1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 59
Текст из файла (страница 59)
л!о ому жи дельные значения не зависят от закона прибли М У. М жения к а, ы предполо. им, что плотность удовлетворяет условию Липшица! [ 1а (У2) 12 (М!) [ ч Вг! 2, (66) где г! а !Л М В !,з ', !Мз [, В и 6 — положительные постоянные (6 ( 1). П сть ХУХ— рд в точке Уа поверхности 5. Возьмем производную н . усть о„' "Б "' н'пра"'"ню "' лежащему в касательной плоскости к 5 и.точи' оп е а удем пока считать, что М находится на норма 5 ли к в точке а. Для М'.
й р деленности предположим, что М лежит внут и Я. М утри . ы имеем д„= !1Ы(М) —,, ОЯ (.-[МУ!), $ (67) 8 ~ гза Ти' р — — ц У вЂ” ' $Ы( а) —,соз(п, Х)!(Я=Ы(М)~~ $ ОО ([,+„,+,,)з!2 П я, ) ео оо г е д по есть круг 5 + Ч К 9 Мы имеем очевидно 2 и $ ~ (зьа+ а+ 2)з)2 пй лЧ = ~ соз О а(О ~,(р, О о о Я+ 22 Вместо (67) мы можем написать )к ) ) Ы (У) 1 'УЯ+ ) ) Ы (У) а !(5 гх! (М)+ пз (М). (69) оз Ц Пользуясь тем, что интеграл (68) равен нулю, будем иметь $$ ~ Ы(У) Ы(Ма) соя(й, Х)1 г' ,з е, г Разность, стоящую под знаком интеграла, представим в виде Ы(У) Ы(У,) соз(п, Х) !а(У) — Ы(Уз) гз х '+ г Ы (Уа) [1 — сов(п, Х)[ г! 1 + Ы (У,) соз (п, Х) ( — — —,11.
(71) Г' ,з,г /. ! Л !! ПРЕДГЛЫ!ЫЕ ЗАДАЧИ В оп Оцсцпч каждое из ела~а мых в прьзозз часыз Пользуясь (66), получим ! р (Л') — и ( У,) ! гз «гз откуда, принимая во вппчаннс, что г« '- 2рз н г о«, найдем, что ! р (Л) — !з (Лз) ! 3 3-р' ( (72) 1(злее, из (15) н (22) следует ! р (Фз) ! [! — соз (п, Е)1 сл з 3-ьв Ро (73) Оценим третье слагаемое правой части (71) Величина г' есть данна вектора, идущего из точки М в точку Лч, которая является проекцией Л! на плоскость Лу, и нз треуголышка МЛ'Л!' ыы имеем ! г — г' ! («! Ь ! ( 2аро+~, откуда следует Ро ибо г и г' ) рз и ! г! 1 з! баА р (Л(з) соз (н, Е) ! — — — т «(— (,з г«)! рт-в ' (74) по аз, каждый из которых имеет смысл при любом положении точки М на нормали в Ф«, в частности и прй совпадении М с Лзз Для подынтегральных функций этих интегралов мы получили опенки (72), (73) и (74), которые ичсют вид (76) где постоянные Сь Сз и Сз нс зависят от положения точки Лгз на 5 н точки М на нормали Отсюда следует, что о««(М) (й = 1, 2, 3) при стремлении М к )Уз равномерно относительно положения точки Лз« на 5 стремятся к про.
дельным значениям, которые равны о~ «(Л(з) Приведем доказательство этого дан а~ ~ (М). Пусть е — заданное положптелызое число Выделим часть а, поверхности аз, опредсляемую неравенством аз+ з)з («с(ь и выберем з(з па. столы.о малым, чтобы интеграл ! !з («У) — р (Лзз) 1,~3 а, При выводе оценок мы мотли считать, что М совпадает с Лзз При этом г = О иг гз Подставляя выраженно (7!) в интсзрал (70), мы разобьем с,(Л!) иа три интеграла а, (М) = нз, (М) + сц, з (М) + аз, з (М) (76 898 ПРОПЗНОДПАЯ ПОТШ!ПИАЛА ПО и ЛОРАН Ч! ~ППО 100) при любом положении точки М иа нормали астана л я псг абсолютнай в" лн чине (е/4 Это можно сделать в силу первой из оценок (тб) /(клсс пред ставляем сз 1(М) в виде (М) — Бзь М(Л) р(ЛО) д5+ т т з р(Л) р(жл) д5— г 5 3' с~ с -л, о', ', (М) + о',г~! (М) и получим оц г (Л!) — Рь г (Л'о) = ог,'г (ЛП вЂ” о1",! (ЛГв) +) о)т ! (Л — "ь г (Л'е)1 откуда ( ) — (')~~ — '+! 1" ( )- ~и ( 6 (7') Интеграл о~~!)г (М) берется по повсрлностп, все точки которой отстоят от /Ул н М не меньше, чс ча дг и, совершенно так же, как и в [98!, мы получим ! о',", (М) — 1,", (Л'о) ~ < С, ( где С» не зависит от положения Лгл на 5 При этом (77) дает )о! 1(М) о1 1(Л/л))лм +С4!г(, 2 е и нрп ! г ) ~( — мы получаем 2С, (пп!(М) оц~(/Ул)(уча, откуда и следует, что пь~(М)-ьоьг(Лгл) равномерно по отношению к положению Фл на 5.
