1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 63
Текст из файла (страница 63)
! г ное (113), имеет тот же вид: (! 13,) е Г' сы Если ввести сферические координаты, то формула (112) пре. образуется к виду: о (г', О, ф) = —,и ( —,, О, ф) . Принимая во внимание, что и(г, О, ф) удовлетворяет уравнению Лапласа 1 . ! Г'и„,+2си,+ ещ В (иааф 0)з+ —,Е иЕР— — О и что имеет место очевидное тождество г" (пик+ —,с,) =и„+ — и„, мы без труда убедимся в том, что и функция о(г', О, ф) удовле. творяет уравнению Лапласа.
Преобразование (113) представ- ляет собою преобразование симметрии относительно сферы с центром в начале н радиусом единица (ср. [11; 207) ). Мы могли бы, конечно, брать центр сферы в любой точке (а, Ь, с) и счи- тать ее радиус Я тоже любым. При этом формулы (112) и (1!3) запишутся в виде у р2 р' х' — а= —,(х — а); у' — Ь= —,(у — Ь); г' — с= —,(г — с); о (х', у', г') = —, и ! а + — „(х' — а), ...~; . (114) г' = ~(х — а)'+ (у — Ь)'+ (г — с)', гп = (х~ — а)> + (у' — Ь)е + (г' — с)'.
Преобразование (114) нааывается преобразованием Кальвина. Прежде чем выяснить понятие регулярности гармонической функции в бесконечно далекой точке в трехмерном пространстве, дойажем свойство гармонических функций, которое в плоском поеоволзовкние кальвина 325 случае мы доказали в конце предыдущего параграфа. Пусть и(М) — гармоническая функция в некоторой сфере 5о с центро.ч в начале координат, кроме, может быть, самого начала, и ограничена по абсолютной величине в этой сфере. Покажем, что существует предел и(М) при стремлении М к началу, и, если принять этот предел за значение и(М) в начале, то и(М) будет гармонической и в начале. Пользуясь интегралом, указанным нами в [!11 2071, мы можем построить функцию и1(М), гармоническую в сфере 5о без всякого исключения и принимающую на поверхности этой сферы те же самые предельные значения, что и функция и(М).
Применим к разности и1(М) — и(М) преобразование Кель- вина по отношению к сфере 5о. Преобразованная функция окажется гармонической вне сферы 5о, равной нулю на поверхности этой сферы н стремящейся к нулю при стремлении точки М' к бесконечности. Последнее обстоятельство непосредственно вытекает нз вида формул (1!4) и того факта, что и(М), по условию, ограничена в окрестности начала координат. Принимая во внимание, что экстремумы гармонической функции должны находиться на границе области, мы можем утверждать, что функция и~(М) — и(М) должна быть равна тождественно нулю, т. е.
функпчч и~(М) совпадает с функцией и(М), а потому эта последняя функция будет гармонической и в начале координат. Пусть и(М) — некоторая функция, гармоническая в окрестности точки О, которую мы примем за начало, и в самой этой точке. Совершая преобразование Кельвпна с центром в начале и с радиусом хотя бы равным единице, мы получим преобразованную функцию о(М'), которая будет гармонической функцией в окрестности бесконечно далекой точки.
Эта функция будет стремиться к нулю при т'-~-оо н, больше того, из формулы (112) непосредственно вытекает, что произведение т'о(М') остается ограниченным при т'- оо и то же самое можно утверждать оти до и до и до носительио произведений т †,, т †,, т т . Последнее не. дк' ' ду' ' дк посредственно вытекает из того факта, что производные функции и(М) в окрестности начала ограничены. Наоборот, если мы имеем функцию и(М), гармоническую в окрестности бесконечно далекой точки н такую, что произведение ги(М) остается ограниченным при т- оо, то, совершая преобразование Кельвина, мы убедимся в том, что преобразованная функция п(М') = 1 = —,и(М) будет гармонической и ограниченной в окрестности Г начала координат, а тем самым будет гармонической и в начале координат.
Но тогда из приведенных вьппе рассуждений непоэ дн э дч средственно следует, что произведения т — , г — , т— дк ' ду ' дк 326 гл. и. птвдкльиь>в злдлчи остаются ограниченными при г-+оо. Положим, наконец, что про функцию и(М), гармоническую в окрестности бесконечно дале. кой точки, известно только, что и(М)- О при г- оо, т. е. при любом заданном положительном е существует такое положительное число А, что [и(М) [ ~ е, если только г ) А.
