1610915353-b4768a0098f549c63012cd5cff273c49 (824744), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Рассмотрим теперь собственное значение А„. Если бы ему соответствовала какая-нибудь собственная функция, кото- рая не является сферической функцией порядка п, то мы могли бы считать, что эта собственная функция ортогональна ио всем сферическим функциям и, повторяя предыдущие рассуждения, убедились бы, что эта функция должна равняться тождественно нулю на всей поверхности сферы. Таким образом, сферш4еские функции представляют собою полну!о совокупность всех собственных функций интегрального уравнения (148). 113.
Тепловое равновесие излучающего тела. Рассмотрим третью предельную задачу для уравнения Лапласа. В случае установившегося потока тепла температура и(М) внутри тела должна удовлетворять уравнению Лапласа, а на границе 5 должно быть выполнено условие — + Ь(и — иь) =О, ди ГЛ П ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ где й †коэффицие внешней теплопроводности и ио †температура внешней среды, соприкасающейся с телом. Обе эти величины мы можем считать функциями точки на поверхности 5, и приходим, таким образом, к задаче нахождения гармонической функции внутри поверхности 5, удовлетворяющей на этой поверхности предельному условию вида: — + р (У) и (У) =1(У), (150) где р(У) и !(Ж) заданные на 5 функции н р(У) ) О.
Будем искать решение этой предельной задачи в виде потенциала простого слоя. Предельное условие (150) приведет к следующему интегральному уравнени1о для плотности: ~ р (У)," " г(5 + 2пи (Уо) + р (Уо) ~ ~ и (У) — г(5 = 1о (Уо)~ 3 го 3 го или 2п 2пго Покажем, что при сделанном выше предположении однородное уравнение не может иметь решения, отличного от нулевого.
Действительно, мы видели выше !!04), что при р(У) ) 0 гармоническая функция, представимая потенциалом простого слоя и тем самым имеющая правильную нормальную производную и удовлетворяющая однородному предельному условию + р(У)и(У) =О, (151) тождественно равна нулю внутри 5.
Положим, что однородное уравнение имеет решение !4(У). Потенциал простого слоя с плотностью р(У) удовлетворяет однородному предельному условию (15!) и, следовательно, равен нулю внутри 5. Поскольку он равен нулю и на бесконечности, мы, как и раньше, заключаем отсюда, что он равен нулю во всем пространстве и что р(У) = — О, т. е., действительно, однородное уравнение не имеет решений, а потому неоднородное уравнение разрешимо при любом выборе свободного члена 1(Уо). Предположим, что поверхность 5 есть сфера Х единичного радиуса и что функция р(У) есть положительная постоянная 6. В этом случае, в силу го = — 2 соз(го, и,), мы получаем интегральное уравнение !А(Уо) 4 З 1!А(У) 4~+ 2 1(~) 1 — 26 1! ! 1 х которое мы разбирали в предыдущем параграфе.
Если считать л за параметр, то собственные значения этого интегрального $141 метод швхацх уравнения определятся из уравнения 1 — 2л = 2а + 1, т. е. собственные значения будут й = О, — 1, — 2, ..., а соответствующие им собственные функции будут сферические функции. Совершенно аналогичным образом можно рассмотреть третью предельную задачу и для случая плоскосги. 114. Метод Шварца. Опишем еще один метод решения задачи Дирихле. Положим, что мы умеем решить задачу Дирихле для областей В~ и Вэ при любых непрерывных предельных зна.
чениях, причем эти области имеют общую часть О, как это указано на рис. 8. Метод Шварца дает возможность решить задачу Дирихле для области В = В~ + Вь получаемой объединением областей В, и В,. Мы проводим рассуждения в плоском случае, но они останутся совер-п, д, д а гз, шенно такнмн же и в случае трехмерного пространства. Контуры областей ~2 В, и В, точками их пересечения делятся на части сг~ и ~~ для В~ и аэ и ()э рас В. для Вь Пусть на контуре 1= а~+ аз области В нам задана некоторая непрерывная функция ы(У). Вычисления в методе Шварца проводятся следующим образом, Функцию ы(М), заданную, в частности, на сгь продолжаем ка. ким-нибудь образом на (), с сохранением ее непрерывности.
Пусть ен(Ж) — полученная таким образом на б~ функция. Решая задачу Днрихле для Вь строим в В~ гармоническую функцию и~(М) со следующими предельными значениями: ~ ы(йг) на а„ и,(Ж)= 1 е,(У) на Значения этой функции на ~э вместе со значениями гэ(гт) на сгз принимаем за предельные значения новой гармонической функции о~ (М) В Вэ.' 1 га(М) на ам ( и,(М) на Строим теперь в В~ гармоническую функцию и~(М) с предельными значениями: 1 г» (М) на ап ( о,(Ж) на Дальше строим в Ва гармоническую функцию оэ(М) с предельными значениями; 1 га(М) на а,, о2( ) ( (У) (1 гл. и.
пьадельныа задачи пы и т. д. Вообще ( ы(ЛГ) на ап Ьи„(М)=0 в В, и и„(Л()= ~ ~ о„~ (ЛГ) на Рь Ло (М)=0 в Вз и о (Ж)=( ( и„(Л() на Докажем теперь, что существует 1нпи„(М) в В1 и,!пи о„(М)', в В, и что в обшей части областей В~ и В, этн пределы совпа« дают. Для этого используем одну лемму, которую сейчас ц формуднруем. Упомянем сначала о предположениях, которые мы делаем относительно контуров областей. Мы предполагаем, что контуры областей В1 и Вз состоят из конечного числа кусков, имеющих непрерывно меняющуюся касательную. Таким образом, возможно конечное число угловых точек на контуре.