Возвращаясь к формуле (78), мы видим, что ог(М) стремится равномср. но к пределу о,(/ул) при М Лго Отметим, что этот предел один и тот же при стремлении М к /Ул изнутри и извне 5. Проще говоря, при перемещении М по нормали функция о,(Л!) непрерывна в точке Ул Интеграл оз(Л!) берется по части (5 — пл) поверхности 5, все точки которой отстоят от М н Л/л не ближе, чем на д/3 Отсюда, как н выше, еле. дует, что ( оз(М) — ол (Лгл) ) (Сл ) г (, где постоянная Сз не зависит от положения Лгл на 5 и, следовательно, оз(М)-» от(Мл) равномерно относительно Л/з. Окончательно, мы можем утверди (М) ждать, что производная — стремится равномерно к пределу при стреыдк ленни М к Лгл по нормали, причем этот предел один и тот же, когда М вЂ” ь Л'о извне и изнутри 5 Совершенно аналогичное утверждение имеет, очевидно, ди (М) ди (М) место и для —.
В (98] мы доказали то, что и производная — стрс. ду дг мится равномерно к пределу. Но там мы имели разные пределы изнутри и извне Если ! — любое направление, образующее у~ли аь ал, ал с осями Х, У, 2, то из предыдущего непосредственно следует, что производная ди (М) ди (М) ди (М) ди [М) д/ дг ' ду сова, + сова, + — сова, ' (78) дг также равномврно стремится к првделвным значениям, котин 48 лиазнмится к Л/з взнутрн или извне 5.
ГЛ. Н ПРЕДЕЛЬНЪ|Е ЗАДАЧИ В силу равномерного стремления производной (78) к своим предельным значсииям изнутри и извне, можно утверждать, что зти предельные значения представляют собой непрерывные Функции точки Уо поверхности 5. Покажем, наконец, что производная (78) стремится к упомянутому впше пределу при любом захоне стремления Л1 к Уо, а не только по нормали. По. ложим, для определенности, что М стремится к Уо изнутри, и обозначим через ы(Уо) предельные значения на поверхности произволной (78), когда М стремится к Уо вдоль по Пусть е — заданное положительное число. Пам надо показать, что существует такое положительное число еь что 1 ди (М) — — ы(Уо1) (е, д| (79) если только (мУо(( ть причем м находится внутри 5.
провелем сферу с центром Уо и выберем радиус ее 6 настолько малым, чтобы на части а' поверхности 5, заключенной внутри этой сферы, имело место неравенство в ! ы (У) — ы(Уо) (( —.Считаем далее, что М находится внутри сферы с цен. 2' тром Уо и радиусом ть причем это число выбираем тан, что д| (~ 2' если только М лежит на нормали к 5 в точке У и )МУ(( ть Это возможно ди (М) в силу доказанной равномерности стремления — к ы(У) на 5.
)(роме д! 6 того, считаем еше, что т)~ (—. Если тачка М отстоит от Уо не больше, чем 3' на т), то тем более она отстоит не больше, чем на т), от той точки У, на нормали и которой она находится, причем эта точка У принадлежит а'. Мы имеем ди (М) ди (М) д| оо (Уо) д| — м (У) + ы (У) — ы (Уо) д| (У,) ~(! "61 — (У)1+! (У)- (У,)!. в В силу сказанного выше, оба слагаемых справа (~ — и, следовательно, 2 — ы(Л|о) ~(<е при (МУо((тр ди (М) д| (86) Выше мы использовали следующее элементарное предложение; кратчайшим расстоянием от точки М до поверхности 5 является данна нормали МУ н поверхности 5, проведенной через точку М.
