!н(М) ~+ ~иш(!У ) (+ ~ жР'(М) — в'," (йг,) ~, или, в силу (33), ~ м (М) — в (ЛГ) ~ ( — + ! юп' (М) — гни' (У ) ~ (34) В потенциале двойного слоя вон!(М) интегрирование совершается по (5 — о), а точка № лежит внутри а, и потому функция в'„и (М) в точке № и ее некоторой окрестности непрерывна (и имеет производные всех порядков). Таким образом, при всех М, достаточно близких к №, мы имеем~ ге<'>(М) — ш~" (Ур) ~ (~ —.
и, в силу (34), !вь(М) — гнч(№) ~ ( е, откуда и следует, в силу произвольности в, непрерывность функции шч(М), определяемой и докажем, что он сохраняет непрерывность, когда М пересе- кает поверхность в точке №. Пусть е — заданное положитель- ное число. Выделим такой участок о поверхности 5, содержащий точку № внутри себя, на котором выполняется неравенство гл н ПРГдгльные злпочи фар купой (29), в точке Л1о. Мы можем написать: що (Л1) '= ов (М) !о ( оо) ~ ~ (36) где ю(М) — потенциал двойного слоя (19). Положим сначала, что точка М находится на 5. Обозначим ее через Л'.
Прн этом, в силу (26), имеем осо(Л!) = ю (Л~) — 2ир (гоо) (36) и~о(Уо) =- ои(Л'о) — 2пр('~о) (3У) где ю(Мо) — значение интеграла (!9) в точке Мо. Будем теперь точку М, находящуюся на 5, стремить к Мо. В силу доказанной непрерывности юо(М) юо (Л~) -+ гво (Л'о) =- ю (Л'о) — рпр (Л~о). Отсюда и из формулы (36) мы видам, что гв(М) имеет при этоох предел ю(Мо), т. е. функция ю(М), определенная формулой (19), есть непрерывная на поверхности 5 функция. Положим теперь, что точка М находится внутри 5.
При этом, в силу (26), имеем гво (М) = оа (М) — 4аца (Уо) (38) Будем теперь точку М, находящуюся внутри 5, стремить к №. В силу доказанной непрерывности юо(М), мы будем иметь ио(М)-+ ио(Л1о) = ги(Л'о) — 2пр(Л1о). (39) Обращаясь к правой части формулы (38), мы видим, что и ю(М) имеет при этом предел. Обозначим этот предел через ю,(йо) Из (38) и (39) следует: юо (Л~о) — 4яр (Л1,) = оа (Фо) — 2пр (Л~о) т. е ге~ ( то) = ю (го о) + 2пр (го о).
(40) Отсюда видно, что предел ю,(№) и значение э(Уо) функции гв(М) в точке Мо различны, если р(№) Ф О. Если точка М находится вне 5, то вместо (38) имеем юо(М) = ю(М). и, рассуждая, как и выше, мы видим, что существует предел ги(М), когда М стремится к Фо, находясь вне 5. Обозначая этот предел ю,(№), будем иметь, пользуясь (39), гво (Л!0) = ю (Лго) 2ир (мо) (41) Обозначаоо через то и гро значения т и ф при совпадении М с Фо, СВОЯСТВА ПОТЕ>ЩИАЛА ПРОСТОГО СЛОЯ ээз можем переписать формулы (40) и(41) в виде и> (Ус) = св (Ус) + 2>ср (Ус) = ~ ~ р (Л) —,>~' с(5 + 2пр (Л'„), Б Гс н>,(УР) = ш(УА) — 2н)с(УР) = ~ ~ и (У) '.,~' с(5 — 2нр (Уэ). 3 (42) Здесь ~рс есть угол, образованный направлением УРУ с внешней нормалью и в переменной точке У, т.
е. дс — — (го, п). Принимая во внимание этн формулы и непрерывность функции н>(Уа) при перемещении Ус на 5, мы можем утверждать, что функция н>(М), определенная формулой (!9), непрерв>вна внутри 5 и вплоть до 5. Точно так >ке она непрерывна вне 5 и вплоть до 5. Напомним, что внутри н вне 5 эта функция имеет производные всех порядков. Нетрудно видеть, что при беспредельном удалении точки М функция и>(М) стремится к нулю.
Действительно, обозначая через 0 кратчайшие расстояния точки М, находящейся вне 5, до поверхности 5 [11; 921, имеем ' (гг(М) !~ (~~ !)с(У),~ ~Г(5~ (—, площадь 5. (43) Отсюда н следует, что н>(М)- О при беспредельном удалении Л1., Точнее говоря, если Π— любая фиксированная точка, то прн любом заданном положительном а существует такое положительное число В, что (ш(М) ! ( е, если только М находится впе сферы с центром О и радиусом В. 96. Свойства потенциала простого слоя. Потенциал простого слоя и(Л1)= ~~ ) с(5 (44) является несобственным интегралом, если М лежит на 5. Пусть М совпадает с точкой Уо, лежащей на 5.