Кроме того, мы предположим, что в точках пересечения Ф, и Уз ,(рис. 8) оба контура имеют касательную, н что этн касательные в Ф1 н Ф, образуют между собою угол, отличный от нуля. Формулируем теперь лемму: если контуры областей В1 и Вт удовлетворяют указанным условиям и щ(М) есть функция, гармоничсская внутри В„непрерсчвная в замкнутой области, принимающая на а1 значения нуль и на ~~ удовлетворяющая условию ) в(М) ~ ( А, то существует положительная постоянная о ( 1, зависящая только от областей В1 и Втт но не от выбора ю(М), такая, что )в(М) ~ ( дА на рь Аналогичное утвержденнс будет верно, если мы будем исходить из В, и оценивать гв(М) на рь Мы можем при этом считать, что число д одно и то же в обоих случаях.
Откладывая доказательство леммы до следуюгцего параграфа, применим ее для доказательства сходимости процесса Шварца. Согласно построению: 1 0 на аь и„ч., (М) — и„(Л') = ( (Лг) — о (1ц) на (1 (. и (Л() — и (М) на Введем следующие обозначения: М„=гпах)и„+,(Л~) — и„(1У)1= гпах~ о„(Л/) — о„~(М) ! на рь М'„= гпах! о„+, (Л') — о„(Л') 1= щах ~ и„1(Лг) — и„(Л() ( на (),.
Принимая во внимание предельные условия (!53) и лемму, получим М'~(оМ„и М~(оМ,' ь Отсюда следует, что М„=' ч2Ма-~ (и = 2, 3, ...), т. е, Мл ( узы пМ~ Составим ряд и, (М) + ~ [и„э, (М) — и„(М)). (154) 94т мз! доказательство леммы Его члены, начиная со второго, равны нулю на сс! и имеют оценку !и„+~(У) — и„(У) ( ~ дм"-ПМ~ на Рь Таким образом, написанный ряд сходится абсолютно и равномерно на контуре Вь а тем самым во всей замкнутой области. Его сумма и(М) будет непрерывной в замкнутой области В! и гармонической внутри В!.
Сумма первых членов ряда (154) есть и„(М), и мы можем, следовательно, утверждать, что и,(М)-эи(М) равномерно в замкнутой области. Совершенно так же докажем, что п„(М)-~-п(М) равномерно в замкнутой области Нь где п(М) — непрерывна в замкнутой области Вг и гармоническая внутри Вм На основании (!52) и„(У)=о„!(У) на 5! и о„(У)=и„(У) на ~ь Переходя к пределу, видим, что и(У) и п(У) совпадают на Р1 и рь Отсюда следует, что они совпадают и везде в общей части О областей В1 и Вь Таким образом, внутри В = В1+ Ви функции и(М) и п(М) дают единую гармоническую функцию.
В силу (152), эта гармоническая функция имеет заданные предельные значения си(У) на контуре 1= сс!+ аь и, таким обра. зом, метод Шварца действительно решает поставленную выше задачу. 115. Доказательство леммы. Образуем потенциал двойного слоя, распределенного вдоль дуги ~~ с плотностью единица: ! и д!к— Р (М) = — ) — „с(з. (!55) 91 Это есть угол, под которым видна дуга Р! из точки М, причем мы считаем, что М принадлежит Вь Функция (155), гармониче. ская внутри Вь принимает непрерывные предельные значения во внутренних точках дуг сс! н р! (рис.
9). «г Рис. 9. Рис. !О. При приближении точки У контура к точке У! со стороны дуги а, и со стороны дуги Р! мы будем иметь для упомянутых предельных значений В(У) функции (155) различные пределы, которые обозначим В (У!) и г+(У!). Эти пределы сутз углы, образованные секущей У,Уз с раз- личными, направлениями касательной к контуру области В! в гл и. пявдельныв задачи 348 вм точке М~ (рис.
10), причем мы имеем Р (У~) — Р (М,) = и. (156) Если мы будем приближать точку Л( к У~ вдоль какого-нибудь луча МД, который образует угол 9 с указанным иа чер. теже направлением касательной в точке, то функция (!55) будет, как иетрудио видеть из чертежа, иметь предел; Р+(М,) — О, который, на основании (!56), может быть записан в виде Р (М~) — 9 = — Р (М~) + (! — — ) Р (М~). (157) При приближении Л( к У~ любым образом функция (155) мо.
жет иметь различные предельные зиачсния, но оии должны содержаться между Р (М~) и Р+(М~), и функция (!55) будет ограниченной в окрестности Уь Совершенно аиалогичпые результаты получатся и в зочке Мь Определим иа контуре ! = а~ + ~~ функцию 1(У), равную нулю внутри а~ и и внутри ~ь Обозначая, как и выше, через Р(У) предельные значения функции (155), внутри а~ и ~~ образуем функцию (~(М) = Р(У) — 1(У). Нетрудно видеть, что оиа будет непрерывной иа всем контуре ! = а, + йь включая точки М~ и Уь так как умецьшаемое и вычитаемое имеют в этих точках одинаковый скачок. Значение этой функции, например в точке Мь будет равно Р (У~). Пусть Р~(Л() — гармоническая в В~ функция, имеющая иа контуре непрерывные предельные значения (,(М).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