Отметим еще, что интегралы (67) и (68) не имеют смысла при г = О, т.е. яогда точки М и Уо совпадают. Однако их разность, как мы видели, уже имеет смысл. Предыдущие рассуждения приводят нас к слелующей теореме, доказан. ной впервые А. М. Ляпуновым: Т со р ем а.
Если плотность р(У) удовлетворяет условию Лилшици (66), то производная потенциала простого слоя па любому фиксированному на. правлению непрерывна вплоть до 5 как изнутри, так и извне. Лроизводная по какому-либо касательному направлению в точке Уо поверхности 5 ме. няется непрерывно при переходе точкою М поверхности в точке Уо, 307 логлитогиичкскип потенциал юп г!сследование поведения производных потенциала двойного слоя при прн. ближении к поверхности 8 представляет ббльшие трудности. Основные реаультаты в этом отношении были получены также А.
М. Ляпуновым в его упомянутой уже выше работе «О некоторых вопросах, связанных с задачей Дирихле». !О! Логарифмический потенциал. В случае плоскости вместо ! ! основного сингулярного решения —, мы имеем !и — (!1; 203)'). Пусть 1 — замкнутый контур на плоскости ХУ и 1о — его длина.
Потенциал простого слоя определяется формулой и (Л4) = ~ )ь (Аг) )д — гЬ = л! )ь (з) )п — гЬ. ! (81) и потенциал двойного слоя определится формулой в(М) = ~ )ь(й() — ~ дз, (82) соз <р пз где гр =(г, п). Выражение дает угол, под которым ви. г ден элемент контура с(а из точки М, причем этот угол полу. чается положительным, если соэгр ) О, и отрицательным, если сок гр ~ О. Аналогом формулы (26) будет следующая формула; 2п (М внутри 1), — О (М вне 1), (83) и (М на 1). Относительно контура 1 можно сделать предположения, анало. гичиые тем, которые мы делали относительно поверхности 5.
Положим теперь, что функции х(з), у(з), дающие параме. трическое уравнение линии 1 н имеющие период (о, допускают непрерывные производные до второго порядка. Функцию !ь(А() = =)ь(з) мы считаем непрерывной. Исследуем ядро потенциала двойного слоя, считая, что точка М лежит на 1 и совпадает с некоторой точкой Аге этой линии. Принимая во внимание, что направляющие косинусы направления п выражаются производ- ными у'(з) и — х'(з), мы можем написать: соз ы соз (г, п) !х (з) — х (з»Н у (з) !у (з) у (зе)! з (з) г, г !х (з) — к (за)! + !у (з) у (зо)! 84 ') Обратим внимание, что во всех томах )и есть логарифм по основа.
нию е. Второе сингулярное решение, аналогичное диполю в трехмерном. случае (см. (!8)), будет 801 гл л логдельныв задачи 808 Если з и зо отличны, то написанное выражение представляет собою непрерывную функцию з и зо Положим теперь, что з и зо стремятся к общему пределу зь Применяя формулу Тейлора, мо- жем написать: х (з) — х (з,) = х' (з„) (з — з,) + — х" (з') (з — ~о)~, х'(з) == х'(з,) -г- х" (з,")(з — з,), у(з) — у(зо) = у ( )(з — з )+~ у (зо ) (з ° ) У' (з) = У' ('о) + У" (зо'") (з — зо) где значения з,', з„", з,"', з,"" находятся между з и зо Подставляя в (84) и сокращая на (з — зо)о, мы получим в пределе выражение х'(з|) о" 1з ) — у' Рл] х" (я) х'(з,) у" ( °,] — у'(ч) х" 1о,) 2 [х' (я,) + у' (5,)[ 2 равное половине кривизны кривой в точке а=з, Таким образом, функция (84) является непрерывной функцией з и зо вдоль 1.
Обозначая эту функцшо через Т. (зо, з), мы можем утверждать, ! что потенциал двойного слоя ш(Мо)= ш(зо)= ~ Р(з)1.(зо з)пз о представляет собой непрерывную функцию 1Уо, если Ло находится на 1. Таким образом, при сделанных предположениях относителшю х(з) и у(з) функция (84) является непрерывной функцией з и зо С05 ф на 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