Построим сферу 5ь с центром в начале и настолько. большим радиусом, чтобы и(М) была гармонической вие 5ь и иа самой поверхности этой сферы. Мы можем построить функцию в>(М'), гармоиическую внутри сферы 5ь и имеющую иа поверхности этой сферы те же самые предельные значения, что и и(М). Пусть и>(М) — результат преобразования Кельвииа иад функцией в>(М') по отношению к сфере 5ь. Разность и(М)— — и>(М) — гармоническая функция вие 5ь, равная нулю иа 5ь и стремяшаяся к нулю при г- оо. Такая функция, как мы видели выше, должна тождествеиио обращаться в нуль.
Следовательно, наша первоначальная функция и(М) должна совпадать с функцией и,(М), которая получилась в результате преобразования Кельвииа из функции в>(М'), гармонической виутри сферы 5ь. Для такой функции, как мы видели выше, произведения ди, (М),з ди (М) и ди| (М) дл ' ду ' дг дол>киы оставаться ограниченными при г-и оо. Мы видим, таким образом, что из того, что и(М)- 0 при г- оо, вытекает, что для и(М) произведения (115) должны оставаться ограниченными при г — оо, Назовем функцию и(М), гармоипческую в окрестности бесконечно далекой точки, регулярной на бесконечности, если и(М)-~0 при г->-оо. Если известно только, что и(М) стремится к конечному пределу Ь, то можно сказать, что такая функция равна сумме постоянного слагаемого Ь и гармонической функции, регулярной в бесконечно далекой точке.
Если для гармоиических вие 5 функций и(М) и в(М) произведения (115) остаются ограниченными, и эти функции имеют иа 5 правильиые нормальные производиые извне, то, как мы видели [102), для таких функций имеют место формулы (94), (95), в которых интегрирование распространяется иа часть пространства, иаходяшуюся вие 5.
Внешняя задача Дирихле состоит в разыскании функции и(М), гармонической вие 5, регулярной в бесконечно далекой точке, непрерывной вплоть до 5 и прииимаюшей иа поверхности 5 наперед заданные значения (()((). Принимая иекоторую точку Мь, находящуюся внутри 5, за качало и совершая преобразование Кельвииа, мы сведем внешнюю задачу Дирихле к внутренней задаче для преобразованной области. При помощи обычных рассуждений доказывается едииствеииость ре- ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КЕЛЬВИНА 327 шения внешней задачи Дирихле. Существование решения задачи сводится к существованию решения внутренней задачи Дирихле, а это последнее может быть доказано при общих предположениях о поверхности при условии непрерывкости граничных данных. Отметим разницу при постановке внешней задачи Дирихле в случае плоскости и пространства. В плоском случае мы задавали предельные значения на границе и требовали только, чтобы функция стремилась к конечному пределу при г- ии.
В случае трехмерного пространства мы задаем сам этот предел, а именно — считаем его равным нулю. Мы могли бы считать, что при г-~-оо наша функция стремится к некоторому заданному числу Ь. Рассматривая разность и(М) — Ь, мы пришли бы к прежней постановке задачи. Нетрудно видеть, что в случае трехмерного пространства для определенности внешней задачи Дирцхле недостаточно требовать, чтобы и(М) имела конечный предел при г- ии. Действительно, положим, что некоторое количество электричества находится в равновесии на проводящей поверхности 5. Такой электростатический потенциал простого слоя будет иметь некоторое постоянное значение с на поверхности 5, причем нетрудно показать, что и(М) будет давать гармоническую функцию вне 5 и будет стремиться к нулю при г- о.
Сама постоянная с будет также гармонической функцией вне 5 и будет иметь на 5 те же предельные значения, но она уже не будет регулярной, согласно нашему определению, в бесконечно далекой точке. Для случая плоскости это рассуждение уже неприменимо, ибо электростатический потенциал простого слоя на линии ( обращается в бесконечность в бесконечно далекой точке. Отметим еще, что иногда называют функцию п(М) гармонической вне поверхности 5 только в том случае, если она регулярна в бесконечно далекой точке, т.
е. некоторые авторы в определение функции, гармонической вне поверхности 5, включают и регулярность в бесконечно далекой точке. Внешняя задача Ней м а на состоит в нахождении функции, гармонической вне 5, регулярной па бесконечности, при заданных предельных значениях ее нормальной производной на 5. В данном случае предельные значения нормальной производной уже не должны удовлетворять условию (1!О).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