Покажем, что несобственный интеграл (44) имеет при этом смысл. Как и в [95), достаточно рассмотреть его на участке вс поверхности 5, содержащем У, внутри себя. Для вс пользуемся уравнением (4) в местных координатах. Мы имеем ~~ и(А>) й5 ~~ и(1, ч),~эд„ с о В силу (15)', (22) и гэ ( рэ, получаем следующую оценку подынтегральной функции: ) 'о гл н пгедвльныв злдлчи 20) ог куда непосредственно следует сходимость интеграла (44), когда М лежиг на 5. Таким образом, формула (44) определяет и(М) прн любом положении точки М. Функция и(М) непрерывна в точках М, находящихся вне 5. Покажем, что и(М) не.
прерывиа и в любой точке Уо, лежащей на 5. Пусть а — задан. ное положительное число и а1 — часть 5, определяемая неравен. ством (!7). Покажем, что можно выбрать д1 настолько малым, чтобы при любом положении М, в некоторой окрестности №, выполнялось неравенство (45) Мы пмссм (46) где оо — круг с центром Уо и радиусом д и рг — длина проек. ции М~№ отрезка Мго' на касательную плоскость. Положим, что М находится внутри шара с центром йо и радиусом дь При этом М, принадлежит кругу а(, и если мы на плоскости Д, т)) возь. мем круг оГ с центром М1 и радиусом 2йн то он будет содер.
жать весь круг а(, так что, в силу (46), г гА ! а, ) Р~»гл~ о о Остается фиксировать с(1 так, чтобы имело место неравенство 4яй1А( 4, и мы получаем оценку (45) при любом положении о М в шаре с центром 7го и радиусом с(ь Далее представляем функцию (44) в виде и(М) = и|(М)+ иг(М) где 5 н(Н) а5 и (М) ~ 1 и(н) а5 о, причем иг(М) — непрерывна в точке №, и доказательство непре.
рывности и(М) в точке Жо проводится совершенно так же, как и в [95] для функции (29). Мы имеем, таким образом, следующий результат: потенциал простого слоя (44) определен во всем пространстве и является непрерывной во всем пространстве функцией. Совершенно так же, как и в ]95], можно показать, что и(М)-г-0 при беспредельном удалении точки М. ЯП НОРМАЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ПОТЕНЦИАЛА ПРОСТОГО СЛОЯ Язб 97. Нормальная производная потенциала простого слоя. Пусть НР— направление внешней нормали в некоторой точке № поверхности 5.
Считая, что М лежит не на 5, составим производную от функции (44) по направлению пь От М зависит только 1 множитель —, и мы можем дифференцировать под знаком интег' грала: ! д— а =~~" ()У) а "5=0~ "()У) (47) Ло 272 и 1 12 (""'1 =Ц дл ГО ~"'~=И Й (У) — 2' Г(5 — 2пр (Уо) даа т у ГР (49) где, как и в [95], значки 1 и е показывают, что надо брать пределы — при стремлении М к № изнутри и извне, и левые ди (М) дп2 Отметим разницу между последним интегралом и интегралом (19), определяющим потенциал двойного слоя. В интеграле (19) ф = (г, п), где п — единичный вектор внешней нормали в точ- ЛР ке Ф, которая является пере.
1 менной точкой интегрирования, 1 в в интеграле (47) 2) =(г, ПР), И 1 где по — единичный вектор внешней нормали в фнксировгнной точке № В обоих слу- 2т чаях г есть направленис М12' (рис. 7). Покажем, что интеграл (47) существует и в том случае, когда М совпадает Рнс 7 с точкой №, упомянутой выше. В этом последнем случае мы будем записывать интеграл (47) в виде )) р()у) 2 Г(5=)) р(йг) 2 Г(5, (Ф 3 га 3 где го — расстояние 1№л1! и угол 2РР=(гм ПР) есть угол между направлениями №й1 и ПР Далее мы покажем, что при приближении М к № изнутри поверхности нли извне поверхности по нормали производная (47) имеет определенные пределы, и для этих пределов имеют месзо формулы где ))~ — некоторая постоянная, н будем иметь, принимая во внимание (22), ! ~~)о(ф) ' 'о ~ дЯ ( )), „' гЦг(г)= а, г <а Ро 2 5, ~ ~ ",',~ — ь,г(„ (53) Ра о а где Ьо — постоянная.
Эта оценка имеет место при любом положении М на нормали к б в точке Ма, причем М может совпадать с Уо. Отсюда и следует, что прн дь достаточно малом, интеграл, стоящий в правой части (51) н взятый по оь будет при соответствующем выборе а(, по абсолютной величине меньше любого заданного положительного числа. Тем самым доказано, что разность (51) непрерывна в точке А!а.
Но щ(М) имеет предел при стремлении М к Уо изнутри или извне поверхности 5. Огсюда следует, что и величина (47) имеет также предел в обоих слу. чаях Используя непрерывность разности (51), получим — ю~ (Л о) — )о (М) о Ю вЂ” ю (А'о) ('"")1, =Ц д"о /о го и, принимая во внимание первую из формул (42), получим первою из формул (49). Аналогично получается и вторая из фор.
мул (49). Из этих формул непосредственно следует величина скачка нормальной производной потенциала простого слоя: (ди(у.)) (д (У.)) 4„„(А,) (54) 98. Нормальная производная потенциала простого слоя (про. долженне). Для последующего нам важно доказать, что нормальная производная стремится к своим пределам (ди(М„)) (ди(уа)) равномерно для всей поверхности 5 при стремлении М к Мо по нормали. Для этого сначала покажем равномерное стремление к пределу интеграла, входящего в формулу (51).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
